协方差和相关系数矩和协方差矩阵

§4.3协方差和相关系数1.定义

若E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，则称其为随机变量X与Y的协方差。记为Cov（X，Y）即Cov(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]协方差Cov(X,Y)=2.协方差的计算一.协方差离散型随机向量其中P{X=xi,Y=yj}=pij

i,j=1,2,3,….连续型随机向量

Cov(X,Y)

3.协方差计算公式Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)（1）若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0注（2）D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)例1.求Cov(X,Y)Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/4¼½¼解：E(X)=2,E(Y)=2；Cov(X,Y)=23/6–4=－1/6;E(XY)=求解因为同理可得例2 设二维（X，Y）随机变量的密度函数为4.

协方差的性质（4）当X与Y相互独立时，有Cov(X,Y)=0（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X)（2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b为常数

（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)例2．已知D(X)=2，D(Y)=4，COV(X,Y)=－2，求3X－4Y+8的方差。解：

D(3X-4Y+8)=D(3X)+D(4Y)-2COV(3X,4Y)=9D(X)+16D(Y)–24COV(X,Y)=18+64+48=130若X，Y相互独立，D(3X-4Y+8)=D(3X)+D(4Y)=82

由协方差的性质(2)知,协方差取值的大小要受到量纲的影响,为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差二.相关系数（标准协方差）1.定义对于随机变量X和Y,若D（X)≠０，D（Y)≠０则称为随机变量X和Y的相关系数。（标准协方差）当ρXY=0时,称X与Y不相关。２.性质（1）|ρXY|≤1；（2）|ρXY|=1当且仅当P{Y=aX+b}=1,其中a,b为常数。相关系数ρXY刻划了随机变量X和Y的线性相关程度。例2.求ρXY解：E(X)=2,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2；D(X)=1/2D(Y)=1/2。E(XY)=Cov(X,Y)=23/6–4=-1/6;¼½¼Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/4例３.

设随机变量X的方差D（X)≠０且Y=aX+b(a≠０),求X和Y的相关系数ρXY解：（1）|ρXY|≤1；于是，判别式△=４[Cov(X,Y)]2–

４D(X)·D（Y）≤0证明：（1）考虑实变量t的二次函数因q（t）≥0，D（X）≥0，即方程q（t）=0或者没有实根或者有重根，，故|ρXY|≤1．（2）|ρXY|=1当且仅当P{Y=aX+b}=1,其中a,b为常数。2.ρXY的性质(2)|ρXY|=1相当于[Cov(X,Y)]2=D(X)·D(Y)

，即相当于方程有二重根，记为t0，即E{[(X—E(X))t0+(Y—E(Y))]2}=0．结合E{[X—E(X)t0+(Y—E(Y))]}=0，得到D[(X—E(X))t0+(Y—E(Y))]=0．由方差性质5知，上式成立的充要条件是

P{[X—E(X)]t0+[Y—E(Y)]=0}=1，

即P{Y=aX+b}=1．其中a=-t0，b=t0E(X)+E(Y)为常数．显然，fX(x)fY(y)≠f(x,y)，因此，X与Y不相互独立。证明：(1)因为同样E（Y）=0于是ρXY=0，所以

X与Y不相关。(2)例4．已知（X，Y）的概率密度，试证X与Y既不相关，也不相互独立。解：X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度fX(x),fY(y)如下：

从而说明二维正态分布随机变量X、Y相互独立ρ=0，即X、Y相互独立与不相关是等价的。例5．设（X，Y）服从二维正态分布，求X，Y的相关系数。1.将一枚不均匀硬币投掷n次，以Ｘ和Ｙ分别表示出现正面和反面的次数，则Ｘ和Ｙ的相关系数为（Ａ）－１；（Ｂ）０；（Ｃ）½；(D)1。2.设随机变量Ｘ和Ｙ独立同分布，记U=X+Y,V=X-Y,则Ｕ和Ｖ（Ａ）不独立；（Ｂ）独立；（Ｃ）相关系数为０；（D）相关系数不为０。3.设Ｘ是随机变量，Ｙ=aX+b(a≠０),证明：４.设随机变量Ｘ的概率密度为求Ｘ与|X|的协方差，问Ｘ和|X|是否不相关，是否相互独立．练习题1．矩的概念

显然数学期望E（X）是X的一阶原点矩，方差D（X）是X的二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)是X、Y的二阶混合中心矩。设X、Y为随机变量，k,l为自然数，若E（Xk）存在，则称它为X的k阶原点矩。若E{[X—E(X)]k}存在，则称它为X的k阶中心矩。若E（XkYl）存在，则称它为X与Y的k+l

阶混合原点矩。即(k,l=1，2，…)

若E{[X—E(X)]k[Y-E(Y)]L}存在，则称它为X与Y的k+L阶混合中心矩。§4.4矩和协方差矩阵显然，协方差矩阵是对称阵。2．协方差矩阵(1).（X，Y）有四个二阶中心矩，分别记为C11=E[X-E(X)]2，C12=E[X-E(X)][Y-E(Y)]，C21=E[Y-E(Y)][X-E(X)]，C22=E[Y-E(Y)]2．则称矩阵为（X，Y）的协方差矩阵。(2).

对于n维随机向量（X1，X2，…，Xn）的二阶中心矩i,j=1,2,…，n则协方差矩阵为所以（X，Y）的协方差矩阵为，由对称