2023年自考类-公共课-高等数学(工本)历年高频考题带答案难题附详解

2023年自考类-公共课-高等数学(工本)历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考点(共50题)1.设L为圆周x2+y2=1，=

A.8πB.10πC.12πD.14π2.设L为椭圆争，其周长为l，计算曲线积分．3.将函数f(x)=arctanx展开为x的幂级数．4.求微分方程y'=的通解．5.证明：无穷级数．6.将函数展开为a的幂级数．7.函数的定义域是______．8.微分方程y″+3y′=sinx的阶数是______．9.设函数z=f(xy，y2)，则______．10.已知无穷级数则un=______．11.微分方程y"+6y'+9y=0的通解是______．12.求曲线x=2sint，y=6cost，z=-4sin2t在对应于的点处的法平面方程．13.计算关于面积的曲面积分，其中∑是下半球面x2+y2+z2=a2(z≤0，a＞0)，γ是∑在点(x，y，z)处的法线与z轴正向的夹角，且cosγ＞0．14.设函数f(x)在[0，1]上连续，证明．15.求函数f(x，y，z)=c2yz+yz在点(-1，2，1)处的梯度．16.设∑为上半球面x2+y2+z2=1(z≥0)，则对面积的曲面积分dS=______．17.已知函数则18.微分方程y"-5y'+6y=x2e3x的一个特解y*可设为______A.(b0x2+b1x)e3xB.(b0x2+b1x)xe3xC.(b0x2+b1x+b2)e3xD.(b0x2+b1x+b2)xe3x19.判别级数的敛散性．20.求函数f(x，y)=2(x+y)-x2-y2的极值．21.在空间直角坐标系中，点(6，2，-1)关于Oyz坐标面的对称点的坐标是______A.(-6，-2，-1)B.(6，-2，-1)C.(-6，2，-1)D.(-6，-2，1)22.计算二重积分，其中积分区域D：x≥0，y≥0，x+y≤1.23.求由直线x+y=2，x=2，y=2所围成的面积．24.应用格林公式计算曲线积分，C由x=0，y=0，y-x=1围成．25.将函数展开为x的幂级数．26.证明由方程2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z确定的隐函数z=z(x，y)满足．27.设z=f(x，y)是由方程z-y-x+xez-y-x=0确定的隐函数，求．28.计算对坐标的曲线积分∫C(x-y)dx+xydy，其中C为直线y=x从点O(0，0)到点A(1，1)的线段．29.证明无穷级数.30.将函数f(x)=e2x展开为x的幂级数．31.求微分方程y"+3y'+2y=e-x．32.设L是圆周x2+y2+2y=0，求关于弧长的曲线积分．33.计算I=，其中D是由直线y=x及抛物线x=y2所围成的区域．34.已知周期为2π的周期函数f(x)在[-π，π)上的表达式为

S(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数，求s(-3π)．35.判断无穷级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?36.已知函数u=f(xlny，y2lnx)，其中厂为可微函数，求．37.计算，其中∑是立体(a＞b＞0)的表面的外侧．38.验证在整个Oxy平面内

(4x3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-6xy-4)dy

是某个二元函数u(x，y)的全微分，并求这样的一个u(x，y)．39.求函数u=xy2+z2-xyz在点(1，1，2)处，沿点A(1，1，2)到点8(4，5，14)的方向l的方向导数．40.由曲面及围成的闭区域Ω上的三重积分等于用球面坐标表示的(积分顺序为r，φ，θ的)三次积分为______．41.设矩形的周长为4，如何选取矩形的长和宽．能使得矩形的面积最大．42.若级数收敛于S，则级数

A.收敛于2SB.收敛于2S+u1C.收敛于2S-u1D.发散43.求过点(0，2，4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程．44.判别级数的敛散性．45.求微分方程的通解．46.设x2+y2+z2=4z,确定函数z=z(x，y)，求．47.设函数z=，则=______．48.微分方程y"-y=e-3x的特解y*=______．49.设函数z=u·v，u=x+y，v=x-y，则______.50.求函数u(x，y，z)=x2+2xy+z2在点P(1，2，0)处沿方向l={2，-1，2}的方向导数．第1卷参考答案一.综合考点1.参考答案：C由于被积幽数定义在积分曲线上，因此积分变量x，y满足枳分路线L的方程，利用这一性质化简积分2.参考答案：由于积分路线L关于x=0对称，函数xy2关于x为奇函数，故又沿曲线于是所求曲线积分3.参考答案：本题主要考查的知识点为幂级数的展开式(先求导，再积分)．

因为

所以

考生应该掌握常用函数幂级数展开式的求法：①利用定义法，②求导或积分法．4.参考答案：线性微分方程的特点是其中的未知函数及其导数都是一次方，本题中的y及其导数y'都是一次方，故为一阶线性微分方程，

原方程变形为，其中，Q(x)=-x．按一阶线性微分方程的通解公式得

，

其中用到

e2lnx==x2，(x≠0)，

所以原方程的通解为

y=x2(-ln|x|+C)．

注：这类方程的解法有两种，一种是将其化为标准形式：+P(x)y=Q(x)，找出方程中的P(x)、Q(x)，按一阶线性微分方程的通解公式：y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]求解；另一种方法是利用常数变易法求解，此题也可用常数变易法求解．5.参考答案：∵Sn=

=

而且

∴．6.参考答案：7.参考答案：{(x，y)|0＜x2+y2≤4}要使函数有意义，则8.参考答案：39.参考答案：f1+xyf11+2y2f12[解析]本题主要考查的知识点为函数的二阶偏导数.

由z=f(xy，y2)则

10.参考答案：11.参考答案：y=(c1+c2x)e-3x齐次方程的特征方程为r2+6r+9=0，∴r1=r2=-3，它只有一个实的二重根r=-3．因此所求通解为y=(c1+c2x)e-3x12.参考答案：解：

∴曲线在对应于的点处的法平面的法向量为又曲线对应于的点为从而所求法平面方程为

13.参考答案：解：(∑是下半球面x2+y2+z2=a2(z≤0)的上侧)(Dxy={(x，y)|x2+y2≤a2}是∑在xOy平面的投影)

其中

将②③代入①，得

14.参考答案：设则积分区域D={(x，y)|0≤x≤1，x2≤y≤1}交换二次积分的积分顺序有

∴等式成立．15.参考答案：本题主要考查的知识点为函数的梯度．

，，，则，，故gradf(-1，2，1)=(-4，2，4).16.参考答案：2π[解析]上班球面的方程为

z=

则，

∴ds=

∴

或者直接由球面积公式S=4πr2=4π(r=1)，则其一半为2π．17.参考答案：[解析]18.参考答案：D[解析]先求y"-5y'+6y=0的解，其特征方程为r2-5r+6=0

r1=2，r2=3．由e3x知r2=3为齐次方程的一个单根，则其特解形式设为y*=xQm(x)e3x，由x2可知m=2，∴Qm(x)=b0x2+b1x+b2，∴最终特解形式为y*=(b0x2+b1x+b2)xe3x．答案为D．19.参考答案：因为un=

由于

∴级数发散．20.参考答案：本题主要考查的知识点为函数的极值.

由得驻点(1，1)，又由于fxx=-2＜0，fxy=0，fyy=-2而所以f(x，y)在点(1，1)处取得极大值f(1，1)=2(1+1)-1-1=2.21.参考答案：C22.参考答案：解：由D：x≥0，y≥0，x+y≤1可得

23.参考答案：[考点点击]本题考查二重积分的应用。[要点透析]积分区域D：x+y≥2，x=2，y=2，如下图所示.

24.参考答案：[考点点击]本题考查格林公式．[要点透析]闭区域D：x=0，y=0，y-x=1，如下图所示

故

25.参考答案：解：26.参考答案：证明：令F(x，y，z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z则F'x=2cos(x+2y-3z)-1，F'y=4cos(x+2y-3z)-2．F'z=-6cos(x+2y-3z)+327.参考答案：令F(x，y，z)=z-y-x+xez-y-x则28.参考答案：解：C的方程

y=x，x从0变到1，所以

29.参考答案：解：∵，|x|＜+∞

∴

求导

从而

30.参考答案：解：∵

31.参考答案：对应齐次方程的特征方程为r2+3r+2=0∴r1=-2，r2=-1∴齐次方程的通解为y=C1e-2x+C2e-x∵r2=-1是特征方程的单根∴应设特解为y*=Axe-x则y*'=Ae-x-Axe-x，y*"=-Ae-x-Ae-x+Axe-x=-2Ae-x+Axe-x，将它们代入原方程得

(-2Ae-x+Axe-x)+3(Ae-x-Axe-x)+2Axe-x=e-x∴Ae-x=e-x

∴A=1所以原方程的一个特解y*=xe-x于是原方程的通解为y=c1e-2x+c2e-x+xe-x32.参考答案：L的参数方程：33.参考答案：本题考查二重积分的计算．先对x后对y积分时，区域D(如下图)可表示为0≤y≤1，y2≤x≤y．

于是有

但此题如果化为先对y后对x积分，

则有，

由于的原函数不能用初等函数来表示，所以它的积分难以进一步求出．这表明这个例子不能采用先对y后对x的积分公式来计算．34.参考答案：解：∵x=-3π是f(x)的间断点，

∴S(-3π)=S(-π)

35.参考答案：36.参考答案：解：设u=f(v，w)，其中u=xlny，w=y2lnx，

则

37.参考答案：由高斯公式得：由对称性知于是38.参考答案：令P(x，y)=4x3y3-3y2+5

Q(x，y)=3x4y2-6xy-4

因为

在Oxy平面内处处成立，所以表达式是某个二元函数u(x，y)的全微分，且可取

u(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy

39.参考答案：40.参考答案：[解析]因为Ω={(r，θ，φ)|1≤r≤2，0≤θ≤2π，}，

由Ω在yOz平面的投影区域如下图阴影部分所示知，

所以

41.参考答案：[考点点击]主要考查的知识点为条件级值.[要点透析]设矩形的长为x，宽为y，面积为S，则S=xy，x+y=2

构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-2)

解方程组

可得驻点x=1，y=1，λ=-1．

由于驻点惟一，且实际问题存在最大值，故(1，1)是问题的最大值点，最大值为S=1．42.参考答案：C设级数由题意知，43.参考答案：本题是有关直线方程的求解问题．平面x+2z=1和y-3z=2的法向量分别为

n1={1，0，2}和n2={0，1，-3}．

因所求直线与两平面均平行，从而其方向向量可取为v，且有v⊥n1，v⊥n2．

又直线过点(0，2，4)，从而所求直线的对称式方程为．44.参考答案：因为45.参考答案：本题主要考查的知识点为一阶线性微分方程的通解.

由一阶线性微分方程的通解公式有

注意公式中对P(x)积分的正负号，且此题而非.另此题还可以用常数变易法.46.参考答案：两边对x求导得47.参考答案：[解析]本题考查多元函数的偏导数．

z=，

故．48.参考答案：[