浙江省宁波市慈溪周巷中学2022-2023学年高三数学文上学期摸底试题含解析

浙江省宁波市慈溪周巷中学2022-2023学年高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题p：?x∈R，cosx＝；命题q：?x∈R，x2－x＋1>0.则下列结论正确的是A．命题是假命题

B．命题是真命题C．命题是真命题

D．命题是真命题

参考答案：D2.已知函数若互不相等，且

，则的取值范围是

(

)

A．（1，2014）

B．（1，2015）

C．（2，2015）D．[2，2015]参考答案：C略3.“x（x﹣5）＜0成立”是“|x﹣1|＜4成立”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由x（x﹣5）＜0?0＜x＜5，|x﹣1|＜4?﹣3＜x＜5，知“x（x﹣5）＜0成立”?“|x﹣1|＜4成立”．【解答】解：∵x（x﹣5）＜0?0＜x＜5，|x﹣1|＜4?﹣3＜x＜5，∴“x（x﹣5）＜0成立”?“|x﹣1|＜4成立”，∴“x（x﹣5）＜0成立”是“|x﹣1|＜4成立”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查必要条件、充分分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的合理运用．4.若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B． C．1 D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，可化为k=1+，设g（x）=1+，求导，研究此函数的单调性即可解决【解答】解：若直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，∴g′（x）=∴g′（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，∴g（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，g（﹣1）=1﹣e，而当x→+∞时，g（x）→1，∴g（x）的图象：∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）无解时，k∈（1﹣e，1]，∴kmax=1，故选：C5.已知双曲线（a＞0，b＞0）上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，则m的值为（）A． B． C．2 D．3参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义可得a=2，可得y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22）A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直，可得=+m，=﹣1，结合条件，由此能求得m．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，可得2a=4，即a=2．抛物线y=2x2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22），A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直，可得=+m，=﹣1，即x12+x22=+m，x2+x1=﹣，因为x1x2=﹣，所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1=，代入得=﹣+m，求得m=．故选：A．6.已知实数x、y满足，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】设z=，则x2=zy，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知x＞0，y＞0设z=，则x2=zy，（z＞0），对应的曲线为抛物线，由图象可知当直线y=x﹣1与抛物线相切时，此时z取得最小值，将y=x﹣1代入x2=zy，得x2﹣zx+z=0，由△=z2﹣4z=0得z=4或z=0（舍去），故的最小值是4，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7.点为圆内弦的中点，则直线的方程为（

）A．

B．C．

D．参考答案：C8.已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：【知识点】向量的定义F1B，，即，，，所以，故选B.【思路点拨】，，即，即可求.9.已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.数列{an}是公差不为零的等差数列，为等比数列，，则A.5

B.9

C.25

D.50参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为钝角，且，则_____________.参考答案：略12.已知点P（x,y）在不等式表示的平面区域上运动，

则的最大值是＿＿＿＿参考答案：略13.函数处取得极值，则的值为

参考答案：答案：014.已知点P是曲线y=x3﹣10x+3上位于第二象限内的一点，且该曲线在点P处的切线斜率为2，则这条切线方程为．参考答案：y=2x+19【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为P（x0，y0），求出函数的导数，根据导数的几何意义得f′（x0）=3x02﹣10=2，所以得x0=﹣2（舍正），从而得出切点为P（﹣2，15）．根据斜率为2，利用点斜式可得直线方程，最后化成斜截式．【解答】解：设P（x0，y0），求得函数的导数为f′（x）=3x2﹣10由题意知：f′（x0）=3x02﹣10=2，∴x02=4．∴结合函数图象第二象限内的一点，得x0=﹣2，∴y0=15．∴P点的坐标为（﹣2，15）．直线方程为y﹣15=2（x+2），即y=2x+19故答案为：y=2x+1915.若复数(为虚数单位)，

且为纯虚数，则实数的值为________．参考答案：略16.已知复数（为虚数单位），则______________。参考答案：【知识点】复数求模．L4因为，所以，故答案为。【思路点拨】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．17.已知不等式组表示的平面区域为M，直线所围成的平面区域为N。

（1）区域N的面积为

；

（2）现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：

本科研究生合计35岁以下52735～50岁（含35岁和50岁）1732050岁以上213（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率．参考答案：考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据概率公式计算即可（Ⅱ）从这6人中任取2人，用列举法一一列举，共有15种等可能发生的基本事件．记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件B，则B中的结果共有15﹣3=12个，由此求得所求的事件的概率．解答： 解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人．则P（A）==儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为．（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师用1，2表示，35～50岁（含35岁和50岁）具有研究生学历的教师为3，4，5，50岁以上具有研究生学历的教师为6，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共有15种抽法，其中全是35～50岁（含35岁和50岁）的结果有3种，分别为：34，35，45，记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件B，则B中的结果共有15﹣3=12个，故所求概率为P（B）==．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题．19.在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若=||，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（1）求得和的坐标，再根据以及α∈（0，π），求得tanα的值可得α的值．（2）由，求得sinα+cosα=，平方可得2sinαcosα=﹣，再根据=2sinαcosα，求得结果．【解答】解：（1）由题意可得=（cosα﹣2，sinα），=（cosα，sinα﹣2），∵，∴（cosα﹣2）2+sin2α=cos2α+（sinα﹣2）2，且α∈（0，π）．整理可得tanα=1，α=．（2）若，则（cosα﹣2）cosα+sinα（sinα﹣2）=，化简得sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣，∴==2sinαcosα=﹣．20.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，己知，

.(I)若，求△ABC的面积；(Ⅱ)求的值。参考答案：21.（本小题满分14分）已知函数。（1）证明：（2）若数列的通项公式为，求数列

的前项和；（3）设数列满足：，设，若（2）中的满足对任意不小于2的正整数，恒成立，试求的最大值。参考答案：（1）证明：……4分（2）解析：由（1）可知，即……………6分……7分又……①……②①+②得……9分（3）解析：……③对任意……④由③④得………11分

………………12分

所以数列是单调递增数列。关于递增，当，且时，。…13分由题意，即，

所以的最大值为6。………………14分22.为弘扬中华优秀传统文化，某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛．比赛规则：每个参赛者回答A、B两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得1分，答错得0分，两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩．小明估计答对A组每道题的概率均为，答对B组每道题的概率均为．（Ⅰ）按此估计求小明A组题得分比B组题得分多1分的概率；（Ⅱ）记小明在比赛中的得分为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望Eξ．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见详解，【分析】（Ⅰ）分析满足题意的事件，然后分别计算出概率，再用概率加法公式计算即可；（Ⅱ）先根据题意求得ξ可取的值，再根据题意，分别求出概率，通过分布列计算数学