电动力学静电场答案

【关键字】空间编号： 班级： 学号： 姓名：成绩：第1章静电场证明均匀介质内部的极化电荷体密度，总等于自由电荷体密度的－（1－）倍。有一内外半径分别为的空心介质球，介质的介电常数为，使介质内均匀带静止自由电荷，求（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解1）由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向故：时或时球壳体内：在的球形外：式中写在一起2）（与第一题相符）内表面：外表面：证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折满足：式中和分别为两介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度，故边值关系为：,（,）若两种介质都是线性均匀的，即，；上边两式为:，于是得：试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是笔直于导体表面。证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。静电情况下：,由边值关系：,可得：,即，，对于各向同性线性介质所以，即导体外的电场线笔直于导体表面如图1，有一厚度为，电荷密度为的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空间电势的分布。解：以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性，电势分布仅与x有关，即一维问题。容易写出定解问题：时时直接求解得内半径，外半径为的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量，试用分离变量法求空间电势分布。解•根据球对称性，空间电势分布仅与r有关，定结问题为：r=b时求解得均匀外电场中，置入半径为的导体球。求以下两种情况的电势分布。（1）导体球上接有电池，使球保持电势为；（2）导体球上带有总电荷。解建立球坐标系极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r有关1） 的定解问题为此时是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为2） 的定解问题为类似解为

8.介电常数为e的无限均匀介质中，挖一个半径为a的空球，球心处置一电矩为p的自由偶极子，试求空间电势分布。解如图建立球坐标系，p彳的方向为极轴ex8.介电常数为e的无限均匀介质中，挖一个半径为a的空球，球心处置一电矩为p的自由偶极子，试求空间电势分布。解如图建立球坐标系，p彳的方向为极轴ex申的定解问题为r=a时，9=9；8乎=8dd9ie0dr dr注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，9可写为:i第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故Bn=0解的电势分布9．半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子p，球外充满另一种介质，求空间各点的电势和极化电荷分布(介质球介电常数为81，球外为82)。解：求解与上题类似，只需80I,,一82'p-r 2(s—8)p-rf+ 1 2得9= f—+ 2 f)\r<R),i 4兀8r3 4兀83+28JR3 011120弟2 4k\s+28)r312>R),0极化电荷分布，在介质球内P=-(1-.[p丿(“因此在球心处有一极化电偶极矩P=—1—P，在r=叫的界面上，由爲一 一Pi)，P=(8-80也-82 0dr-82 0dr10r=R02兀8Vg+28)R3112010.两个接地的无限大导电平面，其夹角为60。，点电荷Q位于这个两面角的平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为a。试用电像法求真空中的电势。解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：的-Q和+Q，应在E、F处有两个像电荷+Q和-Q才能使导体ON-的电势为零。可以证明E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于ON平面对称，因而可满足ON平面的电势为零，这样找出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P处的电势可表为14ks0(Q Q丄QQ丄14ks0ir rr rr r,123456其中r,r, ,r分别为给定电荷Q及其像电荷到P点的距离。126在其余空间的电势为9二0。11.接地空心导体球，内外半径为R和R，球内离球心a处（a<R）置一121点电荷Q，试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在内表面还是外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量Q，则电势分布又如0

何？若导体球壳具有确定的电势9°，电势分布如何?解：根据题意设球内区域电势为件’球外区域电势为申2V29=-Q5（x-a,y,z）180V29=0200其中r其中r=C?2+a2-2Racos。）2,r—C?2+b2-2Rbcos。）2由边界条件9ir=R1=0要使\Q22要使\Q22RCQ2b-Q'2a）=01*）解得b解得bi=才,b2=a，（舍去）RR代入（*），得Q=-TQ，Q—TQ1a2a由上可知，9,——由上可知，9,——4兀8R21申= V4兀&021申= V4兀&02+a2—2Racos0QR/a2+Q2/a)一1—2/a'cos021Q+QI 0>R201Q+Q若使有确定9，且两种情况有相同解申= 0，0 04K8 R021P=~4兀&1P=~4兀&02+a2—2Racos0QR/aR4 2R2RR2+1

:a2-4-acosB丿d9 d9由边界条件82金—81需一b所以，外表面感应电荷面密度。严竺| :0dR'R=R2内表面感应电荷面密度。=s2 0dR所以，外表面感应电荷面密度。严竺| :0dR'R=R2内表面感应电荷面密度。=s2 0dRR=R1 4兀R2一a2'2+a2—2Racos9211总感应电荷0十宀二Jbds=—Q，(可见全部在内表面上)感应 2s12.四个点电荷，两个+q,两个一q，分别处于边长为a的正方形的四个顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为q(0,0,0),-q(a,0,0).-q(0,a,0)，q(0,0,a)的精确到四极矩情况下，可求得远处的电势分布为=qa23xy4ksr5013.求面电荷密度按COS0分布存在电四极矩？解:p=JpQ)•xdv=Jbdv=Jbds=0,xxx所以，4所以，Ka3Qe14.设真空中电场的势为9=q/14.设真空中电场的势为9=q/r—qr2/(2a3)+3q/(2a)(r>a)(r<a)式中r是离坐标原点的距离，a和q是常数，求相应的电荷分布。解：V2申二—B，p=—V29•£,800r>a时，(q\p=—V2—-8=0，Ir丿0/\r<a时，p=—V2Jqr2/2a3+3q/2a)-8=3q8/a30015.在一点电荷q的电场中，距离它为d的地方有一偶极子，其电矩p=ql，求在下列两种情况下，此电矩所受的力F和力矩L：（1） 偶极子的电矩p沿点电荷电场的方向;（2） 偶极子的电矩p垂直于点电荷的电场。解：把点电荷q激发的电场视为外场，E=—外4K8r30电偶极p在外电场E中的势能为W=—pE，

外外而F=