2021届全国100所名校高考数学模拟示范试卷(理科)(七)附答案解析

2021届全国100所名校高考数学模拟示范试卷(理科)(七)

一、单选题(本大题共12小题，共60.()分)

1.若a,bER,i为虚数单位，且(a+i)i=b+i,则()

A.a=1,b=1B.a=-1,b=1

C.a=-1,b=-1D.a=1,b=-1

2.已知集合2={x|/-3x—4<0},B={-4,1,3,5},则？1CB=()

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}

3.a是平面a外的一条直线，过a作平面口，使£〃a,这样的平面0()

A.只能作一个B.不存在

C.至多可以作一个D.至少可以作一个

4.己知扇形的弧长为7T,面积为2兀，则这个扇形的圆心角的弧度数为()

B了C.2D.4

5.对于函数/(%)与g(x)和区间。，如果存在沏€。，使If。。)一gQo)|W1，则称勺是函数/(%)与

g(x)在区间。上的“友好点”.现给出两个函数：

①/(x)=X2.g(x)=2x-2；

@/(x)=Vx>g(x)=x+2；

③f(x)=e-x,g(x)=T

@/(x)=lnx>g(x)—x,

则在区间(0,+8)上的存在唯一“友好点”的是()

A.①②B.③④C.②③D.①④

6.(文)在2013年全国大学生运动会中，某高校从6名大学生中选配2名学生分别参加比赛，则某学

生A不被参加比赛的概率为()

7.下列程序的运算结果为

开始

a=5:s=l

a=a-l结束

A.20B.15C.10D.5

8.设1y(x)是周期为2的奇函数，当OWE时，/(x)=2x(l-x),则/(一|)=()

A.--B.--C.-D.-

2442

9.记f(P)为双曲线捻-5=19>0/>0)上一点「到它的两条渐近线的距离之和；当P在双曲线

上移动时，总有f(P)2b.则双曲线的离心率的取值范围是()

A.(1jB.(1,|]C.(1,2]D.(1(V3]

10.若对任意冢国演，，浮藏，(,血、越匚避)有唯一确定的.或知解与之对应，称庚状域为关于笈、

般的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数£窗簿期为关于实数寓、岁的广义“距离”：

(1)非负性：，旌鼠削箜鲜，当且仅当然=,第=|修时取等号;

(2)对称性：施%城=巽第檄；

(3)三角形不等式：负时磁工题:碌嗡出黄盛对任意的实数z均成立.

今给出四个二元函数：①典工威=■一比/1；②,典“威=拆-媛；③施降威=J君-解；

④娥猿麒=碱城篮-感.能够成为关于的黑、般的广义“距离”的函数的所有序号是()

A.①B.②C.③D.(4)

11.已知函数y=2s皿x*)cos(x—》+2COS2(X+^-1,则函数的最小正周期7和它的图象上的

一条对称轴方程分别是()

A.T=2n,x=B.7=2n,=~

C.T=n,x=D.T=7T,x=~-

12.已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点P到两旗

杆顶点的仰角相等，则点P的轨迹是()

A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.如图，在豳轴蜴中，左露=瞰胪，/^.=箍铲2逊'=博®,过烈作初翻1

的外接圆的切线磁，邮110，蹈与外接圆交于点国，则微用的/y/[\

长为'--------------^

CD

Xy-240

14.动点P(a,b)在区域y-y20上运动，则2=管的范围是.

,y>0

15.设点4Q1，yj、8(%2，、2)是函数y=/(x)(%i<%<皿)图象上的两端点・。为坐标原点，且点N满

足而=%万？+(1-4)而，点M(x,y)在函数y=f(x)的图象上，且满足x=4xi+(i-Qx2(4

为实数)，则称|MN|的最大值为函数y=/(x)的“高度”.函数/(>)=x2-2%-1在区间[一1,3]

上的“高度”为.

16.一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥如图，且这两个圆

锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个

球面面积的士则较大圆锥与较小圆锥的体积之比为______.

16

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知数列｛〃｝的前n项和为州,满足：Sn=2an-2n(neA/*)

(1)求证：数列｛5+2｝是等比数列；

(2)若数列｛%｝满足%=log2(an+2),求数列｛33｝的前n项和〃；

an

(3)(理科)若12〃>m2-57n对所有的neN*恒成立，求m的取值范围.

18.(12分)直三棱柱4魏2W，鳏片中，点M、N分别为线段,鼻鳞脚篮的中点，平面国懿JJ则

(1)求证：MN〃平面赢花窗(2)证明：BC1,平面城式腐盛

19.某公司通过甲、乙两个团队销售一种产品，并在销售的过程中对该产品的单价进行调整.现将

两个团近100天的日均销售情况统计如表所示:

甲团队乙团队

H均精傅.

超过3000件3050

不超过3000件7050

(1)是否有99%的把握认为产品的日均销售量是否超过3000件与团队的选择有关；

(2)现对近5个月的月销售单价々和月销售量=1,2,3,4,5)的数据进行了统计，得到如下数表,

求y关于x的回归直线方程.

月销售单价约阳(元/件)1010.51111.512

月销售量力(万件)13121087

参考公式：回归直线方程;其中6=督考里—K2=

y—oxuZ^xf-nx2'

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)•

参考数据:于=542,£乙或=607.5.

P(K2>fc)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

20.已知椭圆0：5+，=l(a>b>0)的离心率为?，焦距为2.

(1)求。的标准方程.

(2)过。的右焦点F作相互垂直的两条直线，0%(均不垂直于工轴)，k交0于4，8两点，%交。于C,。两

点.设线段AB,CD的中点分别为M,N,证明：直线MN过定点.

21.已知函数/(%)=伉％—=2ax—ax2,aGR.

(1)求f(%)在区间(0,可上的最大值；

(2)若/(%)Vg(x)在(L+8)上恒成立，求实数Q的取值范围.

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(0为参数)，将曲线C上各点纵坐标伸长到

(y—siriu

原来的2倍(横坐标不变)，得到曲线G.以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

直线，的极坐标方程为4pcos。+3psin8-10=0.

(1)写出曲线Q的极坐标方程与直线/的直角坐标方程；

(2)曲线Q上是否存在不同的两点M(pi，/),N(p2，J2)(以上两点坐标均为极坐标，Pi>0.p2>0,

04/<2兀，0<02<2TT),使点M、N到2的距离都为1?若存在，求出|%-4l的值；若不存

在，请说明理由.

23.已知正数a,b满足工+2=1

a4b

2s

(1)证明：E/曲

(2)若存在实数%,使得|%+2|-=a+b,求Q,b.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：

v(a+i)i=b+i,•'­—1+ai=b+i.

—1=b,fa=1,

.•.<即，

(2=1,b=—1,

2.答案：D

解析：

本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题.

求解一元二次不等式可得集合4再由交集运算得答案.

解：集合力={x\x2—3x—4<0}={x|-1<x<4},

B={-4,1,3,5},

则AClB={1,3},

故选：D.

3.答案：C

解析：解：当a〃a时，过a作平面/?,使得/?〃a,

由平面与平面平行的性质得：

这样的平面£有且只有1个.

a与a相交时，设平面为/5,a与a交点为P,

根据题意P60,PG.a,则an。=1且Pel,这与a〃/?矛盾，

这样的口不存在.

综上所述，过平面a外一条直线a与a平行的平面的个数为至多1个.

故选：C.

由平面与平面平行的性质得这样的平面0有且只有1个

本题考查满足条件的平面的个数的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养.

4.答案：A

解析：

本题主要考查扇形的弧长和面积公式，属于基础题.

由扇形的面积公式S=夕r可得半径r=4,再根据弧长公式/=w代入计算即可得到答案.

解：根据扇形的面积公式S="r,代入可得27r=1xzrr,

解得r=4,

再根据弧长公式I=ar,

ITt

/.n=-=->

r4

即扇形的圆心角的弧度数是也

故选A.

5.答案：D

解析：解：①/'(x)-g(x)=/-2x+2=(X—+121,.,.要使|fQo)-g(x())lS1，则只有当

而=1时，满足条件，

・•・在区间(0,+8)上的存在唯一“友好点”，.•.①正确.

②9(x)-f(x)=x—百+2=(a—}2+：之(>1,...不存在&eo,使|/(&)_g(&)|W1,.•.函

数不存在“友好点”，二②错误.

③设/i(x)=/(x)一g(x)=e~x+i,则函数/i(x)在(0,+8)上单调减，xr0,/i(x)-»+oo,xT+OO,

/I(X)-»0，使IfOo)-g(Xo)l<1的Xo不唯一，

・•.③不满足条件，.•.③错误.

④九(x)=g(x)—/(x)=x—Inx,(x>0),/i'(x)=1—

令八'(x)>0,可得x>l,令/i'(x)<0,可得0<x<l,

・♦.%=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为八(1)=1-0=1,

g(x)—/(X)>1,

二当配=1.时,使|/Oo)-9(沏)141的a唯一，工④满足条件.

故选：D.

根据“友好点”的定义，分别进行判断即可.

本题主要考查对新定义的理解与运用，考查函数最值的判断，综合性较强，难度较大，考查学生分

析问题的能力.

6.答案：D

解析：

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用利用

对立事件的概率计算公式求解.

解：某学生4不被参加比赛的概率为：

r>“C*«12

Cl33

故选。.

7.答案:A

解析：试题分析：第一次循环：S=5,a=4；

第二次循环：S=5x4,a=3；

此时结束循环，输出S=5x4=20,

故答案为：20.

考点：本题考查了当型循环结构

点评：循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型

循环是先循环后判断.算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到

了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题.要注意对循环结果的归纳，这是本题的关键.

8.答案：A

俄标II*1II1

解析：解：黄一3=一侬!；=一殿3=一既然次：1一$=一白故选4

9.答案：C

解析：解：设P(x,y),

•••双曲线圣一'=l(a>0,b>0)的渐近线为y=±^x,

.r/pA_|bx-aylI叫+ayl、12bxi、2ab

・W-标福十标辰-一~f

.・"(P)Nb恒成立.

・・・—>b,A-<2,

c-a

・••双曲线的离心率的取值范围是(1,2].

故选：C.

设可得双曲线/《=的渐近线为=土"，由于〃

P(x,y),i(a>0,b>0)yP)=+2

等2等，再利用/(P)>b恒成立即可得出.

本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、绝对值不等式的性质，考查了推理

能力与计算能力，属于中档题.

10.答案:A

解析：试题分析：①对于函数舞除感=婢也满足非负性：谶舄静触电，当且仅当冢=,聚口电时

取等号；满足对称性：猫隔藏=负:脾,球；

*(霖，s)朴烂(出,喻=案产在64丝。?/邑£普产”住,，如，对任意的实数超均成立，因此满

足三角形不等式：舞降蟒式舞“嚼K牌5；厩.可知，跳感能够成为关于的理、节的广义“距离”

的函数.

②至般地：=羯-,威•瞰，但是不仅超=寥=顿时取等号，然=蜜岸顿也成立,因此不满足新定义：

关于的京、萨的广义“距离”的函数；

③.般薜威=册二金，若茄薜威=册二》成立，则F(蜘-器)=4^-?不一定成立，即不满足对

称性；

(4)同理飘i匕籁=磁吸或-，意不满足对称性.

综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的砥、萨的广义“距离”的函数.

故选A.

考点：新定义，函数的概念与表示.

11.答案：C

解析：解：y=2sin(x-^)cos(x-^)+2cos2(x+^)-1

nTi

=sin(2x——)+cos(2x+—)

=—sin2x—cos2x

=­V2sin(2x+

・•・f(%)的最小正周期T=§=7T,

令2%+7=7+kn(keZ),得％=-4--kn(kGZ),

4282

:.k=。时，

/(%)的对称轴方程为“今

故选：c.

根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简得一个角的一个三角函数的形式，再由三角函数的周期

公式和对称轴方程的公式，即可求出f(x)的最小正周期及对称轴方程；

本题主要考查了两角和公式，二倍角公式，正弦函数的周期性和对称性等问题.解题的关键是对三

角函数基础知识的全面掌握.

12.答案:B

解析：解：设两根旗杆44、分别在地面4、B两处，不妨设441=15m,BBr=10m,地面上

的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，

设满足条件的点为P,则直角直角APSBi，因此普=|;

△PAALrDZ

在地面上以4B所在直线为％轴，以4B的中点0为坐标原点，建立平面直角坐标系，设P(x,y),4(10,0),

J(%―10)2+y2_3

B(—10,0),则:

7(x+10)2+y22

化简整理得：(x+26)2+y2=576

因此在4、8所在直线上距离B点16米4点36处的点为圆心，以24为半径画圆，则圆上的点到两旗杆

顶点的仰角相等，

即：地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等的点P的轨迹是在4、B所在直线上距离B点16米(距离4

点36处)的点为圆心，以24为半径的圆

故选&

设两根旗杆441、BBi分别在地面4、B两处，不妨设Aa=15m,BBX=10m,地面上的动点P到两

旗杆顶点的仰角相等，设满足条件的点为P，则直角△PAAL直角APBBi，因此普=|，建立平面直

角坐标系，求出方程，即可求得结论.

本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，正确求方程是关键.

13.答案：5

解析：试题分析：由题意得：无酬蜀=立隧?=酸」所以

庭=酸辆蟾T=碘礴嫡F蹄瓶丫=崎用藤=凝械谑F=幽蜘1射画确f=阪

由切割线定理得：愧萨=褊翁豳w凝1=酸亘=晟

考点：切割线定理

14.答案：[|,2]

由图可知，当P与4重合时，z有最小值为聿=；；

当P与。重合时，z有最大值为2.

故答案为：[|,2].

由约束条件作出可行域，然后结合z=哼的几何意义求得动点与定点连线斜率的最值得答案.

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

15.答案：4

解析：解：根据已知条件，71(-1,2),B(3,2)；

•••A07+(1-A)OB=A(-l,2)+(1-A)(3,2)=(3—4A,2);

•••N(3-4/1,2)；

%M=—%+3(1—A)=3—42；

M点在/(x)图象上；

•••”点的纵坐标为：16万―16；1+2,且一1W3-44W3,即0W4W1；

M(3-42,16A2-16A+2)；

\MN\=16|A2-A|；

A=1时-不取到最大值不从而|MN|取最大值4；

・••/(X)在上的高度为4.

故答案为：4.

根据函数/(%)高度的定义，想法求出点M,N的坐标即可表示出|MN|,求其最大值即可：4(-1,2),

8(3,2),%1=-1,%2=3,所以便可求出N(3-4=2),M(3—44,16"-16/+2),所以得到|MN|=

16|22-2|,而根据M点在f(x)图象上可求出OS1,这样根据二次函数的图象即可求得I"一刈的

最大值，从而求出f(x)在区间［-1,3］上的“高度”.

考查对函数“高度”定义的理解，向量的坐标和点的坐标的关系，以及根据二次函数的图象求最值，

并且弄清函数|矣-七和二次函数M-4图象的关系.

16.答案：i

解析：

本题主要考查几何体的应用，熟悉各种几何体的结构特征是解答本题的关键，是高考中常见的题型，

属于中档题.

解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64兀，圆锥的底面积为：1271,圆锥的底面半径为：28；

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三

角形

由此可以求得球心到圆锥底面的距离是心-上百尸=2,

所以圆锥体积较小者的高为：4-2=2,同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；

所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：

故答案为

17.答案：(1)证明：当neN*时，Sn=2an-2n,①

当nN2,n€N*时，S“T=2即_1-2(n-1).②

①一②，得Qn=2an-2azi_1-2，

・•・an=2an_i+2,・•・an+2=2(an_x+2)

....n+2_2

Qn-1+2•

当九=1时，Si=2%—2,则%=2,

当71=2时，@2=6，

A(an+2｝是以为+2为首项，以2为公比的等比数列.

n+1

(2)解：由(1)知an+2=4-2吁兀an=2-2.

n+1

%=log2(an+2)=log22=n+1,

徨也_=巴旦

传"+2-2"i，

则%=^+V+…+器，③

[Tn=套+…+而+普，④

③一④，得押=套+套+摄•+…+/-普

1.7(1-pt)n+1

=--1------i----------

41--2n+2

2

=—1+—1—--1---n-+-1-

422n+12n+2

--3----n-+--3-,

42n+2，

.T_3n+3

。-2-2n+1*

(3)解：・・,12〃>m2-57n对所有的TIEN*恒成立,

2

:，Tn>^(m-5机)对所有的九GN*恒成立，

・・,九=1时，Tn取最小值7;=|-券=

・•・依题意有]>^(m2-5m)恒成立，

解得—1<mV6.

・•.m的取值范围是(一1,6).

解析：⑴由已知条件推导出既=20n-2an_i-2,由此能证明5+2｝是以的+2为首项，以2为

公比的等比数列.

(2)由已知条件得含=普，由此利用错位相减法能求出

(3)n=l时，Tn取最小值A=|-器=也；•依题意有(加5m)恒成立，由此能求出m的取

值范围.

本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真

审题，注意错位相减求和法的合理运用.

18.答案：(1)只需证殿^春遨，；(2)只需证翻卜1,面罐物。

解析:试题分析：(1)连g在1M牌端i中，”、N分别为线段星瞬&篮的中点；,施确鸣1购1:

平面幅巡期［故MN〃平面部解减

(2)\；,空凝一遇，鳏片为直三棱柱，二.躅j1,面魂容

二面鹘后修11面圆翻双面通解11面魏编嬲！

方法一：取酒幽面上一点P作，勰1滴廨,灌1„4蹿.港螫工:面血躅肉又平面混解_L,面

螭且交线为48二“盘1,面翘窘；.，施1,踞

同理,糠11蜃：：.BC1,平面城4叠殿

方法二：过C作糠_L4酸毓1，建1”面魂数1.面幽穗逆面翘圾巴•面愚4椭理=，摩

:.族1,面幽陶谏,同理嫡1.面秘高第：.镇然&二熠与CT重合为CB,二BC1,平面,逐#叠雄

方法三：在面4BC内，作满14鹭，在面翱阐中作，覆上忌第

1'..：,面逊窈11面施出周震面勰Ce面鸡陶符=，筋二,翎1,面通端事震同理曲1面据同连,姆蕊勒

螂口面辗客，二曲图面翻窗丽匚:面题店面加数"f面题窗窗=豳二禹尊股窗二,悬11面3儡第二

BC1,平面.超.舞盛

考点：面面垂直的性质定理；线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理：直棱柱的结构特征。

点评：本题主要考查了空间的线面平行，线面垂直的证明，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间

想象力，以及识图能力。

19.答案：解：(1)依题意，K2=200x(30x5°-50x70)2«8.333>6,635.

100X100X80X120

故有99%的把握认为产品的日均销售量是否超过3000件与团队的选择有关；

(2)vx=1(10+10.5+11+11.5+12)=11,

一

y=久113+12+10+8+7)=10,

...b=益=1%防-叵_542-5x11x10__32，

••一EL笳一5斤2-607.5-5X112-,

则a=10-(-3.2)x11=45.2-

故y关于x的回归直线方程为y=_3,2X+45.2..

解析：(1)由已知数据代入公式求得R2,结合临界值表得结论；

(2)由已知数据求得，与;的值，则y关于x的回归直线方程可求.

本题考查独立性检验，考查线性回归方程的求法，是基础的计算题.

20.答案：(1)解：因为离心率e=£=渔,2c=2,且a2=〃+c2,

a5

所以c=l,a=V5»b=2,

故0的标准方程为兰+艺=1.

54

(2)证明:由(1)知尸(1,0).

设直线ZB的方程为y=k(x-l)(kH0),A(xliyi),B(x2,y2),

y—k(x—1)

联立方程组［zyz，消去y得(5必+4)/一10%2%+5卜2-20=o,

1-1

5--4

则Xi+x2=怒二，yi+y2=k(%i-1)+k(%2-1)=k(Xi+x2)-2k=巳筹,

-4k

所以M的坐标为(5k2

5H+4'5k2+4)•

因为所以⑺的斜率为/

将M坐标中的k换为-J可得N的坐标为匕急，击).

K4K+4K+5

当kH±l时，设直线MN的斜率为k财N，

则AMN="=£^，

XN-XM5K-5

所以直线MN的方程为y-康=温(n-品)，

即y=£三。一|),则直线MN过定点(|,0).

当々=±1时，直线MN的方程为x=3，也过点(|,0).

综上所述，直线MN过定点©,0).

解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力,

属于拔高题.

(1)通过椭圆的离心率结合椭圆的焦距，求出c,a推出b,即可得到椭圆方程.

y=fc(x—1)

(2)设直线4B的方程为丫=-l)(k40),4(%i，yi),8(亚,丫2)，联立方程组/,y?,消去y

—I--=1

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2

得(5k2+4)x2_1O/C2X+5k-20=0,利用韦达定理，结合中点坐标公式，求出M坐标然后求解N

的坐标，然后转化求解直线系方程推出结果即可.

21.答案：解：(1)1(X)=-(X+?(XT)(X>0).

当x6(0,1),有/'(%)>0；当％6(1,e],有,(为<0,

・••/。)在区间(0,1)上是增函数，在(1,e]上为减函数.

所以筛以。)=/(1)=一/

(2)令/i(x)=/(x)-g(x)=(a--2ax+则h(x)的定义域为(0,+8).h'(x)=

(xT)K2al)x-l]