辽宁省铁岭市艺术职业中学2022年高三数学文测试题含解析

辽宁省铁岭市艺术职业中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知非零向量和满足⊥（－），⊥（2－），则与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知函数若互不相等，且则的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：C略3.若是第二象限的角，且，则

（

）

A. B. C. D.参考答案：A略4.在公比为q的正项等比数列{an}中，，则当取得最小值时，（

）A． B．

C．

D．参考答案：A5.“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A6.已知曲线y=x3+，则在点P（2，4）的切线方程是（）A．4x﹣y﹣4=0 B．x﹣4y﹣4=0 C．4x﹣4y﹣1=0 D．4x+y﹣4=0参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=2处的导数，从而求得切线的斜率，再用点斜式写出化简即可．【解答】解：y=x3+的导数为y′=x2，当x=2时，y′=4．∴切线的斜率为4．∴切线的方程为y﹣4=4（x﹣2），即4x﹣y﹣4=0．故选A．7.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为

()A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：B8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R=PD=．则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=故选：A．9.已知是奇函数，是偶函数，且,则等于（A）4. (B)3. (C)2. (D)1.参考答案：B略10.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为，，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）

A.10 B.6 C.7 D.16参考答案：A【分析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于分的个数数出来，即为输出的结果。【详解】，，成立，不成立，；，，成立，不成立，；，，成立，成立，，；依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于90分的学生数为10，故选：A。【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值分别为

参考答案：34、55略12.若函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是

参考答案：．当时，的最大值为，令，解得，所以a的取值范围是．13.已知实数x,y满足设b=x-2y，若b的最小值为一2，则b的最大值为参考答案：10

【知识点】简单线性规划．E5解析：由约束条件作出可行域如图，由b=x﹣2y，得，由图可知，A（a，a），B（a，﹣2a），则当直线过A（a，a）时在y轴上的截距最大，b有最小值为a﹣2a=﹣a=﹣2，即a=2，∴当直线过B（a，﹣2a）时在y轴上的截距最小，b有最大值为a﹣2（﹣2a）=5a=10．故答案为：10．【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得a的值，再把使目标函数取得最大值的最优解的坐标代入目标函数求得b的最大值．14.一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是_______。参考答案：15.设Sn为等比数列的前n项和，若，则该数列的公比q=

。参考答案：316.将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为．参考答案：1【考点】归纳推理．【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，即可求出实数a的值．【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，所以a=1．故答案为：1．17.若向量，的夹角为120°，则=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用已知条件通过向量的数量积转化求解向量的模即可．【解答】解：向量，的夹角为120°，则===．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：

若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为．（1）试确定，，，的值；（2）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查．设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望．参考答案：（1）根据题意，有

解得

…………2分，．

……………5分（2）用分层抽样的方法，从中选取人，则其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人．

……………6分故的可能取值为0，1，2，3；，，，．

……………10分所以的分布列为：．

……………12分19.（本题满分18分）定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”．（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”，在上任取，，，……，．①证明：当（）时，成立；②请再选一个与①不同的且大于1的整数，证明：也成立．参考答案：解：（1）设，是上的任意两个数，则．函数在上是“凸函数”．……4分（2）对于上的任意两个数，，均有成立，即，整理得………………7分若，可以取任意值．若，得，，．综上所述得．………………10分（3）①当时由已知得成立．假设当时，不等式成立即成立．那么，由，得．即时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．……15分②比如证明不等式成立．由①知，，，，有成立．，，，，，从而得．………………略20.已知函数.（1）求的解集M；（2）证明：当a，b∈M时，．参考答案：解：（1）当时，由得

解得；当时，；当时，由得

解得.所以的解集.（2）由（1）知，当时，，从而，可得，

所以.21.如图，在直三棱柱ABC-A’B’C’中，∠ACB=90°，AA’=BC=2AC=4.(1)若点P为AA’的中点，求证：平面B’CP⊥平面B’C’P；(2)在棱AA’上是否存在一点P，使得二面角B’-CP-C’的大小为60°，若存在，求出AP的值；若不存在，说明理由.参考答案：(1)要证明面面垂直，先要证线面垂直BC//B’C’⊥平面AA’C’C，因此B’C’⊥CP在直角三角形中求斜边得C’P=CP=由可知C’P⊥CP综上，CP⊥平面C’B’P，从而，平面B’CP⊥平面B’C’P(2)以C为原点建系，设AP=a，则C(0,0,0)，P(2,0,a)，C’(0,0,4)，B’(0,4,4)平面C’CP的法向量为C’B’=(0,4,0)，设平面B’CP的法向量为m=(x,y,z)则解得m=(a,2,-2)解得a=<4（棱长）因此，侧棱上存在一点P满足题意22.（13分）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点.（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线