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3.
若D(X
)>0,D(Y
)>0,则rXY=1,当且仅当存在常数a,
b(a
„
0),
使
P{Y
=
aX
+
b}
=
1,而且当a
>0
时，rXY=1;当a
<0
时，rXY=–1
时=
-1.证明 必要性当rXY
D(
X
)
+
D
D(Y
)
=
D
D(
X
)
D
D(Y
)XYXY
D(
X
)
2cov
,D(Y
)XYcov(
X
,Y
)=
1
+
1
2=
2
2r=
0.XYD(Y
)D(
X
)cov(
X
,Y
)=
1
+
1
2=
2
2r=
0.XYD(Y
)D(
X
)cov(
X
,Y
)D(Y
)
D(
X
)=
1
+
1
2XY=
2
2r
=
0.由方差的性质可知：存在常数C
使
D(Y
)
D(
X
)
P
Y
X
=
C
=
1,即
D(Y
)
=
1.D(
X
)X
+
CD(Y
)
P
Y
=
–D(Y
),
则有P{Y
=
aX
+
b}
=
1
(a
„
0).D(
X
)D(Y
)
,b
=
C令a
=–D(Y
),
则有P{Y
=
aX
+
b}
=
1
(a
„
0).D(
X
)D(Y
)
,b
=
C令a
=–D(Y
),
则有D(
X
)D(Y
)
,b
=
C令
a
=
–P{Y
=
aX
+
b}
=
1
(a
„
0).当
rXY=
1
时，
a
=D(
X
)=
-1XYD(Y
)
>
0;
当
rD(
X
)D(Y
)
<
0.时，
a
=
-充分性
若P{Y
=aX
+b}=1(a
„0),于是a
cov(
X
,Y
)cov(
X
,
aX
+
b)=r
=
-1,a
<
0=a=
a
=
1,a
>
0.D(
X
)a2D(
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