2019长春高三三模数学理科

长春市普通高中2019届高三质量监测(三)数学试题卷(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin210。=A.B.C.D.A.B.C.D.已知集合A={，1,0,1,2},B={x|(x+1)(x—2)„0},则AB=A. {-1,0,1,2} B.{-1,0,1}C. {0,1邙} D.{0,1}a+i若复数 的实部与虚部相等，则实数a的值为1+1A.0B.1C.2D.35.已知等差数列{a}的前5.已知等差数列{a}的前n项和为Snn且a2=4，a4二2，则S6=A.0B.10C.15D.306.已知牛e6.已知牛e2是两个单位向量,则(e-2e)・(_2e+e)二1212A.32B.A.32B.C.D.若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为34612A.B.—C.D.13757已知m,n为两条不重合直线，a,”为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出a//”的是A.m//n,mua,nupb.m//n,m丄a,n丄B

D.m丄n,m,€,n丄P9．“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比.这12年间的研发投入（单位：十亿元）用下图中的条形图表示，研发投入占营收比用下图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论错．误．的是A.2012-2013年研发投入占营收比增量相比2017-2018年增量大B.该企业连续12年研发投入逐年增加2015-2016年研发投入增值最大该企业连续12年研发投入占营收比逐年增加10.函数f10.函数f(x)„x(e-x-ex)4x2-1的部分图象大致是线C准线上的动点，则IOPI+IAPI的最小值为A.4A.4B.4J3 C.4^6 D. 6]31€Inx,x$l已知函数f(x)=„1 1，若x丰x,且f(x)+f(x)二2,则x+x的取值-x+—,x…1 12 1 2 12,22范围是A.[3-2ln3,)B.[e-1,) C.[3-2ln2,) D.[2,)二、填空题：本题共4小题，每小题5分.TOC\o"1-5"\h\z已知函数f(x)=sin(<x+£)(©>0)的最小正周期为兀，则①二 ,aJ2若f(刁)二1Q，则sm2a= .已知矩形ABCD,AB=12,BC=5,以A,B为焦点，且过C,D两点的双曲线的离心率为 .我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1,对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；、②最长的侧棱长为2J6； _③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； 一④外接球的表面积为24兀. -其中正确的描述为 .TOC\o"1-5"\h\z已知数列｛a｝中，a—2，a—n （n丘N*），则工—— .n 1 »+1n+1+2a an k=1k三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分（本小题满分12分）在AABC中，AB=6，AC二4迈.2d2（1） 若sinB=丁，求AABC的面积；（2） 若点D在BC边上且BD=2DC,AD=BD，求BC的长.

18.（本小题满分12分）某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照［55,65）,［65,75），［75,85），［85,95］进行分组）.分组分组频数24|隔陶LU［蟻馬|4合计20（I） 分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（II） 分别估计两个车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在的区间中点的值作代表）（III） 从第一车间样本中生产时间小于75min的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB〃CD,AD=AB=BC=1,CD=2，E为CD中点,AE与BD交于点O，将AADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P,平面ABCE）.（1）证明：平面POB丄平面ABCE；x2y2如图所示，B1、B2是椭圆C的短轴端点,椭圆C: + €如图所示，B1、B2是椭圆C的短轴端点,a2b2且Bi到焦点的距离为3•匹，点M在椭圆C上运动，且点M不与Bi、B2重合，点N满足NB丄MB，NB丄MB.1122求椭圆C的方程；求四边形MBNB面积的最大值.2121.(本小题满分12分)2已知a€R,函数f(x)二,aInx.x讨论函数f(x)的单调性；若x二2是f(x)的极值点，且曲线y=f(x)在两点P(x,f(x)),Q(x,f(x))1122(x<x<6)处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b、b，求b-b121212的取值范围.(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy中，直线1的倾斜角为30°且经过点A(2,1).以坐标原点O为极点，x1轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1:Pcos0=3，从原点O作射线交1于点M，22点N为射线OM上的点，满足IOMI-1ON1=12，记点N的轨迹为曲线C.求出直线1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；1设直线1与曲线C交于P，Q两点，求IAPI-1AQI的值.1(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知函数f(x)=I2x—1I,Ix—II.⑴求不等式f(x)W4的解集；(2)设函数f(x)的最小值为m，当a,b,c€R+，且a,b,c=m时，求\'2a+1+、；2b+1+、：'2c+1的取值范围.长春市2019年高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A【命题意图】本题考查诱导公式.【试题解析】Asin210o=-.故选A.2D【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】DB={xI，1<x<2},AB={0,1}.故选D.A【命题意图】本题考查复数的运算.a„1„（1—a）i【试题解析】Az二2 ，a=0.故选A.B【命题意图】本题考查程序框图.【试题解析】B可知.故选B.C【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】Cd=—l,a=5,S=15.故选C.16A【命题意图】本题主要考查平面向量.【试题解析】A可知.故选A.D【命题意图】本题考查条件概率的相关知识.【试题解析】D可知.故选D.B【命题意图】本题主要考查空间直线与平面位置关系.【试题解析】B可知.故选BD【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】D可知ABC正确.故选D.B【命题意图】本题主要考查函数性质的相关知识.【试题解析】B 确定函数为偶函数，代入特殊值，可排除A，C,当x…+8,f（x）…s.故选B.C【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识.【试题解析】C做O点关于准线的对称点M,则所求距离和的最小值为IAMI.故选C.C【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识.【试题解析】C先确定x<1<x，借助条件等式，用x表示x，x=1-2lnx,得122112到关于x的函数关系式x„x=1-2lnx„x，通过构造函数并求导确定该函数的单调性21222求出答案.故选C.TOC\o"1-5"\h\z二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分） _2兀 a J213.2,，【试题解析】由周期公式T= =兀得①=2，由f（）=得① 2 10•/兀、72 1 1.C24sin(a+—)= 所以sina+cosa=—，平方得1+2sinacosa= sin2a=—-4 10 5 25 25314.2【试题解析】在焦点AABC中，AB=12,BC=5,AC=132c IABI 12\o"CurrentDocument"e= = =2a|AC|，|BC| 13—5

15.16.①②④5n2一3n长宽高分别为4,2,2，易得①②④正确.na n【试题解析】由a，n15.16.①②④5n2一3n长宽高分别为4,2,2，易得①②④正确.na n【试题解析】由a，n得a(n+1+2a)，na，即

n+1n+1+2a n+1 nn2aann+1+(n+1)a21，na，两边同时除以n(n+1)aa得 +一n+1n nn+1n(n+1)na (n+1)an n+11(1+5n—4)n 5n2—3n5n一4•1由累加法得丄=・••丄=心为等差数列所以„丄,1.na 2n a2nn三、解答题17.（本小题满分12分）【命题意图】本题考查解三角形的相关知识•—4J1【试题解析】解：（I）由正弦定理得： -ak，1 k朿一歳’所以SinC，1，ZC，2?31 __所以BC，苇'62—(42)2，2，所以S，x2x4J2，4、.：2.(6分)(II)设DC，x,则BD，2x,则AD，2x,(2x)2+(2x)2一62 (2x)2+x2一(4>/2)2所以2-x-2x解得：x=—3^所以BC，3DC，5£2.（12分）18.（本小题满分12分）【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识.【试题解析】（I）由题意得，第一车间样本工人20人,其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有6人，第二车间样本工人40人，其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有40x（0.025+0.05）x10，30人，故第一车间工人中有60人，第二车间工人中有300名工人中在75min内生产完成一件产品；（4分60x2+70x4+80x10+90x4（II）第一车间样本平均时间为x， ，78（min），甲20第二车间样本平均时间为20x，60x0.25+70x0.5+80x0.2+90x0.05，70.5（min），乙_•/x>x，•乙车间工人生产效率更高；（8分）（Ilf）由题意得，第一车间样本生产时间小于75min的工人有6人，从中抽取3人,其中生产时间小于65min的有2人，随机变量X服从超几何分布，C0C3P(X，0)， 2_4C36X的分布列为：420C1C0C3P(X，0)， 2_4C36X的分布列为：420C1C2—2—4C361220P(X，2)，C2C1

—2_4C364120 5X012P13112分)数学期望E(X)，0x*+1x3+2x5，1.19.（本小题满分12分）【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】（I）证明：在厶PAE中，OP丄AE，在△BAE中，OB丄AE,AE丄平面POB,AE,平面ABCE,所以平面POB丄平面ABCE；（4分）（II）在平面POB内作PQ丄OB二QPQ丄平面ABCE.・・・直线PB与平面ABCE夹角为…PBQ=—，4又OP=OB，•OP丄OB，O、Q两点重合，即OP丄平面ABCE，由题意得，各点坐标为P（0,0,工匕），E（—,0,0），C（1,22，EC=（亍，0），由题意得，各点坐标为P（0,0,工匕），E（—,0,0），C（1,22，EC=（亍，0），22・・・PE—(丄,0,-2设平面PCE的一个法向量为n—(x,y,z)，1[1运0-—z—0 —2 2，设x-忑，1朽一—xH y—0〔2 27则―厂z—1，•:n1—(舅，—1,1)，由题意得平面PAE的一个法向量n—(0,1,0)，2设二面角A-P-EC为a亠IcosaI— — —InIInI1•125即二面角A-P-EC为a的余弦值为^―. (12分) > >-~PE-n—0则5 1，即<EC-n—0120.（本小题满分12分）【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识.【试题解析】解：（I）e—――，••a—\l2c，又a=3\：2，且a2—b2+c2,•a2—18，b2—9，因此椭圆C的方程为X2+兰—1. (4分)18 9MB丄NB，MB丄NB，1122(II)法一：设M(x,y)(x丰0)MB丄NB，MB丄NB，1122直线NB直线NB、:y+3=亠x……①y+30直线NB:y直线NB:y—3—X0x ②2丿 y—30—9x..X—— 0,13四边形MBNB的面积S—IBB1(1XI+1XI)—3x|xI，2 1 2 「2 1 2 2 〜0<X2‘18，•当X2—18时，S的最大值为经2.002由①，②解得：X1X01・212分）法二：设直线MBi法二：设直线MBi:y"-3 （k丰0），则直线NBi：y=■kx-3……①直线MB与椭圆C：1x2 y2€二1的交点M直线MB与椭圆C：1x2 y2€二1的交点M的坐标为(18912k2k2€16k2-3)2k2€1)6k2—3，3则直线MB的斜率为k二2^弟二2 MB2 12k2k2€112k直线NB:y二2kx€3②26k由①，②解得N点的横坐标为x二-N 2k2€1四边形MB2吧的面积S=丄丨BB1(1x2 12M|€|xNI)=3„(竺+空)=汕2k2€1 2k2€1 2k2€1542|k|€1iTi当且仅当IkI二上:时，S取得最大值^7”2.(12分)21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(I)f'(x)=2€a=ax^2,x2xx2当a…0时，f(x)<0在xg(0,€^)上恒成立，•：f(x)在(0,€^)上单调递减；22当a>0时,xg(0,—)时f'(x)<0，xg,+8)时,f'(x)>0，aa22即/(x)在xg(0,—)上单调递减，在xg[-,€8)单调递增；(4分)aa2(H)Vx=2是f(x)的极值点，•：由(1)可知一=2， •:a=1a设在P<x,f(x))设在P<x,f(x))处的切线方程为y—(—+lnx)=(—-—+丄)(x—x)1 1 x1x2x11121€ )(x-x)x2x222111€=—xx212111<<一，4x31x1在Q<x,f(x))处的切线方程为y—(—€lnx)=(—2 2 x 222121•:若这两条切线互相平行，则-二€丄=-丄€丄，.x2xx2x1122.1111< <—，•6 2xx114同理，b= €lnx一1.2x 221一，且0<x<x<6，.x 1 214则b= €lnx一1，1x11111【解法一】•・•-=1—-，x2x211121111••b—b=4( — )€lnx—lnx=4( —)—ln+ln(— )2x1•・•—=1x2

2令x=0，21.xg(3,4)11 2xx121'设g(x)=8x—2—lnx+ln( —x)，212x21(11)43•,()81 1 16x2€8x+1(4x—I)2„0・・g(x)=8—x—L=厂=話匚„0—x2TOC\o"1-5"\h\z11 2・g(x)在区间(一，)上单调递减，・・g(x)…(——ln2,0)43 32即b—b的取值范围是(一—ln2,0). (12分)1232x 1 1 8x【解法二】•・•x= —,•b—b=4( - )+lnx—lnx= —2+ln(f—1)2x—2 1 2xx1 2x 211218x令g(x)= +ln(-—1)—2，其中x…(3,4)x28 1x2一8x+16 (x一4)2••g，(x)=— + = = >0x2 x—2 x2(x—2) x2(x—2)2・•・函数g(x)在区间(3,4)上单调递增，・•・g(x)…(3—ln2,0)2・•・b—b的取值范围是(一—ln2,0). (12分)123【解法三】x-x=2(x+x),121244b—b= — +lnx—lnx44b—b= — +lnx—lnx=12x14(x—x)2—x・x

12[x

l+lnrx22(x—x)x2 1+lnx+x12[x+ln1x2设g(x)=+lnx,—4(1—x1+—=(1+x)2x x(1+x)2TOC\o"1-5"\h\zx x 1 1•・•—=Z—1…(丄,1),・•・g，(x)>0,・•・函数g(x)在区间(―,1)上单调递增,x 2 2 2222g(x)…(——ln2,0),・•・b—b的取值范围是(——ln2,0). (12分)3 1 2 322.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.x=2+x=2+t2 (t为参数)1y=1+—t2设N(”,•),M(p,•),(”>0,p>0)111片八12,即卩” 3八=12,即p=4cos•,所以x2—4x+y2=0(x-0).【试题解析】解：(I)'cos•5分)1(II)将l的参数方程代入C的直角坐标方程中,1(2+遇t)2—4(2+竺t)+(1+11)2=0222即12+1—3=0,t,t为方程的两个根，所以tt=—3,1212所以|Ap|-|AQ=|t1t2|=|-3|=3.(10分)23.(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容.本小题重点考查化归与转化思想.12【试题解析】解：(1)①当x€-时，f(x)=—3x+2„4,A--„x＜一11当2„x€1时，f(x)二x„4,「.2„x€1当x>1时，f(x)=3x-2„4,A1„x„22综上：f(x)„4的解集为{xI—3wxw2}. (5分)，3x+2,x€2(II)法一：由((II)法一：由(I)可知f(x)=x, „x€1，•…f(x)2min3x一2,x>11乂a,b,c<R+,且a+b+c_ ,则2a+2b+2c_1,2设x_\：2a+1,y_J2b+1,z_p2c+1,x2+y2>2xy,•…2xy„x2+y2_2a+1+2b+1_2a+2b+2,同理：2yz„2b+2c+2，2zx„2c+2a+2，…2xy+2yz+2zx„2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2_8,….(x+y+z)2_x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx„2a+1+2b+1+2c+1+8_12.…x+y+z„2\；'3,即2a+1+\2b+1+、：'2c+1„2、：3,取得最大值2取得最大值2「3.(10分)当且仅当a_b_c_ 时，6，3x+2,x€—_1_1_2'法二：由(I)可知f(X)=x, „法二：由(I)可知f(X)=2min3x一2,x>1…2a+1+、；2b+1+p2c+1.…a…2a+1+、；2b+1+p