四元数矩阵方程axb,xd=e,f的最小范数最小二乘hermiian解

四元数矩阵方程axb,xd=e,f的最小范数最小二乘hermiian解

1方兴未艾的数值研究在本规范中，r是代表真理域的范围，q是代表四位数的除环。矩阵方程的求解问题是矩阵理论和数值代数研究中的重要课题,近几十年来,其研究方兴未艾在实数域、复数域以及四元数除环上已经做了一些研究,见文献本文研究下面的问题:问题1.1设问题1.1的解X本文后面的内容安排如下.第2部分给出了一些预备知识;第3部分应用四元数矩阵的实表示矩阵以及实表示矩阵的特殊结构,研究了问题1.1的解;在第4部分中,给出了问题1.1的数值算法与数值例子,说明算法的有效性;最后,第5部分总结了全文.2.2.2最有效的四元数矩阵方程的最小二乘四元数矩阵A∈Q从A四元数矩阵A的F范数定义为:不难验证它满足所以当方程(1)有Hermitian解时,其解集为(5)式.进一步地,根据数值代数中的结论可得方程(1)有唯一Hermitian解的充要条件为r(GUVW)=2n注3.1通过定理3.1,可以看出求解四元数矩阵方程(AXB,CXD)=(E,F)的最小二乘Hermitian解的问题可以转化为求解相应的实矩阵方程的最小二乘解的问题因此,避免了复杂的四元数运算与不稳定的复数运算.并且与文献4算法4.1.2误差检验在本部分,首先利用第3部分的结论,给出问题1.1的数值算法,然后给出两个数值例子说明方法的有效性.数值算法如下.算法4.1步骤1:输入步骤2:求出A步骤3:根据(3)式计算问题1.1的唯一的最小范数最小二乘Hermitian解X下面提供两个数值例子来说明算法的有效性.在例4.1中,计算了不同阶数的四元数矩阵方程(1)按照算法4.1得到的最小范数最小二乘Hermitian解和相应的实际的最小范数最小二乘Hermitian解之间的误差.在例4.2中,利用算法4.1与文献例4.1考虑四元数矩阵方程(AXB,CXD)=(E,F),其中令a=rand(n),b=rand(n),c=rand(n),d=rand(n),则令E=AXB,F=CXD,则四元数矩阵方程(AXB,CXD)=(E,F)有唯一的Hermitian解X.显然X也是唯一的最小范数最小二乘Hermitian解.另外,再通过算法4.1求出唯一的最小范数最小二乘Hermitian解X从图1可以看出ε<-11.5,也即是∥X例4.2考虑四元数矩阵方程(AXB,CXD)=(E,F),其中A,B,C,D,E,F为随机生成的四元数矩阵,具体如下:令m=n=s=t=2K,用本文中的算法4.1与文献从图2可以看出,本文提出的算法4.1在求解问题1.1时花费的时间少,大约是文献5算法1.2.2引理介绍本文利用四元数矩阵的实表示矩阵以及实表示矩阵的特殊结构,把四元数矩阵方程转化为相应的实矩阵方程,求出了问题1.1的解的表达式并给出了相应的算法.由于所得到的结果只涉及到实矩阵,相应的算法只涉及到实运算,因此非常有效,并用两个数值例子加以说明.引理2.1引理2.2引理2.3设其中引理2.3可以通过两边计算验证得到,这里省去它的证明.定义2.1定义定义2.2定义引理2.43有条件无条件下的四元数矩阵方程的最小二乘解本部分中,利用四元数矩阵的实表示矩阵、实表示矩阵的特殊结构、矩阵的Kronecker积与矩阵的Moore-Penrose逆研究问题1.1的解.定理3.1设记其中问题1.1的唯一解证明根据Frobenius范数的性质,可得到以下关系等价因此,问题1.1中的集合HQ根据引理2.1-引理2.3,有由由引理2.4,得因此从而根据数值代数中的结论,实矩阵方程的最小二乘解可以表示为其中因此问题1.1中的集合HQ其中这即证明了(2)式成立.进一步也可得问题1.1的唯一解根据定理3.1,可得四元数矩阵方程(1)有Hermitian解的条件及Hermitian解集.推论3.1设记则四元数矩阵方程(1)有Hermitian解的充要条件为当方程(1)有Hermitian解时,其Hermitian解集为其中进一步,若方程(1)有Hermitian解,有唯一Hermitian解的充要条件为并且唯一的Hermitian解证证明四元数矩阵方程(1)有Hermitian解的充要条件为