（新教材）【人教A版】必修一1.5.1（数学）

1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)全称量词命题:含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(3)符号表示:①将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示.②全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为:∀x∈M,p(x).【思考】常见的全称量词还有哪些?提示:常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡是”等.2.存在量词与存在量词命题(1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)存在量词命题:含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(3)符号表示:存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为:∃x∈M,p(x).【思考】常见的存在量词还有哪些?提示:常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”等.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题. (

)(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. (

)(3)全称量词命题一定含有全称量词. (

)提示:(1)√.全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.(2)√.存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.(3)×.有些命题虽然没有写出全称量词,但其意义具备“任意性”,这类命题也是全称量词命题,如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故说法是错误的.2.下列命题中是存在量词命题的是 (

)A.∀x∈R,x2≥0B.∃x∈R,x2<0C.平行四边形的对边不平行D.矩形的任一组对边都不相等【解析】选B.A、C、D是全称量词命题,B是存在量词命题.3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 (

)A.每个二次函数的图象都开口向上B.存在实数x,平方为8C.所有菱形的四条边都相等D.存在一个实数x使不等式x2-3x+6<0成立【解析】选C.A是全称量词命题但是假命题,B、D是存在量词命题,C是全称量词命题且是真命题.类型一全称量词命题与存在量词命题的判断【典例】1.下列命题中为全称量词命题的是 (

)A.有些实数没有倒数B.矩形都有外接圆C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行D.∃x∈R,x2+x≤22.下列命题中为存在量词命题的是 (

)A.存在实数x>1,使x2>1B.全等的三角形必相似C.相似三角形必全等D.∀x∈N*,(x-2)2>03.判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题. 世纪金榜导学号(1)有一个实数x,x不能取倒数.(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.(3)圆内接四边形,其对角互补.(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.【思维·引】1.先看是否有全称量词,当没有时,要结合命题的具体意义进行判断.2.根据是否有存在量词进行判断.3.有全称量词的是全称量词命题,有存在量词的是存在量词命题,当没有时,要结合命题的具体意义进行判断.【解析】1.选B.A、C、D是存在量词命题,B可改写为“所有矩形都有外接圆”,是全称量词命题.2.选A.A是存在量词命题,B、C、D是全称量词命题.3.(1)含有存在量词“有一个”,故为存在量词命题.(2)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.(3)可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”,故为全称量词命题.(4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题.【内化·悟】通常什么情况下会省略量词?提示:全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略.【类题·通】判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路【习练·破】判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.(1)对任意的n∈Z,2n+1是奇数.(2)有些三角形不是等腰三角形.(3)有的实数是无限不循环小数.(4)所有的正方形都是矩形.【解析】(1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.【加练·固】判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:(1)∀x∈R,x2+1≥1.(2)所有的正方形都是菱形.(3)有些整数只有两个正因数.(4)有一个实数x,使x2+2x+3=0.【解析】(1)含有全称量词“∀”,故为全称量词命题.(2)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.(3)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.(4)含有存在量词“有一个”,故为存在量词命题.类型二全称量词命题与存在量词命题的真假判断【典例】1.判断下列全称量词命题的真假:(1)所有的有理数都有倒数.(2)任何实数都有平方根.(3)∀x∈R,使x2+x+1>0.(4)凸多边形的外角和等于360°.2.判断下列存在量词命题的真假: 世纪金榜导学号(1)存在有理数x,使x2-2=0.(2)存在一个x∈R,使=0.(3)存在x∈Q,使2x-x3=0.(4)∃x∈Z,使3x+4=5.【思维·引】1.若每个元素都满足p(x),则是真命题;若存在一个元素不满足p(x),则是假命题.2.若存在一个元素满足p(x),则是真命题,否则是假命题.【解析】1.(1)0是有理数,但是0没有倒数,所以此命题是假命题.(2)负数没有平方根,所以此命题是假命题.(3)对于任意的x∈R,x2+x+1=>0恒成立,所以此命题是真命题.(4)凸多边形的外角和等于360°是真命题.2.(1)方程x2-2=0无有理数根,所以该命题是假命题.(2)因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.(3)有理数x=0是方程2x-x3=0的一个实数根,所以该命题是真命题.(4)由于3x+4=5成立时,x=∉Z,因而不存在x∈Z,使3x+4=5,所以存在量词命题“∃x∈Z,使3x+4=5”是假命题.【内化·悟】判断全称量词命题真假时,真命题容易判断还是假命题容易判断?存在量词命题呢?提示:判断全称量词命题为假比判断其为真容易,只需一个反例即可;判断存在量词命题为真比判断其为假容易,只需一个特例即可.【类题·通】全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧(1)全称量词命题的真假判断.要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)存在量词命题的真假判断.要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.

【习练·破】指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点.(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数.(3)∃x,y∈Z,使3x-4y=20.(4)任何数的0次方都等于1.【解析】(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.(2)存在量词命题.存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题.(3)存在量词命题.取x=0,y=-5时,3×0-4×(-5)=20成立,所以该命题是真命题.(4)全称量词命题.0的0次方无意义,所以该命题是假命题.【加练·固】指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)∃x∈Q,x2=3.(2)每一个三角形的内角和都是180°.(3)钝角三角形有的高在三角形外部.(4)对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0.【解析】(1)存在量词命题.由于使x2=3成立的实数只有±,且它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平方能等于3,所以该命题是假命题.(2)全称量词命题.由三角形的内角和定理可知,该命题是真命题.(3)存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部,所以该命题是真命题.(4)全称量词命题.a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以该命题是假命题.类型三全称量词命题与存在量词命题的应用【典例】1.已知命题p:“∃x∈R,关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根”是真命题,则实数m的取值范围是 (

)A.m<3 B.m>3C.m≤3 D.m≥32.已知命题p:“∀x∈R,mx2≥0”是真命题,则实数m的取值范围是__________. 世纪金榜导学号

【思维·引】1.由题意可知对应的方程有实数解,即Δ≥0.2.根据x2≥0确定实数m的取值范围.【解析】1.选C.因为关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根,所以Δ=(-2)2-4m≥0,所以m≤3.2.当x∈R时,x2≥0,若“∀x∈R,mx2≥0”是真命题,有m≥0.答案:m≥0【素养·探】在与全称量词命题与存在量词命题的应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究全称量词命题和存在量词命题的意义,推理得到字母的取值范围.将本例1的方程改为“x2+2x+2=m”,求实数m的取值范围.【解析】依题意,方程x2+2x+2-m=0有实数解,所以Δ=4-4(2-m)≥0,解得m≥1.【类题·通】利用含量词的命题的真假求参数的取值范围(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围.(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.

【习练·破】已