2021届全国高考数学超级联考试卷附答案解析

2021届全国高考数学超级联考试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

Z

1.已知复数Z满足----=2,正是虚数单位，则在复平面内Z对应的点在()

4+2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合4={x|-3<x<5,且X6Z},8={加％2一%一2>0},则力nB=()

A.{0,1}B.{-1,0}C.{-2,3,4}D.{2,3,4}

3.若(1一2%)2011=a。+&*+T--则与•+枭H--------------+署段的值为()

A.—2B.-1C.0D.2

4.设区是两条不同的直线，S是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是()

A.若叵］则回B.若回则S

C.若因则因D.若回，则0

5.设非零向量五与方的夹角是等，且|苍|=|苍+石则岸震的最小值为()

A.里B.3C.iD.1

322

6.不等式/-4%>2QX+a对一切实数》都成立，则实数a的取值范围是()

A.(1,4)B.(-4,—1)

C.(-8,-4)U(―1,+8)D.(-8,1)u(4,+8)

7.尸(九)是一个关于自然数?I的命题，若F(k)(kWN+)真,则尸(々+1)真，现已知F(7)不真，则有：

①F(8)不真；②尸(8)真；③F(6)不真；④尸(6)真；⑤F(5)不真；⑥F(5)真.其中真命题是()

A.③⑤B,①②C.④⑥D.③④

8,下列函数中，周期为2兀的奇函数为()

A.y=sin；cos；B.y=sin2x

C.y=tan2xD.y=sin2x+cos2x

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知实数x,y,z满足度=，。92丫=%则下列关系式中可能成立的是()

A.y=z>xB.z=x>yC.y>z>xD.z>y>x

10.设函数f（x）=sin（3X-》（3>0）,已知/（%）在［0,2兀］内有且仅有2个零点，则下列结论成立的

有（）

A.函数y=/（X）+1在（0,2兀）内没有零点

B.y=/（x）-1在（0,2兀）内有且仅有1个零点

C.f（x）在（0潦）上单调递增

D.3的取值范围是S3）

OO

11.已知方程+71y2=1（科71£R）,则下面四个选项中正确的是（）

A.当血>九>0时，方程表示椭圆，其焦点在y轴上

B.当?n=?i>0时，方程表示圆，其半径为迎

C.当nm<0时，方程表示双曲线，其渐近线方程为y=±产•x

D.方程表示的曲线不可能为抛物线

12.已知数列5｝满足的=aan^n-i-fln-1+1=0（n>2,nGW*）-Sn是其前n项和，则（）

A.a6=2B.S12=6

a

一010,12

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的用电量（单位：kw/h）,

将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示；其中直方图从左到右前3个小矩形的面积之

比为1：2：3.该乡镇月均用电量在37〜39之内的居民共有_户.

t频率

W

0.0875

0.0375

35373941

14.已知点4（4,0）,。为原点，对于圆。：/+72=4上的任意一点p,直线&y=kx-l上总存在

点Q满足条件加+初=2的，则实数k的取值范围是.

15.已知cos（a+S）=；,其中a为锐角，贝i］sin（a-普）的值为.

16316

16.已知”是球。的直径ZB上一点，AH：HB=1：3,4BJ"平面a,"为垂足，平面a截球。所得截

面的面积为兀，则球。的半径为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

22

17.已知正项数列｛册｝的前71项和又满足：S%-(n+2n-3)Sn-3(n+2n)=0(n6N*)

2

(I)求证：Sn=n+2n；

(n)求数列｛三｝的前n项和7Tl.

3n

18.在△ABC中，已知a=60。，AB=2,角4的平分线AD=延，求边4c的长.

3

19.某项比赛中甲、乙两名选手将要进行决赛，比赛实行五局三胜制.已知每局比赛中必决出胜负，

若甲先发球，其获胜的概率为去否则其获胜的概率为

(1)若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；

(2)若第一局由乙先发球，以后每局由负方发球，规定胜一局得3分，负一局得0分，记x为比赛结束

时甲的总得分，求随机变量X的分布列和数学期望.

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形4BCD为平行四边形，以BC为直径的圆0(0为圆心)过点4,

且20=AC=4P=2,PA^ABCD,M为PC的中点.

(1)证明：平面04Ml平面PCD；

(2)求二面角。一MD-C的余弦值.

21.求函数y=2/一+5在［0,3］上的最大值与最小值.

3X2-12X

22

22.已知椭圆C：］+4=1(">&>0)的一个顶点恰好是抛物线/=4母的焦点，且离心率为

ah

1

e=—.

2

(/)求椭圆c的方程；

(〃)设过原点的直线与椭圆C交于A,B两点,过椭圆C的右焦点作直线，//4月交椭圆C于M,N两

点.试问一§是否为定值，若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

\MN\

参考答案及解析

1.答案：B

解析：本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，考查了学生的计算能力.

Z

解：由石百■二】得z=i(4+2i)=-2+4i，

因此复平面内z对应的点(-2,4),在第二象限.

故选B.

2.答案：C

解析：解：由B中不等式变形得：(x-2)(x+l)>0,

解得：x<-1或x>2,即B={x\x<-1或x>2},

•••4={刻-3cx<5,且x€Z}={-2,-1,0,1,2,3,4),

■■Ar\B=(-2,3,4).

故选：C.

求出B中不等式的解集确定出B,列举出4中的元素，找出两集合的交集即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3.答案:B

解析：解：由题意得：%=C£oii(-2)r,

y+^+…+翳I=-C2011+C2011~C2011■+---+C2011-C2011>

•••C%1-Gou+废on-第on+…+废第-C据=(1一2产11

•以+&+,^2011_

2十22十+22011

故选8

22011

有若(1—2x)2011=劭+a1X+a2x+…+a2011x(xeR)得到展开式的每一项的系数与，代入到

y++,•,+翳f中求值即可.

此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，属于二项式定理应用的中等难度题但也数

常见题型.

4.答案：C

解析：试题分析：设mna=O,过。与直线n的平面0,利用线面平行的性质得线线平行，再由线线

平行得线线垂直，来判断力是否正确；

根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，来判断B是否正确；

借助图形，若/〃a,alp,直线/与平面6的位置关系不确定，由此可判断C是否正确；

根据平行平面中的一个垂直于一条直线，另一个也垂直于这条直线，由此判断。是否正确.

考点：空间的线面的位置关系.

5.答案：B

解析：­I•|a|=\a+b\，.-.a2=-a+b2+2a-b>=-2a-b=-2\a\\b\cos^=\a\\b\,

\b\=\a\=\a+b\.

■-a-b=-1|b|2,

,|2a+tb|、24五2+4七。石+~54—2£+尸1《、23

二支彳)=----/----=「一=41)+不

...当t=一1时，嘲1取得最小值日=立.

\2b\<42

故选：B.

对|磴=|五+肛两边平方化简得出|即=|石|，计算鬻1的平方，得到只含£的二次函数，然后利用

二次函数的特性来求出最值.

本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把里好的化成只含有t为自变量的二次函数形态,

|2/)|

进而求最值.

6.答案：B

解析：

本题考查不等式的恒成立问题，是基础题.

把不等式/一4x>2ax+a化为/一(4+2a)x-a>0,得A<0,即可求出a的取值范围.

解：不等式炉—4%>2ax+a变形为——(4+2d)x—a>0,

该不等式对一切实数x恒成立，

4<0,

即(4+2a)2+4a<0,

化简得a?+5a+4<0,

解得—4<a<—1,

二实数a的取值范围是(一4,-1).

故选艮

7.答案：A

解析：解：由原命题等价于逆否命题可得：若+l)(k属于N)不真，则F(k)不真，从而③⑤为真

命题，

故选A.

利用原命题等价于逆否命题可以进行判断

本题主要考查四种命题即命题的等价性，从而将问题巧妙转化.

8.答案：A

解析：解丫=sin；cos；=：s讥x为奇函数，且周期为2兀，故满足条件；

y=sin2n=^箸是偶函数，且周期为〃，故不满足条件：

y=tan2x是奇函数，且周期为:，故不满足条件；

、=5讥2%+0052%=7^比(2%+9是非奇非偶函数，且周期为乃，故不满足条件；

故选：A.

利用三角恒等变换花简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论.

本题主要考查三角恒等变换，三角函数的奇偶性和周期性，属于中档题.

9.答案：ACD

解析：解：如图，

x,y,z的关系有下列三种情况：y>z>x,y=z>x,z>y>x,由图象可看出，z与x不可能相

等，那错误，ACD都正确.

故选:ACD.

在同一坐标系下画出y=2,y=log2久和y=:的图象，并画出y=c的图象，根据图象即可判断出x,

y,z可能的大小关系.

本题考查了指数函数、对数函数和反比例函数的图象的画法，数形结合解题的方法，考查了作图能

力，属于中档题.

10.答案：BCD

解析：解：•.・函数/(x)=sin(3x>0),已知/'(x)在［0,2兀］内有且仅有2个零点，

(i)xE［—^,2a)n—7T<2O)TT—^<2TT,求得gWto<3,D正确；

/(%)+1=0,即/(%)=-1,即sin(3x-1)=-1,在(0,2兀)内能成立，

例如当3=1时，若》=?,则sin(3X-9=sin0—》=-l,故A错误.

y=/(x)-l，即sin(3X-》=l,在(0,2兀)内,wx-^6

只有当3兀-3=1时，sin(3X-》=l,故y=/(x)-1有且仅有1个零点，故8正确；

在(0,争上，3%—旌(一%等—》而等*<壬.•.函数/(%)单调递增，故C正确；

故选：BCD.

由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.

11.答案：ACD

解析：

利用m,n的取值，判断曲线方程表示的图形即可.

本题考查曲线与方程的应用，圆锥曲线与方程的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

解：方程？n-+ny2=l(m,nER),

y2工2

当m>n>0时，方程表示椭圆工"+工=1,其焦点在y轴上；所以A正确；

nm

当m=n>0时，方程表示圆，其半径为生；所以B不正确：

n

当mn<0时，方程表示双曲线，其渐近线方程为、=±6，,所以C正确；

方程中没有x或y的一次项，所以方程表示的曲线不可能为抛物线，所以。正确；

故选：ACD.

12.答案:ABC

解析：解：数列｛即｝满足的=：,即&„-1-%1-1+1=。5岂2,neN*),

当71=1时，解得a2=-1,

当n=2时，解得。3=2,

当n=3时，解得。4=｝

所以数列｛斯｝的周期为3.

故。6=&3=2,

S12=4S3=4x(i+2-l)=6,

连1=1=ciio,ai2=2x-=1,

2sliHSi。+S]2，

故选：ABC.

直接利用数列的递推关系式求出数列的周期为3,进一步求出数列的和和数列的各项的值，进一步求

出结果.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的周期，主要考查学生的运算能力和转换能力

及思维能力，属于基础题.

13.答案：125

解析：

根据小矩形的面积之比=频率之比，利用面积比求前三组的频率，利用频数=频率x样本容量得在

37〜39之内的居民数；本题考查了由频率分布直方图求频率、频数，在频率分布直方图中频率=

者上=小矩形的面积.

样本容量

解：•••从左到右前3个小矩形的面积之比为1：2：3.

二频率之比为1：2：3,

又•.•频率之和为1-0.0375X2-0.0875x2=0.75,

.•.在37〜39之内的频率为0.75x|=0.25,

・••在37〜39之内的居民共有500X0.25=125户；

故答案为：125

14.答案：［0彳］

解析：

【试题解析】

本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量的三角形法则以及直线的斜率公式，属于综合题.

根据题意，设设P(2cos0,2s讥0),由向量的三角形法则分析可得Q是P4的中点，即可得Q的坐标，将

Q的坐标代入直线1的方程，变形可得上=黑1,分析k的几何意义，结合直线与圆的位置关系，分

析可得答案.

解：根据题意，P是圆。：产+丫2=4上任意一点，

则设P(2cos。,2sin6),

若点Q满足条件而+65=2而，则Q是24的中点，

则Q的坐标为(2+cosd,sind),

若Q在直线心y=kx-l±.,贝ijs讥O=k(2+cos61)-l,

变形可得％=

2+COS0

即k表示单位圆上的点(cosasin。)

与点M(—2,—l)连线的斜率，如图所示：

设过点M的直线y+1=m(x+2)与圆％2+y2=1相切,

则有=1,

vl+mz

4

演

一-

解可得m一3

则有。s黑号，即k的取值范围为［。台

故答案为：［0,1］.

15.答案：9

6

解析：解：。<QV]，,•令<戊+令<?，

41OIO1O

又cos(a+勺=1'二sin(a+劫=学,

37r7171

•'•sin(a--)=sin[(a+.)一彳]

lolo4

71n7171

=sin(a+—)cos:一cos(a+—)sin—

164164

2V2>/21V24-V2

=-----X-----------X-=---------.

32326

故答案为：9.

6

由已知求得sin(a+V),再由sin(a-m=sin[(a+*)—J展开两角差的直线求解.

本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正弦，是中档题.

16.答案：壁

3

解析：

本题考查球及其结构特征，考查球的半径，属于基础题.

设球的半径为R,根据题意知由与球心距离为的平面截球所得的截面圆的面积是兀，我们易求出截

面圆的半径为1,根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即可求出该球

的半径.

解：设球的半径为R,

■■AH：HB=1：3,AB1平面a,H为垂足，

•••球心与平面a的距离为d=m,

••・平面a截球。所得截面的面积为兀，

二截面圆的半径为r=1.

^R2=r2+d2,得/?2=12+(例)2,

n273

：•R=­•

3

故答案为2.

3

22

17.答案：解：(I)•；Si-(n+2n-3)Sn-3(n+2n)=0(n6N*),

[^n-(«2+2n)][(S„+3)]=0,

2

：・Sn=n+2n^Sn=—3

•・・｛oj是正项数列,

2

：•Sn=n+2九成立.

(II)•,•Sn=n2+2n

—(ii---------------1------------

212n+1n+2y4(n+l)(n+2)

解析：（I）根据条件进行因式分解即可证明S"=n2+2n；

（n）求出求数列｛止｝的通项公式，利用裂项法即可求数列的前n项和7n.

3n

本题主要考查数列的通项公式的求解以及利用裂项法求数列的前n项和，考查学生的计算能力.

18.答案：解：•••由已知可得：/.DAB=30°,/

中，由余弦定理可得：/

BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cos^DAB=4+--2x2x—x—=-,'

3323

...BD=第…（4分）

•.■ADAB^>,由正弦定理可得:

s\nz.DABsinz.ABD

即：4-=

s\nz.ABD

•♦・解得：S\X\Z.ABD=1,

VZ-ABDG(0,180°),

A^ABD=90°,…(8分)

482

ABC中，AC-cos600=AB,可得：4c==1=4….(10分)

解析：由已知可得NDAB=30。，中，由余弦定理可求8。的值，在△DAB中，由正弦定理可

2\[3473

得不==结合乙4BDe（0,180。），可得乙4BD=90。，即可解得4c的值.

1sin448。

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能

力和转化思想，属于中档题.

19.答案：解：（1）若甲获得发球权，则获胜的概率为[=%如果甲没有发球权，

则获胜的概率为：x1=i所以甲获胜的概率为:+：=2

2364612

(2)比赛结束时甲的总得分x的可能取值为0,3,6,9.

X=0时，比赛的结果为：“乙乙乙”，r.p(X=0)=：x；x；=；,

3226

X=3时，比赛的结果为：“甲乙乙乙”，“乙甲乙乙”，“乙乙甲乙”，

八，c、1211,2121.21125

***p(X=3)=-x—x—x——x—x—x——x—x—x—=一,

'33223232322318

X=6时，比赛的结果为：“甲甲乙乙乙”，“甲乙甲乙乙”，“甲乙乙甲乙”，

，，乙甲甲乙乙，，，“乙甲乙甲乙”“乙乙甲甲乙”，

八，八11211.12121,12112,21121.212

・•・p(X=6)=-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x

八J33322332323322332332323

12,2111213

—X—H—X—X—X—X—=—.

233223354

czc、1151317

Xv=9,：•pv(X=9)=1----------=—.

“J6185454

X的分布列为：

X0369

151317

P

6185454

£,(%)=0xi+3x-+6x-+9x-=5-.

',61854549

解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，互斥事件的概率的求法，考查转化思想

以及计算能力，是中档题.

(1)若甲获得发球权，求出获胜的概率，如果甲没有发球权，求出获胜的概率，利用互斥事件的概率

求和即可.

(2)比赛结束时甲的总得分工的可能取值为0,3,6,9,求出概率，得到X的分布列，然后求解期望.

20.答案：解：(1)证明：由题意点4为圆。上一点，则4B14C,

由PA1底面ZBCD,知P414B,/iV,

又PACAC=A,PA,ZCu平面P4C,4B1平面P4C,/三A"

AMu平面P4C,.-.ABLAM,'k

•••M为PC的中点，1PC,

■.■CDCtPC=C,AMl^PCD,

vAMu平面04M,：.平面。4M_1_平面PCD.

(2)如图，以4为原点，4B为x轴，4C为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系,

则C(0,2,0),D(-273,2,0),M(0,1,1),0(73,1,0),

OM=(-73,0,1),OD=(-373,1,0).

设平面0M。的法向量五=(x,y,z),

归变=-噂+z=0,取％=1,得丘=(1,3丁回

(n-OD=-3V3x+y=0')

由(1)知AMJL平面PCD,

则平面CDM的一个法向量沆=(0,1,1),

__>—〜mn2V186

.•.cos<m,n>=—,

由图可知二面角。-MD—。的锐角，

则二面角。—MD—C的余弦值为迎.

31

解析：(1)推导出AB14C,PALAB,从而4B_L平面P4C,AB1AM,推导出AM1PC,从而AM_L

平面PCD,由此能证明平面04MJ■平面PCD.

(2)以4为原点，4B为x轴，AC为y轴，4P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角。-

MD-C的余弦值.

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题.

21.答案：解：vfCx)=6x2-6x-12,

令:/'(x)=6