第一章集合与逻辑（知识清单典型例题）-高一数学讲义（沪教版2020）

第一章集合与逻辑（知识清单+典型例题）【知识导图】【知识清单】【考点1：集合的概念】（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．（2）元素与集合的两种关系：属于，记为eq\a\vs4\al(∈)；不属于，记为.（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法、区间法（4）五个特定的集合集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号eq\a\vs4\al(N)N*或N＋eq\a\vs4\al(Z)eq\a\vs4\al(Q)eq\a\vs4\al(R)题型一：集合的基本概念【例1】考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.]【规律方法】判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.题型二：元素与集合的关系【例2】已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．【规律方法】判断元素与集合关系的2种方法1直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.2推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.题型三：集合中元素的互异性【例3】已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．[解]由题意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.【规律方法】1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．【温馨提醒】解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．题型四：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．【例4】已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【规律方法】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．题型五：用列举法表示集合【例5】用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.[解](1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，eq\f(3,2)，所以C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).(4)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝－2x＋6，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4.))所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．【规律方法】用列举法表示集合的3个步骤1求出集合的元素；2把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3用花括号括起来.【温馨提醒】二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{2，3，5，－1}.题型六：用描述法表示集合【例6】用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．[解](1){x∈R|1<x<10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．【规律方法】描述法表示集合的2个步骤题型七：区间法表示集合【例7】用区间表示下列集合：（１）｛x｜１≤x＜２｝；（２）不等式２x≤６的所有解组成的集合．解（１）该集合可用区间［１，２）表示．（２）因为不等式２x≤６的解是x≤３，所以它的所有解组成的集合是（－∞，３］题型八：集合表示方法的综合应用【例8】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．[思路点拨]eq\x(A中只有一个元素)eq\o(→,\s\up15(等价转化))eq\x(方程kx2－8x＋16＝0只有一解)eq\o(→,\s\up15(分类讨论))eq\x(求实数k的值)[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．【规律方法】1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．【考点2：集合间的基本关系】文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集题型九：集合间关系的判断【例9】判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．[解](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A⊂B.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D⊂B⊂A⊂C.(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故A⊂B.【规律方法】判断集合关系的方法.1观察法：一一列举观察.2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法：利用数轴或Venn图.【温馨提醒】若A⊆B和A⊂B同时成立，则A⊂B更能准确表达集合A，B之间的关系.题型十：子集、真子集的个数问题【例10】已知集合M满足：{1,2}⊂M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．[解]由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．【规律方法】求集合子集、真子集个数的3个步骤2．与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．题型十一：由集合之间的关系求参数【例11】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊂A，求实数m的取值范围．[思路点拨]eq\x(B＝{x|m＋1≤x≤2m－1})eq\o(→,\s\up15(分B＝∅和B≠∅),\s\do15(结合数轴))eq\x(列不等式组)→eq\x(求m的取值范围)[解](1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.(2)当B≠∅时，如图所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．【规律方法】1．利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．2．数学素养的建立通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．【考点3：集合的基本运算】1.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}2.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩＝，A∪＝U，＝A.3．常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）．（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．（4）∩＝，∪＝．题型十二：并集概念及其应用【例12】(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]【规律方法】求集合并集的两种基本方法1定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.题型十三：交集概念及其应用【例13】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4C．3 D．2(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故选D.]【规律方法】1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：(1)定义法，(2)数形结合法．2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．题型十四：集合交、并运算的性质及综合应用【例14】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．[思路点拨]eq\x(A∪B＝A)eq\o(→,\s\up15(等价转化))eq\x(B⊆A)eq\o(→,\s\up15(分B＝∅和B≠∅))eq\x(建立k的不等关系)eq\o(→,\s\up15(求交集))eq\x(得k的范围)[解](1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).综合(1)(2)可知k≤eq\f(5,2).题型十五：补集的运算【例15】(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，＝{2,4,6}，＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则＝________.(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知＝{x|x<－3或x＝5}．]【规律方法】求集合的补集的方法1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.题型十六：集合交、并、补集的综合运算【例16】设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求，及∩B.[解]把集合A，B在数轴上表示如下：由图知＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以＝{x|x≤2，或x≥10}．因为＝{x|x<3，或x≥7}，所以∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．【规律方法】解决集合交、并、补运算的技巧1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.题型十七：与补集有关的参数值的求解【例17】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且∩B＝∅，求实数m的取值范围．[思路点拨]法一：eq\x(由A求∁UA)eq\o(→,\s\up15(结合数轴),\s\do15(∁UA∩B＝∅))eq\x(建立m的不等关系)法二：eq\x(∁UA∩B＝∅)eq\o(→,\s\up15(等价转化))eq\x(B⊆A)[解]法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得＝{x|x<－m}．因为B＝{x|－2<x<4}，∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}．法二(集合间的关系)：由∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴：得－m≤－2，即m≥2.【规律方法】由集合的补集求解参数的方法1如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.2如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.【考点4：充分条件与必要条件】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔A⊂B；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔B⊂A；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．题型十八：充分条件、必要条件的判断【例18】指出下列各题中p是q的什么条件．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.[解](1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．【规律方法】定义法判断充分条件、必要条件1确定谁是条件，谁是结论2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.题型十九：充分条件、必要条件、充要条件的应用【例19】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路点拨]eq\x(\a\al(p是q的充分,不必要条件))→eq\x(\a\al(p代表的集合是q代,表的集合的真子集))→eq\x(\a\al(列不等式,组求解)){m|m≥9}[因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]【规律方法】利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围1化简p，q两命题；2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；3利用集合间的关系建立不等式；4求解参数范围.题型二十：充要条件的探求与证明【例20】试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[思路点拨]从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．[证明]①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq\f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝eq\f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.【规律方法】充要条件的证明策略1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.【温馨提醒】证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.【考点5：反证法】题型二十一：结论的否定形式【例21】（2022秋•黄浦区校级期中）用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设（）A．任意三角形都没有钝角 B．存在一个三角形恰有一个钝角 C．任意三角形都有两个钝角 D．存在一个三角形至少有两个钝角【解答】解：第一步应假设结论不成立，则应该假设存在一个三角形至少有两个钝角．故选：D．【变式】（2022秋•徐汇区校级期中）用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5