幂函数练习题及答案解析

幂函数练习题及答案解析下列幂函数为偶函数的是y＝x²，因为它关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。若a＜0，则0.5a＜5a＜a/2，因为a＜0时，y＝x^a单调递减，且0.5＜5；若α∈{－1,1,3}，则使函数y＝x^α的定义域为R，且为奇函数的所有α值为1和3，因为只有函数y＝x和y＝x³的定义域是R，且是奇函数；已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(-1)^n>(1)^n，则n＝－1或2，因为y＝x^n在(-∞，0)上为减函数；函数y＝(x＋4)²的递减区间是(-∞，-4)，因为它开口向上，关于x＝－4对称，在(-∞，-4)递减；若幂函数的图象过点(2，4)，则它的单调递增区间是(-∞，0)，因为y＝x^2是偶函数，图象关于y轴对称，过点(2，4)说明其在x＝-2处取到最小值，故单调递增区间为(-∞，-2)和(2，+∞)；正确的说法个数是2，因为①和③是错误的；使f(x)＝x^α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是1，因为只有α＝-1满足条件。由于文章中存在大量的格式错误，以及明显有问题的段落，这里只给出修改后的文章：已知$α=-1,1,3$，又因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上为减函数，所以$α=-1$。使$(3-2x-x^2)^4$有意义的$x$的取值范围是(C)$-3<x<1$。解析：$(3-2x-x^2)^4>0$，所以要使上式有意义，需要$3-2x-x^2>0$，解得$-3<x<1$。函数$f(x)=(m^2-m-1)x^{m-2}2^{m-3}$是幂函数，且在$x\in(0,+\infty)$上是减函数，则实数$m=2$。解析：$m^2-m-1=1$，得$m=-1$或$m=2$，再把$m=-1$和$m=2$分别代入$m^2-2m-3<0$，经检验得$m=2$。关于$x$的函数$y=(x-1)^\alpha$（其中$\alpha$的取值范围可以是$1,2,3,-1$）的图像恒过点$(2,1)$。解析：当$x-1=1$，即$x=2$时，无论$\alpha$取何值，均有$1^\alpha=1$，所以函数$y=(x-1)^\alpha$恒过点$(2,1)$。答案：$(2,1)$。已知$2.4^\alpha>2.5^\alpha$，则$\alpha<2$。解析：由于$2.4<2.5$，而$2.4^\alpha>2.5^\alpha$，所以$y=x^\alpha$在$(0,+\infty)$上为减函数。答案：$\alpha<2$。把$\frac{3}{5}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{3}{12}$，$\frac{21}{72}$按从小到大的顺序排列，得到$\frac{3}{12}<\frac{3}{5}<\frac{5}{6}<\frac{21}{72}$。求函数$y=(x-1)^3$的单调区间。解：$y=(x-1)^3=(x-1)(x-1)^2$，定义域为$x\neq1$。令$t=x-1$，则$y=t^3$，$t\neq0$为偶函数。由于$\alpha=-1/3<0$，所以$y=t^\alpha$在$(0,+\infty)$上单调递减，在$(-\infty,0)$上单调递增。又$t=x-1$单调递增，故$y=(x-1)^3$在$(1,+\infty)$上单调递减，在$(-\infty,1)$上单调递增。已知$(m+4)^2<(3-2m)^2$，求$m$的取值范围。解：由于$y=x^2$的定义域为$(0,+\infty)$，且为减函数。所以$(m+4)^2<(3-2m)^2$可以转化为$|m+4|<|3-2m|$，即$-4-m<3-2m$且$4+m<3+2m$，解得$-7<m<1$。f(2))和(4，f(4))，求f(x)的解析式。解：设f(x)＝x^k，代入已知条件得f(2)＝2^k，f(4)＝4^k由此可得2^k＝f(2)，4^k＝f(4)两式相除得(2/4)^k＝f(2)/f(4)化简得1/2^k＝f(2)/f(4)两边取对数得k＝log2(f(4)/f(2))因此，f(x)的解析式为f(x)＝x^log2(f(4)/f(2))。2．已知幂函数y＝x^m2m3(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求y的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性。解：由于y＝x^m2m3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，因此m必须是负整数。设m＝-n，则y＝x^(-n)＝1/x^n因此，y的解析式为y＝1/x^n，其中n为正整数。对于单调性，由于n为正整数，因此在(0，＋∞)上，y随着x的增大而减小，所以y＝1/x^n是单调递减函数。对于奇偶性，当n为偶数时，y＝1/x^n是偶函数，因为对于任意x，有f(-x)＝f(x)；当n为奇数时，y＝1/x^n是奇函数，因为对于任意x，有f(-x)＝-f(x)。3．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()A．y＝x^3B．y＝x^2C．y＝x^3/5D．y＝x^(3/2)解析：选C。y＝x^3/5的定义域为R，但值域为[0，＋∞)，与定义域不同。4．函数f(x)＝(1－x)^(1/2)+(1－x)的定义域为x≤1。解析：由于(1-x)^(1/2)中的根号要求1-x≥0，即x≤1，而(1-x)中的分式要求1-x≠0，即x≠1，因此函数f(x)的定义域为x≤1。1.设$f(x)=x^n$，则有$2^n=52$，求$f(4)$的值为$\sqrt{52}$。改写为$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$，则$f(4)=\sqrt{4}=2$。2.定义域为$\{x|x>0\}$的幂函数是$y=x^{\frac{3}{2}}$，选项D正确。3.设$f(x)=x^{m^2-2m-3}$，根据对称性可知$m=0$或$m=1$或$m=3$，因为$m\neq0$，所以$m=-1$或$m=1$或$m=3$，选项B正确。4.选项D正确。5.幂函数是$y=x^2$和$y=x$，选项B正确。6.当$x>1$时，$f(x)>1$，即$x^{\alpha}>1$，所以$\alpha>1$，选项A正确。7.设$f(x)=x^{\alpha}$，根据已知条件可得$f(3)=3$，即$3^{\alpha}=3$，解得$\alpha=2$，所以$f(x)=x^2$。8.当$x\in(0,1)$时，$y=x^p$的图象在直线$y=x$的上方，说明$p<1$，选项为$p<1$。9.给定函数$F(x)$的图像，它由指数函数$f(x)=a^x$和幂函数$g(x)=x^\alpha$拼接而成。现在要求按照$aa,a\alpha,\alphaa,\alpha\alpha$的大小顺序排列$a$和$\alpha$。根据题意，我们有$F(x)$的定义：$$F(x)=\begin{cases}a^x,&x\leqslant0\\x^\alpha,&x>0\end{cases}$$因为$a^x$是指数函数，$x^\alpha$是幂函数，所以$F(x)$的图像是由一条指数函数和一条幂函数拼接而成的。我们可以通过$a$和$\alpha$的大小关系来确定$F(x)$的图像的形状。首先，我们有：$$F(0)=a^0=1$$因为$F(x)$在$x=0$处连续，所以$F(x)$的图像必须经过点$(0,1)$。接下来，我们考虑$F(x)$在$x\to-\infty$和$x\to+\infty$时的极限。因为$a^x$在$x\to-\infty$时趋近于$0$，而$x^\alpha$在$x\to+\infty$时趋近于$+\infty$（如果$\alpha>0$）或$0$（如果$\alpha<0$），所以$F(x)$的图像必须是从$(0,1)$开始逐渐上升，然后在某个点处拐弯，变成上升得更快的幂函数。因此，我们有：$$a<1,\quad\alpha>0$$接下来，我们需要确定$a$和$\alpha$的大小关系。因为$a^x$和$x^\alpha$都是单调递增函数，所以$F(x)$的图像也是单调递增的。因此，我们只需要比较$F(1)$和$F'(0)$的大小关系即可，其中$F'(x)$表示$F(x)$的导数。由于$F(x)$在$x=0$处不可导，我们需要分别计算$F(x)$在$x<0$和$x>0$的导数：$$F'(x)=\begin{cases}a^x\lna,&x<0\\\alphax^{\alpha-1},&x>0\end{cases}$$因此，我们有：$$F(1)=a,\quadF'(0)=\lim_{x\to0^+}F'(x)=\lim_{x\to0^+}\alphax^{\alpha-1}=\alpha$$因此，我们得到了$a$和$\alpha$的大小关系：$$a^\alpha<\alphaa^{\alpha-1}<a<a^\alpha$$因此，答案为$a\alpha<\alpha\alpha<a^a<\alphaa$。10.给定幂函数$f(x)=(m^2-m-5)x^{m-1}$，其中$m$是常数。现在要求确定$m$的值，使得$f(x)$在$x>0$时是单调递增函数。根据幂函数的定义，我们有：$$f(x)=\begin{cases}(m^2-m-5)x^{m-1},&x>0\\0,&x=0\\(m^2-m-5)|x|^{m-1},&x<0\end{cases}$$因为$f(x)$在$x=0$处连续，所以$f(x)$在$x>0$时单调递增，当且仅当$f'(x)>0$，其中$f'(x)$表示$f(x)$的导数。因此，我们有：$$f'(x)=(m^2-m-5)(m-1)x^{m-2}$$因此，$f(x)$在$x>0$时单调递增，当且仅当$m>1$或$m<0$。因为$m$是整数，所以$m=2$或$m=3$。如果$m=2$，则$f(x)=-6x$，不是单调递增函数；如果$m=3$，则$f(x)=2x^2$，在$x>0$时是单调递增函数。因此，$m=3$。11.给定函数$f(x)=(m^2+2m)x^{m-2m/3}$，其中$m$是常数。现在要求确定$m$的值，使得$f(x)$分别是正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数。根据函数类型的定义，我们有：\begin{align*}f(x)\text{是正比例函数}&\Leftrightarrowf(x)=kx,\quadk>0\\&\Leftrightarrow(m^2+2m)x^{m-2m/3}=kx\\&\Leftrightarrowm^2+2m=kx^{5/3}\\&\Leftrightarrowm^2+2m-kx^{5/3}=0\end{align*}因此，$f(x)$是正比例函数，当且仅当$m$是方程$m^2+2m-kx^{5/3}=0$的解，其中$k>0$是常数。类似地，我们可以列出$f(x)$是反比例函数、二次函数和幂函数的条件：\begin{align*}f(x)\text{是反比例函数}&\Leftrightarrowf(x)=\frac{k}{x},\quadk>0\\&\Leftrightarrow(m^2+2m)x^{m-2m/3}=k\\&\Leftrightarrowm^2+2m=kx^{-5/3}\\&\Leftrightarrowm^2+2m-kx^{-5/3}=0\\f(x)\text{是二次函数}&\Leftrightarrowf(x)=ax^2+bx+c,\quada\neq0\\&\Leftrightarrow(m^2+2m)x^{m-2m/3}=ax^2+bx+c\\&\Leftrightarrowm^2+2m=ax^{1/3}(ax^{4/3}+bx^{1/3}+c)\\&\Leftrightarrowm^2+2m=ax^{1/3}(a(x^{1/3})^3+b(x^{1/3})^2+c(x^{1/3}))\\&\Leftrightarrowm^2+2m=a(x^{1/3})^3(ax^{-2/3}+bx^{-5/3}+c)\\&\Leftrightarrowm^2+2m=a(x^{1/3})^3(ax^{-2/3}+bx^{-5/3}+c),\quadx>0\\f(x)\text{是幂函数}&\Leftrightarrowf(x)=kx^p,\quadk\neq0,p\neq0\\&\Leftrightarrow(m^2+2m)x^{m-2m/3}=kx^p\\&\Leftrightarrowm^2+2m=kx^{p-5/3}\\&\Leftrightarrowm^2+2m-kx^{p-5/3}=0\end{align*}因此，$m$分别是方程$m^2+2m-kx^{5/3}=0$、$m^2+2m-kx^{-5/3}=0$、$m^2+2m-a(x^{1/3})^3(ax^{-2/3}+bx^{-5/3}+c)=