2021年福建省三明市梅列区中考数学一模试卷 （解析版）

2021年福建省三明市梅列区中考数学一模试卷

一、选择题（共io小题）.

1.下列各数属于负整数的是（）

A.2B.-2C.--D.0

2

2.2020年中央经济工作会议明确指出：我国二氧化碳排放力争2030年前达到峰值，力争

2060年前实现碳中和.据统计，2020年我国人均碳排放量约为6900千克，6900用科学

记数法表示为（）

A.69X102B.6.9X102C.6.9X103D.0.69X104

3.如图所示的几何体，该几何体的左视图是（）

4.2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，分门别类打造适合三明实

际的生活垃圾分类处置体系.将垃圾分为可回收物、厨余垃圾（含餐厨垃圾）有害垃圾、

5.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均数相同，五次测验的方差如表:

甲乙丙丁

方差4259

如果从四位同学中选出一位状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选择（)

A.甲B.乙C.丙D.T

6.已知一个多边形的每一个外角都是30。，则这个多边形的边数是)

A.12B.11C.10D.9

7.下列计算正确的是（）

A.〃3・〃2=々6B.(。+1)(。-3)=a2-3

C.+=D.Cab)2=ab2

8.中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问

题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人,

则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有X辆车，y人，则可列方程组为（）

3(x-2)=y'3(x+2)=y：

A.B.i

2x+9=y,2x+9=y

，

3x=y3(x+2)=':y

c.D.4

2x+9=y2x-9=y

9.如图，已知48是半圆。。的直径，。是A4延长线上一点,切半圆。。于点£BD

于点O,若C£>=8,BD=6,则半圆。。的半径为（)

C.2MD.3.75

10.平面直角坐标系中，抛物线丁=以2-3ar+c（&W0）与直线y=2x+l上有三个不同的点

A(xi,/n),B(12,m)，C(%3,m),如果〃=尤1+X2+33,那么m和n的关系是()

A.m=2n-3B.m=n1-3C.m=2n-5D.团=层-5

二、填空题：共6题，每题4分，满分24分.请将答案填在答题卡的相应位置。

11.分解因式：a2-2a=.

12.已知包上"W0）,则空灯的值为

b3b-------

13.如图，点A（4,机）在第一象限，。4与x轴所夹的锐角为a,tana得，则机=

14.已知数据："，娓,TT,J40,其中无理数出现的频率为.

15.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=2,△ABC绕顶点C逆时针旋转

60°得到B'C,点A的对应点A'恰好落在AB上，连接A'8,，则图中阴影部

分的面积为

16.如图，菱形A8CZ)的四个顶点分别在反比例函数丫=工和>=匹第一象限的图象上，则

xx

三、解答题：共9题，满分86分.请将解答过程写在答题卡的相应位置，解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤，作图或画辅助线需用签字笔描黑.

17.计算:21-(TT-3.14)°+sin30°.

18.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=FC.连接AF、BD,

求证：四边形48。F是平行四边形.

E

B

D

2

19.先化简，再求值：(&_I).立丝鱼，其中xf/^-2.

x~2x-2

20.如图，在△A8C中，AB=AC,ZB=36°.

(1)在BC上求作一点。，使得QA=QB；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作

法)

(2)在(1)的条件下，若AB=2,求BZ)的长.

21.如图，RtZ\ABC中，N4CB=90°,NA=60°,△ABC绕点C顺时针旋转60°,得

到△£)<%.

(1)求证：DE垂直平分BC；

(2)F是。E中点，连接8凡CF,若4c=2,求四边形ACFB的面积.

22.某电器商店准备购进甲、乙两种微波炉出售，它们的进价和售价如表.现计划用不超过

37500元购进这两种微波炉共100台，其中甲微波炉不少于65台.

(1)求甲种微波炉最多购进多少台？

(2)该电器商店对甲种微波炉每台降价a(0<d<60)元，乙种微波炉售价不变.如果

这100台微波炉都可售完，那么该电器商店如何进货才能获得最大利润？

微波炉进价(元/售价(元/

台)台)

甲400600

乙300450

23.为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”.每次租车

收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：01元/分.已知陈先

生的家离上班公司20公里，每天上、下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时

间记为/（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如表所

示：

时间t25W/V3535Wf<4545Wf<5555Wt<65

（分）

次数102884

将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为25Wf

<65.

（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率；

（2）若公司每月发放1000元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班

租用新能源租赁汽车（每月按22天计算），并说明理由.（同一时段，用该区间的中点

值作代表）

24.如图，四边形A8CD是。。的内接四边形，。。的半径为3,NAOC=90°.分别过点

B、。作C£>、BC的垂线，垂足分别为点E、F,两垂线交于点G.

（1）求证：四边形是平行四边形：

（2）若C是优弧俞的中点，且sinNCZ）F=£,求弦CD的长.

O

25.如图，顶点为PCm,m）（机>0）的二次函数图象与x轴交于点A（2/n,0）,点B

在该图象上，直线。8交二次函数图象对称轴/于点M,点M、N关于点P对称，连接

BN、ON.

(1)求该二次函数的关系式(用含，〃的式子表示)；

(2)若点B在对称轴/右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题:

①连接0P，当时，请判断△NOB的形状，并说明理由.

②求证：NBNM=NONM.

参考答案

一、选择题：共10题，每题4分，满分40分.每题只有一正确选项，请在答题卡的相应位

置填涂.

1.下列各数属于负整数的是（）

A.2B.-2C.--D.0

2

【分析】根据负整数的定义即可判定选择项.

解：在2,-2,-/，0中，属于负整数的是-2.

故选：B.

2.2020年中央经济工作会议明确指出：我国二氧化碳排放力争2030年前达到峰值，力争

2060年前实现碳中和.据统计，2020年我国人均碳排放量约为6900千克，6900用科学

记数法表示为（）

A.69X102B.6.9X102C.6.9X103D.0.69X104

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中1W|4|＜1O,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞10时，"是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

解：6900=6.9X103,

故选：C.

3.如图所示的几何体，该几何体的左视图是（）

【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定即可.

解：从左面看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线.

故选：B.

4.2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，分门别类打造适合三明实

际的生活垃圾分类处置体系.将垃圾分为可回收物、厨余垃圾（含餐厨垃圾）有害垃圾、

其他垃圾.以下图标是几类垃圾的标志，其中轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.

解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；

8、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

。、不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

5.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均数相同，五次测验的方差如表:

如果从四位同学中选出一位状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选择（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根据方差的性质判断即可.

解：..•四位同学五次数学测验成绩的平均数相同，乙的方差最小，

，乙同学状态稳定，

故选：B.

6.已知一个多边形的每一个外角都是30°,则这个多边形的边数是（）

A.12B.11C.10D.9

【分析】多边形的外角和是固定的360。，依此可以求出多边形的边数.

解：•.•一个多边形的每一个外角都是30°,

，这个多边形的边数是360°+30°=12.

故选：A.

7.下列计算正确的是（）

A.a3*a2=a6B.(a+1)(a-3)=a2-3

C.a('-i-a2=aAD.(ab)2=ab2

【分析】各式计算得到结果，即可作出判断.

解：A、原式=〃5,不符合题意;

B、原式=〃-3a+a-3=区-24-3,不符合题意:

C、原式=〃，符合题意;

D、原式=“2〃，不符合题意.

故选：C.

8.中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问

题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人,

则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（）

3(x-2)=y'3(x+2)=y

A.B.i

2x+9=y2x+9=y

3x=y’3(x+2)=y

C.D.i

2x+9=y2x-9=y

【分析】根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘,

即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

解：根据题意可得:

[3（x-2）=y

12x+9=y

故选：A.

9.如图，已知是半圆。。的直径，C是BA延长线上一点,CC切半圆。。于点E,BD

_LCD于点O,若CZ）=8,BD=6,则半圆。。的半径为（)

C.273D.3.75

【分析】连接OE,由勾股定理求出BC=10,设OE=r,证明△COEs^CBD得出比

例线段黑卷，得出方程今解方程可得出答案.

BDBC610

解：连接OE,

在RtaBOC中，CD=8,BD=6,

BC=VCD2+BD2=V82+62=。

设OE=r,

•••CD切半圆。于点E,

J.CEVOE,

.,.ZC£O=90°,

'：BD1.CD,

：.ZD=90°=ZCEO,

又,：NC=NC,

:ACOESACBD.

•.•OE—OC,

BDBC

解得：r=3.75.

故选：D.

10.平面直角坐标系中，抛物线-3"+c（QWO）与直线y=2x+l上有三个不同的点

（xi,（X2,m），C（X3,（）

Am）,Bm）,如果n=x\+x2+x^f那么m和n的关系是

A.m=2n-3B.m=n1-3C.m=2n-5D.m=n1-5

【分析】根据题意设在抛物线上的两点A和b纵坐标相同，则关于对称轴对称，即可

求得13=〃-3,则。（〃-3,，刀），代入解析式，即可求得m=2〃-5.

解：\*y=ax2-3ax+c,

...对称轴为直线X=-三等=3，

2a2

如图，在抛物线上的两点A和8,关于直线》=微对称，则C点在反直线丫=公+1上,

，X1+X2=3,

•.•〃=X1+X2+X3,

.•./2=3+X3,

.*.X3=H-3,

m=2(n-3)+1,

.\m=2n-5,

故选：c.

二、填空题：共6题，每题4分，满分24分.请将答案填在答题卡的相应位置。

11.分解因式：-2a=a(a-2).

【分析】观察原式，找到公因式a,提出即可得出答案.

解：a2-2a—a(a-2).

故答案为：aCa-2).

12.已知包洛(必0),则三也的值为4.

b3b-3一

【分析】直接利用已知设a=2x,b=3x,进而代入求出答案.

解：•.•旦上”0),

b3

**•设a—2x>b=3x,

则三也的值为：空警=£•.

b3x3

故答案为：

3

13.如图，点A(4,m)在第一象限，Q4与x轴所夹的锐角为a,tana=/则机=6

2---

【分析】作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义求解即可.

解：过点4作AM_Lx轴，垂足为M,由于点A(4,m)在第一象限，

则0M=4,AM=m,

14.已知数据：辰,TT,J40,其中无理数出现的频率为」4

【分析】直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案.

解：•••■!，娓,7T,y=2,0,其中无理数有旄，7T共2个，

故无理数出现的频率为：•1=0.4.

5

故答案为：0.4.

15.如图，在△ABC中，/AC8=90°,乙4=60°,AC=2,ZV1BC绕顶点C逆时针旋转

60°得到AA'B'C,点A的对应点A'恰好落在AB上，连接A'8,，则图中阴影部

分的面积为2n-.

【分析】过C作CDLAB于D,解直角三角形求出2c和A2根据三角形的面积求出CD,

根据旋转得出B'C=BC=26,AC=A'C=2,NBCB'=60°,求出△AC4'是等边

三角形，根据等边三角形的性质得出=AC=2,求出A'B,再根据阴影部分的面积

S=S而形8C8+S/J3C4-S^A-CB求出答案即可.

解：过。作CO1_AB于。，

VZACB=90°,NA=60°,

・,.NA8C=30°,

VAC=2,

：.AB=2AC=4,BC=^AB2_AC2=^^2_22=2^,

VSAABc=yXACxBC=yXABXCD>

.「八ACXBC2X273g

:△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△?!'B'C,

：.BfC=BC=2«,AC=AfC=2,ZBCB,=60°,

VZA=60°,AC=AfC,

•••△ACA'是等边三角形，

・・・A4'=AC=2f

VAB=4f

・・・A'8=4-2=2=44',

・•・阴影部分的面积S=SMBCB+S^,BCA-Sj^A'CB

=60兀X（2愿产+:X2X«-4X2X2«=2TT-

36022

故答案为：2TT-

16.如图，菱形ABCQ的四个顶点分别在反比例函数旷=」和'=国第一象限的图象上，则

XX

B点的坐标为（出5,三近）.

—2-2------

【分析】连接AC、BD,交于点P,根据菱形和反比例函数的对称性可知A、C在直线)，

=x上，即可求得A(1,1),C(2,2),进一步求得P的坐标，根据8O_LAC,设直

线8。为y=-x+b,根据待定系数法即可求得3。的解析式，与>=工联立，解方程组即

x

可求得B的坐标.

解：连接AC、BD,交于点P,

根据菱形和反比例函数的对称性可知A、C在直线)，=无上，

，A(1,1),C(2,2),

是AC的中点，

：.P-),

22

:BD_LAC,

设直线8。为)，=-x+b,

把P:4)代入得名=-当心

2222

解得b=3,

・•・直线3。为>=-x+3,

y=-x+3

解，1得

y=­

X

.♦•B点的坐标为(弛区，3m5),

22

故答案为(世逅，三区).

22

三、解答题：共9题，满分86分.请将解答过程写在答题卡的相应位置，解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤，作图或画辅助线需用签字笔描黑.

17.计算:2-1-(it-3.14)°+sin30°.

【分析】直接利用负整数指数累的性质以及零指数累的性质、特殊角的三角函数值分别

化简得出答案.

解：原式=《-1+3

22

=0.

18.如图，点3、E、C、F在一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=FC.连接AF、BD,

求证：四边形48DF是平行四边形.

【分析】依据等式的性质，即可得至再根据SSS即可判定AABC丝进

而得出NA8C=/OFE,依据AB〃OF,AB=DF,即可得到四边形4BCF是平行四边形.

解：,:BE=FC,

：.BE+EC=FC+EC,

：.BC=FE,

在△A8C和△。尸E中，

'AB=DF

«BC=FE-

AC=DE

：./\ABC^/\DFE(555),

NABC=ZDFE,

:.AB//DF9

又・.・A8=及尸,

，四边形ABDF是平行四边形.

2

19.先化简，再求值：（2_1）小三士畦，其中x=J§-2.

x-2x-2

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将X的值代入计算即可.

解：原式=)4--^±211

x-2x-2x-2

_X+2._.X-2,

2

x-2(x+2)

_1

一初,

当x=«-2时,

原式=」C_L=叵

氏-2+2MV

20.如图，在△48C中，AB=AC,/B=36°.

（1）在8c上求作一点D,使得ZM=QB；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作

法）

（2）在（1）的条件下，若48=2,求8力的长.

【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点。，连接AD,点。即为所求作.

（2）首先证明AC=CO=AB=2,再利用相似三角形的性质解决问题即可.

解：（1）如图，点。即为所求作.

(2)由作图可知，AD=BD,

:.NB=/BAD=36°,

"：AB=AC,

:.NB=NC=36°，

AZCAB=180°-72°=108°,

...NCA£>=108°-36°=72°,/ADC=NB+NBAD=72°,

：.ZCAD^ZCDA,

，CA=CD=A5=2,

;NB=NB,ZBAD=ZC,

.•.△BA£)S/\8CA,

：.AB：CB=DB：AB,

：.4=BD(B£)+2),

：.BD2+2BD-4^0,

解得80=旄-1(负根已经舍弃).

21.如图，RtZ\ABC中，ZACB=90°,NA=60°,ZVIBC绕点C顺时针旋转60°,得

到△OCE.

(1)求证：OE垂直平分BC；

(2)F是QE中点，连接BF,CF,若4c=2,求四边形ACFB的面积.

【分析】（1）由旋转的性质可得CD=AC,ZA=ZCDE=60°,ZACD=60°,可证

NAC8=NDOB=90°,由余角的性质和等腰三角形的判定可证CD=BD,由等腰三角

形的性质可得结论；

（2）分别求出△AOC的面积和四边形BOCF的面积，即可求解.

【解答】证明：（1）如图，设BC与OE交于点O,

•「△ABC绕点C顺时针旋转60°,得到△OCE,

：.CD=ACfZA=ZCDE=60°,ZACD=60°,AB=DE,

・・・△ACO是等边三角形，DE//AC,

：.ZACB=ZDOB=90°,AD=CD=AC,

VZACB=90°,ZA=60°,

:・/DBC=/DCB=30°,

：.CD=BDf

・・・£)£垂直平分BC1

(2)VZABC=30°,ZACB=90°,AC=2,

:・BC=yf^C=2M，AB=2AC=4f

:.S^ACB=-j-XACXBC=aX2X273=2«,

*：AD=BDf

S>ADC=~SMBC=X2y=«,

•.•尸是DE中点，

DF=EF=CF=—D£=—

22

:.S四边形8OCF=-^X8CXO尸=2百

四边形ACFB的面积=2«+«=3

22.某电器商店准备购进甲、乙两种微波炉出售，它们的进价和售价如表.现计划用不超过

37500元购进这两种微波炉共100台，其中甲微波炉不少于65台.

(1)求甲种微波炉最多购进多少台？

(2)该电器商店对甲种微波炉每台降价〃(0<«<60)元，乙种微波炉售价不变.如果

这100台微波炉都可售完，那么该电器商店如何进货才能获得最大利润？

微波炉进价（元/售价（元/

台）台）

甲400600

乙300450

【分析】（1）设甲种微波炉购进m台，则乙种微波炉购进（100-加）台，然后根据购

进这100台微波炉的费用不得超过37500元，列出不等式解答即可；

（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对”的不同取值范围进行讨论，分别确定其

进货方案.

解：（1）设甲种微波炉购进，〃台，则乙种微波炉购进（100-，w）台,

根据题意，得：［465,

1400m+300（100-m）<3750（

解得：65W/nW75,

答：甲种微波炉购进75台；

（2）设总利润为W元，

卬=(600-400-〃)x+(450-300)(100-%)

即w=（50-«）x+15000.

①当0<“<50时，50-<a>0,卬随x增大而增大，

...当x=75时,W有最大值,即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件;

②当。=50时，所以按哪种方案进货都可以；

③当50<“<60时，W随x增大而减小.

•.•甲微波炉不少于65台，

...当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件.

23.为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”.每次租车

收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：01元/分.已知陈先

生的家离上班公司20公里，每天上、下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时

间记为分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如表所

示：

时间t25Wf<3535Wf<4545Wf<5555Wf<65

(分)

次数102884

将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为25Wf

<65.

（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率；

（2）若公司每月发放1000元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班

租用新能源租赁汽车（每月按22天计算），并说明理由.（同一时段，用该区间的中点

值作代表）

【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出陈先生一次租用新能源租赁汽车所

用的时间不低于35分钟的概率；

（2）根据表格中的数据，可以计算出陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车的费用，

然后与1000比较大小，即可解答本题.

解：（1）由题意可得，

即陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率是0.8；

（2）公司每月发放1000元的交通补助费用，足够让陈先生一个月上下班租用新能源租

赁汽车，

理由：由题意可得，

陈先生一个月的租车费用为：—X[（30X0.1+20X1）X10+（40X0.1+20X1）X28+

50

（50X0.1+20X1）X8+（60X0.1+20X1）X4]X22=530.64（元）,

V530.64<1000,

公司每月发放1000元的交通补助费用，足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽

车.

24.如图，四边形A8CQ是。。的内接四边形，。。的半径为3,ZADC=90°.分别过点

B、。作CD、BC的垂线，垂足分别为点E、F,两垂线交于点G.

（1）求证：四边形A8G。是平行四边形；

⑵若。是优弧俞的中点，且sinNC。/=,，求弦CO的长.

D

【分析】（1）证明两组对边分别平行即可.

（2）连接AC.首先证明点G在A。上，在中，sin/EOG=*=],设EG

22=2

=〃，则DG=AD=3a,推出DE=A/DG-EGJ由EG〃A£>,推出*=聆=\,

CDAUo

推出EC=J须，推出C£>=3&<7,再根据AZ^+CD^AC2,构建方程求出m即可解决

问题.

【解答】（1）证明：,：ZADC+ZABC=\SO°,ZADC=9Q°,

：.ZABC=90Q,

'CDFLBC,BE1,CD,

：.ZDFC=ZABC=90°,ZBEC=ZADC=90°,

：.DF//AB,BE//AD,

四边形ABGD是平行四边形.

(2)解：连接AC.

VZADC=90°,

；.AC是直径，

7CD=BO

：.ZDAC=ZBACfCD=BC,

VZADC=ZABC=90°,AC=AC,

ACD丝RtZ\ACB(HL),

：.AD=AB,ZCAD^ZCAB,

V四边形ABGD是平行四边形,

二四边形48GO是菱形，

；.4C经过点G,

在Rtz^OEG中，VZDEG=90°,

EG1

：.sinZEDG=—=—,

DG3

设EG=a,则DG=AD=3a,

,DE=VDG2-EG2=2近a,

,JEG//AD,

.生=毁J

••而■一而一了

:・CD=3\f^p,

•・・A£>2+CO2=AC2,

/.9。2+18。2=36,

・c-2M