函数的表示法8种常见考法归类（原卷版）

3.1.2函数的表示法8种常见考法归类1、函数的表示法注：并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x∈Q，,1，x∈∁RQ.))列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．特别提醒函数三种表示法的优缺点比较2、分段函数（1）一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．（3）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．注：分段函数是一个函数，而不是几个函数．3、分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．注：(1)分段函数定义域、值域的求法①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；②分段函数的值域是各段函数值域的并集．(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．4、函数的图象（1）函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.（2）函数图象的对称变换①的图象的图象；②的图象的图象；③的图象的图象；（3）函数图象的翻折变换（绝对值变换）①的图象的图象；（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）②的图象的图象.（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）5、理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．6、函数的三种表示方法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．注：应用函数三种表示方法应注意以下三点①解析法必须注明函数的定义域；②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．7、作函数y＝f(x)图象的方法(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．注：用描点法画函数的图象：一般地，作函数图象时分以下三个步骤：(1)列表．先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来．(2)描点．把第(1)步表格中的点一一在坐标平面上描出来．(3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．8、作函数图象时需注意的五个问题(1)确定函数的定义域，在定义域内作图；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点；(4)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等；(5)对于已经熟悉形状的函数图象，只需选出几个特殊点即可作出全图，其中抛物线选3个点即可，直线或线段选2个点即可．9、求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令t＝g(x)，反解出，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x).注：配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)方程组法(或消元法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).特别地，当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．10、函数图象的应用(1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．11、分段函数求值(1)分段函数求值的方法①先确定要求值的自变量属于哪一段区间．②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．12、分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．13、分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．考点一函数的三种表示法考点二求函数的解析式（一）待定系数法求解析式（二）换元法求解析式（三）配凑法求解析式（四）方程组法求解析式（五）赋值法求解析式考点三函数图象的应用考点四分段函数求值考点五分段函数与不等式的综合考点六分段函数的定义域、值域问题考点七分段函数图象的画法考点八分段函数图象的应用（一）根据函数的图象求解析式（二）分段函数图象的应用考点一函数的三种表示法1．（2023秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知函数由以下表格给出，则等于.x1234－11212．（2023秋·高一课时练习）自变量x与因变量y之间的关系如下表：x01234…y02468…（1）写出x与y的关系式：.（2）当时，.3．【多选】（2023秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（

）A．（） B．（）C．（） D．（）4．（2023·全国·高三对口高考）已知某人在2010年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y（元）与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则.5．（2023·全国·高三专题练习）某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（

）A．

B．

C．

D．

6．【多选】（2023秋·高一课时练习）某地一年内的气温（单位：℃）与时间t（单位：月份）之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10℃，令表示时间段内的平均气温，不能正确反映与t之间的函数关系的图象有（）

A．

B．

C．

D．

考点二求函数的解析式（一）待定系数法求解析式7．（2023·全国·高一假期作业）已知一次函数满足，则（

）A．12 B．13 C．14 D．158．（2023·全国·高一课堂例题）（1）已知一次函数满足，求的解析式．（2）已知二次函数满足，，，求的解析式．9．（2023·全国·高三对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（

）A． B．C． D．（二）换元法求解析式10．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知函数，则.11．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．12．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，则（

）A．B．C． D．（三）配凑法求解析式13．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知，则（

）A． B．C． D．14．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知函数，求函数的解析式为．（四）方程组法求解析式15．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的解析式16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（

）A． B． C． D．17．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则.18．（2023·全国·高一课堂例题）（1）已知函数满足，求的解析式．（2）已知，其中，求的解析式．19．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则.（五）赋值法求解析式20．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．(1)已知满足.(2)已知，对任意的实数x，y都有.21．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式.22．（2023·江苏·高一假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.考点三函数图象的应用23．（2023春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）甲､乙两人进行一次赛跑比赛，从同一地点出发，路程与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（

）A．甲､乙两人的速度相同 B．此次比赛甲获胜C．乙跑的路程多 D．在比赛中甲比乙跑的快24．（2023·高一课时练习）在某种金属材料耐高温的实验中，10分钟内温度y（℃）随时间t（分钟）的变化情况，经微机处理后显示出如下图象，则下列说法中正确的是（

）A．前5分钟温度增加的速度由慢变快，后5分钟温度保持不变B．前5分钟温度增加的速度由快变慢，后5分钟温度保持不变C．前5分钟温度增加的速度由慢变快，后5分钟温度匀速增加D．前5分钟温度增加的速度由快变慢，后5分钟温度匀速增加25．【多选】（2023·江苏·高一专题练习）某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（

）A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用26．（2023秋·高一课时练习）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象.给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本.其中，正确的说法是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点四分段函数求值27．（2023秋·天津北辰·高一校考阶段练习）已知函数，则=，=28．（2023秋·江西南昌·高一统考期中）已知函数，则.29．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知函数，则（

）A． B．0 C．4 D．630．（2023·全国·高一课堂例题）已知则的值等于（

）A．-2 B．4 C．2 D．-431．（2023秋·山东青岛·高一校考期中）已知函数，若，实数（

）A．2 B．3 C．4 D．532．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知，若，则（

）A．1 B． C．2 D．考点五分段函数与不等式的综合33．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数，则不等式的解集是．34．（2023秋·河南南阳·高一统考阶段练习）设函数,则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．35．（2023·全国·高一专题练习）函数，若关于的不等式的解集.36．（2023·全国·高三专题练习）已知,则使成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．37．（2023·全国·高三专题练习）设，则不等式的解集是（）A．B．C．D．38．（2023秋·江苏淮安·高一江苏省淮安中学校考期末）已知函数，令，则不等式的解集是考点六分段函数的定义域、值域问题39．（2023秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．(1)写出函数的定义域和值域；(2)求的值．40．【多选】（2023秋·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C． D．若，则的值是241．【多选】（2023秋·广东梅州·高一校考期中）已知函数，则关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为R B．的值域为C． D．若，则x的值为42．【多选】（2023秋·福建莆田·高一校联考期中）函数，则下列结论正确的是（

）A．定义域为 B．的值域是C．方程的解为 D．方程的解为43．【多选】（2023秋·宁夏中卫·高一中宁一中校考阶段练习）如图是函数的图像，则下列说法正确的是（

）A． B．的定义域为C．的值域为 D．若，则或244．【多选】（2023秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期中）已知函数关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为RB．的值域为C．D．若则x的值是45．（2023秋·吉林通化·高一校考阶段练习）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点七分段函数图象的画法46．（2023秋·甘肃武威·高一校考期中）已知函数.作出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.

47．（2023·全国·高一课堂例题）作出下列函数的图象：(1)(2)，．48．（2023秋·福建漳州·高一漳州三中校考期中）已知函数．

(1)求，；(2)若，求的值；(3)在给定的坐标系中，作出函数的图象．49．（2023·全国·高一假期作业）已知函数.(1)求，的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；50．（2023秋·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）已知.(1)用分段函数的形式表示该函数.(2)画出区间上的的图象；(3)根据图象写出区间上的值域.51．（2023秋·湖北武汉·高一校联考期中）给定函数.

(1)在同一直角坐标系中画出函数的图像；(2)表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值.52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)在给出的坐标系中画出函数的图像；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．考点八分段函数图象的应用（一）根据函数的图象求解析式53．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）如图所示，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为，则函数的图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

54．（2023秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（

）A．B．C．D．55．（2023秋·安徽黄山·高一屯溪一