（新教材）【人教A版】必修一3.1.2.2（数学）

第2课时

分段函数

分段函数如果函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.【思考】分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同,那么分段函数是一个函数还是几个函数?提示:分段函数是一个函数,而不是几个.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)分段函数中各段函数的定义域交集是空集,并集是分段函数的定义域. (

)(2)f(x)=是分段函数. (

)(3)分段函数的图象一定是不连续的. (

)提示:(1)√.由分段函数的定义可知,此说法正确.(2)×.不是函数,因为当x=0.5时,有两个值1.5和2.5与之对应.(3)×.分段函数的图象可以是连续的也可以是不连续的.2.函数f(x)=|x-1|的图象是 (

)【解析】选B.因为f(x)=|x-1|=当x=1时,f(1)=0,可排除A,C.又x=-1时,f(-1)=2,排除D.3.若f(x)=则f(f(-2))=________.

【解析】因为-2<0,所以f(-2)=(-2)×(-3)=6,所以f(f(-2))=f(6)=6×7=42.答案:42类型一分段函数的求值问题【典例】1.若f(x)=则f(f(-2))= (

)

A.2 B.3 C.4 D.52.设函数f(x)=若f(a)>a,则实数a的取值范围是________.

【思维·引】1.当x<0时,f(x)=-x,当x≥0时,f(x)=x2,先求f(-2),再求f(f(-2)).2.分a≥0和a<0两种情况讨论.【解析】1.选C.因为-2<0,所以f(-2)=-(-2)=2.又因为2>0,所以f(f(-2))=f(2)=22=4.2.当a≥0时,由f(a)>a得-1>a,解得a<-3,又因为a≥0,所以无解,当a<0时,由f(a)>a得>a,解得a<-1.答案:(-∞,-1)【素养·探】在分段函数的求值问题中,经常利用核心素养中的数学运算.解题时,通常在理解分段函数对应关系构成的基础上,直接依据对应关系准确求值或分类讨论分别求方程(不等式)的解(集)后求并集.本例2的条件改为f(x)=f(1-a)=f(1+a),a≠0,求a的值.【解析】(1)当a>0时,1-a<1,1+a>1,则f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a,因为f(1-a)=f(1+a),所以2-a=-1-3a,所以a=-(舍).(2)当a<0时,1-a>1,1+a<1,则f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2,因为f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2,所以a=-.综上可知a=-.【类题·通】1.分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论.(2)然后代入不同的解析式中.(3)通过解方程求出字母的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.【习练·破】已知函数y=若f(a)=10,则a的值是(

)

A.3或-3

B.-3或5C.-3

D.3或-3或5【解析】选B.若a≤0,则f(a)=a2+1=10所以a=-3(a=3舍去)若a>0,则f(a)=2a=10所以a=5,综上可得,a=5或a=-3.【加练·固】1.已知函数f(x)=则f(f(5))= (

)

A.0 B.-2 C.-1 D.1【解析】选C.因为5>0,代入函数解析式f(x)=得f(5)=3-5=-2,所以f(f(5))=f(-2),因为-2<0,代入函数解析式f(x)=得f(-2)=(-2)2+4×(-2)+3=-1.2.设f(x)=若f(x)=3,则x= (

)A.1 B.± C. D.【解析】选D.若无解;若所以x=.若无解.综上可知:x=.类型二分段函数的表示方法及应用角度1分段函数的解析式及其应用【典例】如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________. 世纪金榜导学号

【思维·引】当-1≤x≤0时,设y=kx+b(k≠0),当x>0时,设y=a(x-2)2-1(a>0),分别列方程(组)计算待定系数.【解析】当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0),则解得所以y=x+1,当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1(a>0),因为图象过点(4,0),所以0=a(4-2)2-1,解得a=,所以f(x)=答案:f(x)=角度2分段函数的图象及应用【典例】已知函数f(x)=(1)求f的值. 世纪金榜导学号(2)画出函数f(x)的图象,观察图象写出此函数的值域.(3)函数值y取何值时,只有唯一的x值与之对应?【思维·引】(1)由内到外逐层计算.(2)先画出完整函数的图象,然后分三段截取函数的图象.(3)作直线y=m,求出此直线与函数图象有唯一公共点时m的取值范围即为所求.【解析】(1)因为5>4,所以f(5)=-5+2=-3.因为-3<0,所以f=f(-3)=-3+4=1.因为0<1<4,所以f=f(1)=12-2×1=-1,即f=-1.(2)图象如图所示.观察图象可知此函数的值域为(-∞,8].(3)作直线y=m,观察图象可知,当m∈[-2,-1)∪(4,8]时,直线y=m与函数图象有唯一公共点,所以函数值y取[-2,-1)∪(4,8]内的值时只有唯一的x值与之对应.【类题·通】1.“先分后合”求分段函数的解析式首先确定其段数,然后将各段分别求出来,再将它们合在一起,并注意检查每一段的定义域是否有重复的自变量.2.分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,化为分段函数,然后分段作出函数图象.(2)作分段函数的图象,在作每一段图象时,要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.【习练·破】1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是________.

【解析】因为f(x)的图象由两条线段组成,所以结合函数图象和一次函数解析式的求法可得f(x)=答案:f(x)=2.已知f(x)=(1)画出函数f(x)的图象.(2)求f(x)的定义域和值域.【解析】(1)作出f(x)的图象,如图所示.(2)观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1].【加练·固】已知函数f(x)=|x-2|(x+1).(1)作出函数f(x)的图象.(2)判断直线y=a与y=|x-2|(x+1)的交点的个数.【解析】(1)函数f(x)=|x-2|(x+1),去绝对值符号得f(x)=可得f(x)的图象如图所示:(2)要求直线y=a与y=|x-2|(x+1)的交点的个数.作出图象如图:由图象可知.当a<0时,有一个交点;当a=0时,有两个交点;当0<a<时,有三个交点;当a=时,有两个交点;当a>时,有一个交点.综上,当a<0或a>时,有一个交点;当a=0或a=时,有两个交点;当0<a<时,有三个交点.类型三分段函数的应用问题【典例】如图,底角∠ABE=45°的直角梯形ABCD,底边BC长为4cm,腰长AB为2cm,当一条垂直于底边BC的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BE=x,试写出阴影部分的面积y与x的函数关系式,并画出函数大致图象.世纪金榜导学号【思维·引】分直线l从点B移动到点A和直线l从点A移动到点D分段讨论.【解析】根据题意得:当直线l从点B移动到点A时,0<x≤2,y=x2;当直线l从点A移动到点D时,2<x≤4,y=×2×2+(x-2)·2,即y=2x-2.所以阴影部分的面积y与x的函数关系式为y=函数图象如图所示:【内化·悟】建立分段函数模型的关键是什么?提示:关键是认真审题,弄清自变量取不同范围内的值时,函数对应关系有什么不同.找准分段点,逐段确定对应关系.【类题·通】分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数.(2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理.【习练·破】某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时2元,某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时.(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30),在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30),试求f(x)与g(x)的解析式.(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算,为什么?【解析】(1)由题意f(x)=6x,x∈[12,30],g(x)=.(2)①12≤x≤20时,6x=90,解得:x=15,即当12≤x<15时,f(x)<g(x),当x=15时,f(x)=g(x),当15<x≤20时,f(x)>g(x).②当20<x≤30时,f(x)>g(x),故当12≤x<15时,选A家俱乐部合算,当x=15时,两家俱乐部一样合算,当15<x≤30时,选B家俱乐部合算.【加练·固】某地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交