【解析】人教A版（2023） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式

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人教A版（2023）必修一第二章一元二次函数、方程和不等式

一、单选题

1．（2023高二下·杭州月考）已知正数x，y满足：，则x＋y的最小值为()

A．B．C．6D．

【答案】B

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由题可知，

（当且仅当时取等号）

所以x＋y的最小值为

故答案为：B

【分析】将所求表示转化为，由于乘以1不变，故原式可化为，将其整理化简后由基本不等式求得最小值即可.

2．（2023高一下·元氏期中）两个正实数满足，则满足，恒成立的m取值范围（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由，，可得，当且仅当上式取得等号，若恒成立，则有，解得.

故答案为：B

【分析】由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范围。

3．（2023高一上·东方月考）若，，则的大小关系是（）

A．B．

C．D．的大小由的取值确定

【答案】A

【知识点】不等式比较大小

【解析】【解答】因为,>0,

所以，

故答案为：A.

【分析】利用作差法进行大小比较.

4．（2023高三上·长春月考）若，则下列不等式中恒成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】不等关系与不等式

【解析】【解答】解:∵,∴,∴B符合题意,A不符合题意;

取,,则,CD不符合题意.

故答案为：B.

【分析】根据,利用不等式的性质和取特殊值可得正确选项.

5．（2023高一下·湖州期末）不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】由，

可得，，

所以，，

故答案为：A

【分析】解一元二次不等式，对原式因式分解可得，利用二次函数的图形性质，可得结果.

6．（2023高一下·大庆期中）已知关于的不等式的解集为，若函数，则下列说法正确的是（）

A．函数有最小值2B．函数有最小值

C．函数有最大值-2D．函数有最大值

【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由题得，的解集为，则，函数，又，则，故，当且仅当，即时，取得等号，函数有最大值.

故答案为：C

【分析】不等式可因式分解得，由解集为，可知，，代入函数，利用基本不等式，计算即得.

7．（2023高二上·咸阳月考）定义在R上的运算：.若不等式对任意实数x都成立，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程

【解析】【解答】不等式可化为，即对任意实数都成立，

，解得.

故答案为：B.

【分析】由题意得出对任意实数x都成立，由判别式小于0求解即可.

8．（2023高一上·温州期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】一元二次不等式的实际应用

【解析】【解答】①时，恒成立；

②，△，解得

综上，，

故答案为：．

【分析】分类讨论与0的关系，时恒成立，时，只需二次函数图象开口向下且与轴无交点，进而求解.

二、多选题

9．（2023·淄博模拟）设表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式的解可以为（）

A．B．3C．-4.5D．-5

【答案】B,C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】因为不等式，

所以，

所以，

又因为表示不小于实数x的最小整数，

所以不等式的解可以为3，-4.5.

故答案为：BC

【分析】先利用一元二次不等式的解法，得到，再根据表示不小于实数x的最小整数求解.

10．（2023高一上·海口月考）下列关于基本不等式的说法，正确的是（）

A．若，，则成立

B．对任意的，，成立

C．若，，则不一定成立

D．若，则成立

E．若，则成立

【答案】A,B,E

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】A就是均值不等式，正确；由知B符合题意；由A知C不符合题意；当时，，但，D不符合题意；由A知E正确。

故答案为：ABE。

【分析】由基本不等式的条件分析。

三、填空题

11．定义运算“”：.当时，的最小值是.

【答案】

【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】又新定义运算知，，

因为，

所以，==，但且仅当的最小值是

【分析】本题考查了基本不等式及新定义运算的理解能力，解答本题的关键，首先是理解新定义运算，准确地得到不等式，然后根据其特征，想到应用基本不等式求解.

12．（2023高二上·榆林期中）若不等式的解集是，则不等式的解集为．

【答案】

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】的解集为（-1，2），则，且对应方程的为-1和2，

∴，

，且，

不等式可化为，

即，

解得或．

故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

【分析】根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可．

13．（2023高一下·南昌期中）若不等式对于一切恒成立，则a的最大值为.

【答案】2

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】不等式对于一切恒成立，即在上恒成立.

又，当且仅当时取等号.故，即的最大值为2.

故答案为：2

【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求在上的最小值即可.

14．（2023高一下·南昌期中）已知函数，则函数的最小值为.

【答案】5

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由题得，

因为，

所以.

当且仅当时取最小值.

故答案为：5.

【分析】由题得，再利用基本不等式求函数的最小值得解.

15．（2023·肥东模拟）已知集合，从集合A中取出m个不同元素，其和记为S；从集合中取出个不同元素，其和记为T．若，则的最大值为．

【答案】44

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）;t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44

故答案为44

【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取S由得到令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式得取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.

四、解答题

16．设函数，

（1）若不等式的解集．求的值；

（2）若求的最小值.

【答案】（1）【解答】解：因为不等式f(x)>0的解集(-1,3)，所以-1和3是方程f(x)=0的二实根，从而有：即解得：.

（2）【解答】解：由f(1)=2,a>0,b>0得到a+b=1,

所以,

当且仅当,即时“=”成立;所以的最小值为9．

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，解决问题的关键是（1）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个”二次，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点值符合四个方面分析；（2）二次函数的综合问题应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想,（3）利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值

17．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m）,(1)将y表示为x的函数(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用

（1）将y表示为x的函数：

（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

【答案】（1）解：设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x﹣2）+1802a=225x+360a﹣360．

由已知ax=360，得，

所以

（2）解：因为x＞0，所以，所以，当且仅当时，等号成立．

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．

18．（2023高二上·集宁月考）解关于的不等式.

【答案】解：原不等式可化为，即，

①当时，原不等式化为，解得，

②当时，原不等式化为，

解得或，

③当时，原不等式化为.

当，即时，解得；

当，即时，解得满足题意；

当，即时，解得.

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【分析】将原不等式因式分解化为，对参数分5种情况讨论：，，，，，分别解不等式．

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人教A版（2023）必修一第二章一元二次函数、方程和不等式

一、单选题

1．（2023高二下·杭州月考）已知正数x，y满足：，则x＋y的最小值为()

A．B．C．6D．

2．（2023高一下·元氏期中）两个正实数满足，则满足，恒成立的m取值范围（）

A．B．C．D．

3．（2023高一上·东方月考）若，，则的大小关系是（）

A．B．

C．D．的大小由的取值确定

4．（2023高三上·长春月考）若，则下列不等式中恒成立的是（）

A．B．C．D．

5．（2023高一下·湖州期末）不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

6．（2023高一下·大庆期中）已知关于的不等式的解集为，若函数，则下列说法正确的是（）

A．函数有最小值2B．函数有最小值

C．函数有最大值-2D．函数有最大值

7．（2023高二上·咸阳月考）定义在R上的运算：.若不等式对任意实数x都成立，则（）

A．B．C．D．

8．（2023高一上·温州期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

二、多选题

9．（2023·淄博模拟）设表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式的解可以为（）

A．B．3C．-4.5D．-5

10．（2023高一上·海口月考）下列关于基本不等式的说法，正确的是（）

A．若，，则成立

B．对任意的，，成立

C．若，，则不一定成立

D．若，则成立

E．若，则成立

三、填空题

11．定义运算“”：.当时，的最小值是.

12．（2023高二上·榆林期中）若不等式的解集是，则不等式的解集为．

13．（2023高一下·南昌期中）若不等式对于一切恒成立，则a的最大值为.

14．（2023高一下·南昌期中）已知函数，则函数的最小值为.

15．（2023·肥东模拟）已知集合，从集合A中取出m个不同元素，其和记为S；从集合中取出个不同元素，其和记为T．若，则的最大值为．

四、解答题

16．设函数，

（1）若不等式的解集．求的值；

（2）若求的最小值.

17．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m）,(1)将y表示为x的函数(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用

（1）将y表示为x的函数：

（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

18．（2023高二上·集宁月考）解关于的不等式.

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由题可知，

（当且仅当时取等号）

所以x＋y的最小值为

故答案为：B

【分析】将所求表示转化为，由于乘以1不变，故原式可化为，将其整理化简后由基本不等式求得最小值即可.

2．【答案】B

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由，，可得，当且仅当上式取得等号，若恒成立，则有，解得.

故答案为：B

【分析】由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范围。

3．【答案】A

【知识点】不等式比较大小

【解析】【解答】因为,>0,

所以，

故答案为：A.

【分析】利用作差法进行大小比较.

4．【答案】B

【知识点】不等关系与不等式

【解析】【解答】解:∵,∴,∴B符合题意,A不符合题意;

取,,则,CD不符合题意.

故答案为：B.

【分析】根据,利用不等式的性质和取特殊值可得正确选项.

5．【答案】A

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】由，

可得，，

所以，，

故答案为：A

【分析】解一元二次不等式，对原式因式分解可得，利用二次函数的图形性质，可得结果.

6．【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由题得，的解集为，则，函数，又，则，故，当且仅当，即时，取得等号，函数有最大值.

故答案为：C

【分析】不等式可因式分解得，由解集为，可知，，代入函数，利用基本不等式，计算即得.

7．【答案】B

【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程

【解析】【解答】不等式可化为，即对任意实数都成立，

，解得.

故答案为：B.

【分析】由题意得出对任意实数x都成立，由判别式小于0求解即可.

8．【答案】B

【知识点】一元二次不等式的实际应用

【解析】【解答】①时，恒成立；

②，△，解得

综上，，

故答案为：．

【分析】分类讨论与0的关系，时恒成立，时，只需二次函数图象开口向下且与轴无交点，进而求解.

9．【答案】B,C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】因为不等式，

所以，

所以，

又因为表示不小于实数x的最小整数，

所以不等式的解可以为3，-4.5.

故答案为：BC

【分析】先利用一元二次不等式的解法，得到，再根据表示不小于实数x的最小整数求解.

10．【答案】A,B,E

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】A就是均值不等式，正确；由知B符合题意；由A知C不符合题意；当时，，但，D不符合题意；由A知E正确。

故答案为：ABE。

【分析】由基本不等式的条件分析。

11．【答案】

【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】又新定义运算知，，

因为，

所以，==，但且仅当的最小值是

【分析】本题考查了基本不等式及新定义运算的理解能力，解答本题的关键，首先是理解新定义运算，准确地得到不等式，然后根据其特征，想到应用基本不等式求解.

12．【答案】

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】的解集为（-1，2），则，且对应方程的为-1和2，

∴，

，且，

不等式可化为，

即，

解得或．

故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

【分析】根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可．

13．【答案】2

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】不等式对于一切恒成立，即在上恒成立.

又，当且仅当时取等号.故，即的最大值为2.

故答案为：2

【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求在上的最小值即可.

14．【答案】5

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由题得，

因为，

所以.

当且仅当时取最小值.

故答案为：5.

【分析】由题得，再利用基本不等式求函数的最小值得解.

15．【答案】44

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）;t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44

故答案为44

【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取S由得到令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式得取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.

16．【答案】（1）【解答】解：因为不等式f(x)>0的解集(-1,3)，所以-1和3是方程f(x)=0的二实根，从而有：即解得：.

（2）【解答】解：由f(1)=2,a>0,b>0得到a+b=1,

所以,

当且仅当,即时“=”成立;所以的最小值为9．

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用