高中数学成才之路必修

3．2.1古典概型

1．基本事件的特点基本事件是随机试验中的不可能再分的事件，每一次试验有且仅有一个基本事件发生．(1)

；(2)

．任何两个基本事件是互斥的任何事件(除不可能事件外)都可以表示成基本事件的和2．古典概型如果随机试验具有以下两个共同特征：(1)

．在一次试验中，所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)

．每个基本事件发生的可能性是相等的．我们称这样的试验为古典概型．有限性等可能性3．基本事件的概率与古典概型的概率公式(1)在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为

.(2)基本事件总数为n的古典概型中，若事件A包含m个基本事件，则事件A的概率P(A)＝

.重点：掌握古典概型的概念以及利用古典概型求解随机事件的概率．难点：如何判断一个试验是否为古典概型，正确求出在一个古典概型中基本事件的总数和随机事件所包含的基本事件的个数．1．古典概型判断的依据：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．只有同时具备这两个特点的才是古典概型．例如，在适宜的条件下“种下一粒种子，观察它是否发芽”，试验的可能结果有两种：“发芽”“不发芽”，这两种结果出现的机会一般是不均等的．又如，从规格直径为300mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d，测量值可能是从299.4mm到300.6mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个．这两个试验都不属于古典概型．2．古典概型的一次试验中“可能结果”(即基本事件)的个数．一次试验中的“可能结果”实际上是针对特定的观察角度而言的，例如，甲、乙、丙三名同学站成一排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”“甲丙乙”“乙甲丙”“乙丙甲”“丙甲乙”“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位看，则可能结果只有三种，即站“左边”“中间”“右边”．因此在求古典概型的事件A时，一定要把基本事件数搞清，请牢牢把握关键点是：所有可能的基本事件数和事件A所含的基本事件数必须站在同一角度看问题，一开始把握不准时，可用逐个列举的办法以防失误．3．古典概型中基本事件的概率和某事件A的概率计算．(1)掷硬币试验中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，由概率的加法公式得：P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)＝P(必然事件)＝1.所以，P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝.一般地，对于古典概型，如果试验的n个基本事件为A1，A2，…，An，由于基本事件是两两互斥的，所以有P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)＝P(A1∪A2∪…∪An)＝P(必然事件)＝1，又因为每个基本事件发生的可能性相等，即P(A1)＝P(A2)＝…＝P(An)，代入上式得这个公式只适用于计算古典概型，而古典概型中“等可能性”的判断是很重要的，不要忽略．如一个口袋内装有大小相同的3个黑球和2个白球，从中摸出一个球，求摸出一个黑球的概率．我们把3个黑球分别标上“A、B、C”三个字母加以区分，把两个白球标上“D、E”加以区分，那么摸出一球的所有结果为“黑A”、“黑B”、“黑C”、“白D”、“白E”，共五种，因此摸出一个黑球的概率为初学者常会产生下面错解：从中摸出一球的可能结果有两种“黑球”、“白球”．则摸出一黑球的概率为.错因在于：黑球数多于白球数，因此摸到黑球的机会就大于摸到白球的机会，它们不是等可能的．因此，确定基本事件时一定要注意等可能性．4．学习概率的核心问题是了解随机现象和概率的意义，理解古典概型与几何概型的特征，初步学会把一些实际问题转化为古典概型和几何概型．因此本节重点是弄清什么样的实际问题可化为古典概型，不是“如何计数”，但是掌握简单的古典概型的计算中基本的计数方法是必要的，应注意以下几点：(1)求基本事件总数和事件A所包含的基本事件数，可采用一一列举或图表的形式(如平面直角坐标系中的点)来直观描述．(2)转化观察角度，从简单易行的角度入手，避免计算复杂化．(3)熟练地应用互斥事件和对立事件概率公式，将所求事件分解为概率更易于计算的彼此互斥事件的和，化整为零，化难为易，也可采取逆向思维，求其对立事件的概率．(4)注重典型例题的学习，通过对例题的学习加深对概念的理解，逐步掌握一些具体问题的解题方法，并通过大量练习，积累经验，总结题目类型，形成解题技巧．(5)注意有无放回抽样问题的区别．[例1]从3男1女共4名同学中选取2人参加数学竞赛，事件A＝“选取的两人中，有女同学”；B＝“选取的两人全为男生”事件A与B发生的概率哪个更大？[解析]

一样大．[点评]此题可能误判断为P(B)>P(A)．事实上，我们将男生编号1、2、3，记女生为4，取2人，基本事件构成的集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}中共6个等可能的基本事件，事件A与B都含三个基本事件，∴P(A)＝P(B)＝.解决问题时，一定要严格按步骤进行，切不可单从直觉作判断．判断下列命题正确与否．(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”3种等可能结果．________(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，从中摸取一球，则可能出现：“摸到红球”“摸到黑球”“摸到白球”三种等可能的结果．________(3)分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表，那么每个同学当选的可能性相同．________(4)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．________[答案]

(1)至(4)均不正确[例2]一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：(1)基本事件总数；(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？(3)摸出2个黑球的概率是多少？[解析]

由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个基本事件．(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．(3)基本事件总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m＝3，故P＝.[点评]古典概型求法步骤：1°确定等可能基本事件总数；2°确定所求事件包含基本事件数m；(2010·湖南文，17)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).(1)求x，y；(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．高校相关人数抽取人数A18xB362C54y所以x＝1，y＝3.(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共10种．设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共3种．[例3]假如某人有5把钥匙，但忘了开门的是哪一把，只好逐把试开，现在我们来研究一下：(1)此人恰好在第三次打开房门的概率有多大？(2)此人三次内打开房门的概率是多少？[例4]抛掷两颗骰子(1)一共有多少种不同结果？(2)向上的点数之和是4的结果有多少种？概率是多少？(3)出现两个4点的概率．(4)向上的点数都是奇数的概率．[解析]

(1)我们列表如图，可以看出掷第一颗骰子的结果有6种，对于它的每一个结果，第二颗骰子都有6个不同结果．如第一颗掷得2点时，与第二颗配对有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)6个不同结果，因此两颗骰子配对共有6×6＝36种不同结果，每个结果都是等可能的.第二颗第一颗1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)[点评]

1.掷一颗骰子有6种不同结果，掷两颗骰子有6×6＝62种不同结果；一般地掷n颗骰子，有6n种不同结果．2．掷一枚硬币有2种不同结果，掷n枚硬币共出现不同结果2n种．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)．则(1)平局的概率为________．(2)甲赢的概率为________．(3)乙赢的概率为________．[解析]

甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法．一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的．所以出拳游戏(试验)是古典概型．它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤．甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况．乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况．设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.由图容易得到：(1)平局含3个基本事件(图中的△)；(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)；(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)．由古典概率的计算公式可得：*[例5]用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率.矩形1矩形2矩形3[解析]

本题中的基本事件较多，为了清楚地枚举出所有可能的基本事件，可画树状图枚举如下：∴本题的基本事件共有27个．[例6]在两个袋内，分别装有写着数字0,1,2,3,4,5的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，求两数之和等于7的概率．[错解]

因为两数之和共有0,1,2，…，9,10十一种可能的不同结果，所以和为7的概率为P＝.[辨析]

错因在于对古典概型中，基本事件等可能性的认识不够，本题中基本事件应为卡片组成的有序数对，而不是所取卡片上数字的和，十一个数字和出现的机会是不相等的．[正解]从第一袋中取一张卡片有6种不同取法，对于它的每一种取法，对应从第二袋中取一张卡片的6种不同取法，∴取出卡片构成有序数对共6×6＝36种等可能结果，用(x，y)表示第一袋中取出的卡片上数字为x，第二袋中取出的卡片上数字为y，则数字之和为7的有(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)共4种不同取法，[答案]

D

2．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到的卡片号是7的倍数的概率为(

)[答案]

A二、填空题3．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率为________．4．袋子中有大小相同的四个小球，分别涂以红、白、黑、黄颜色．(1)从中任取1球，取出白球的概率为________．(2)从中任取2球，取出的是红球、白球的概率为________．5．在夏令营的7名同学中，有3名同学已去过北京，从这7名同学中任选2名同学．选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是________．[解析]

选两名同学，分两次选，按抽取顺序用(x，y)记录结果，由于随机选取，x有7种，y有6种，但(x，y)与(y，x)是相同的，所以基本事件总数为7×6÷2＝21，那么选出的同学是在3名去过北京的同学中选取，包含的基本事件数为3，三、解答题6．向一圆内随机地投一点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？[解析]

不是古典概型；因为向圆内投下一点，结果有无限多个，不满足古典概型的“有限性”．7．(2010·天津文，18)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径1.511.491.491.511.491.