极坐标与参数方程测试题(有详解答案)

极坐标与参数方程测试题(有详解答案)极坐标与参数方程测试题1.直线y=2x+1的参数方程是（）A、x=2t-1，y=4t+1（t为参数）B、x=t^2，y=2t+1（t为参数）C、x=sinθ，y=2t-1D、x=t-1，y=2sinθ+1（θ为参数）2.已知实数x,y满足x^3+cosx-2=π，8y^3-cos2y+2=π，则x+2y=（）A.π/2B.πC.-π/2D.-π3.已知M(-5,3)，下列所给出的不能表示点的坐标的是()A、(5,-3)B、(5,4π/3)C、(5,-2π/3)D、(-5,-5π/4)4.极坐标系中，下列各点与点P(ρ,θ)（θ≠kπ，k∈Z）关于极轴所在直线对称的是（）A.(-ρ,θ)B.(-ρ,-θ)C.(ρ,2π-θ)D.(ρ,2π+θ)5.点P1,-3，则它的极坐标是A、(2,π/3)B、(2,4π/3)C、(2,-π/3)D、(2,-4π/3)6.直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线C1：(x=3+cosθ,y=sinθ)（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，则AB的最小值为()A.1B.2C.3D.47.参数方程为x=t+1,y=2(t为参数)表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线8.若直线{t为参数}与直线4x+ky=1垂直，则常数k=（）A.-6B.-1/11C.6D.119.极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是()A.(x-2)+y=4B.x+y=4C.x+(y-2)=4D.(x-1)+(y-1)=410.柱坐标（2，2π/3，1）对应的点的直角坐标是（）A.(-1,3,1)B.(1,-3,1)C.(3,-1,1)D.(-3,1,1)11.已知二面角$\alpha-\ell-\beta$的平面角为$\theta$，点$P$为空间一点，作$PA\perp\alpha$，$PB\perp\beta$，$A$，$B$为垂足，且$PA=4$，$PB=5$，设点$A$、$B$到二面角$\alpha-\ell-\beta$的棱$\ell$的距离分别为$x$、$y$。则当$\theta$变化时，点$(x,y)$的轨迹是下列图形中的（$\mathrm{B}$）。12.已知曲线$2\rho=4\sin(x+\theta)$，圆$\rho=1$与直线$\rho\cos\theta+2\rho\sin\theta=3$，求它们的位置关系。将曲线化为$\rho=2\sin(x+\theta)$，代入直线方程得$\rho=3/\sqrt{5}$，即它们相交于一个点。13.在极坐标$(\rho,\theta)$（$0\leq\theta<2\pi$）中，曲线$\rho=2\sin\theta$与$\rho\cos\theta=-1$的交点的极坐标为$(1,\pi/6)$。14.在极坐标系中，圆$\rho=2$上的点到直线$\rho\cos\theta+3\rho\sin\theta=6$的距离的最小值是$1$。15.已知圆$C$：$(x-1)^2+y^2=1$，直线$l$：$y=1-3t$，$x=-2+3t$，求圆心到直线$l$的距离。将直线的参数方程代入圆的方程得$(3t-1)^2+(1-3t)^2=2$，即$t=1/2$，圆心到直线$l$的距离为$1/\sqrt{2}$。16.以直角坐标系的原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴，已知曲线$C_1$：$\theta=0$，$C_2$：$\theta=\pi$，$C_3$：$3y=2\sin\theta$，且$\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$，则曲线$C_1$、$C_2$、$C_3$所围成的封闭图形的面积是$11\pi/3$。17.（本小题满分10分）在直角坐标系$xOy$中，直线$l$的方程为$x-y+4=0$，曲线$C$的参数方程为$x=3\cos\alpha$，$y=\sin\alpha$。$(\mathrm{I})$已知在极坐标系中，点$P$的极坐标为$(4,\pi/2)$，判断点$P$与直线$l$的位置关系；$(\mathrm{II})$设点$Q$是曲线$C$上的一个动点，求它到直线$l$的距离的最小值。$(\mathrm{I})$将点$P$的极坐标转化为直角坐标得$P(0,4)$，将直线$l$的方程转化为极坐标系中的方程为$\rho\sin(\theta+\pi/4)=2\sqrt{2}$，将点$P$的极坐标代入得$16\sin(\theta+\pi/4)=2\sqrt{2}$，解得$\theta=-\pi/4$或$\theta=3\pi/4$。将这两个极角代入直线$l$的方程得两个交点，即$(2\sqrt{2},\pi/4)$和$(2\sqrt{2},5\pi/4)$，其中只有$(2\sqrt{2},\pi/4)$在点$P$的内部，因此点$P$与直线$l$的位置关系为相离。$(\mathrm{II})$将直线$l$的方程转化为极坐标系中的方程为$\rho\sin(\theta+\pi/4)=2\sqrt{2}$，将曲线$C$的参数方程代入得$\rho^2=9\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$，即$\rho^2=9+8\cos\alpha$。将$\sin(\theta+\alpha)=\rho\sin(\alpha-\theta)$代入距离公式得到到直线$l$的距离的平方为$(2\sqrt{2}-\rho\sin(\alpha-\pi/4))^2$，将$\rho^2$代入化简得到到直线$l$的距离的平方为$17-16\cos(\alpha-\pi/4)$，因此最小值为$1$，当且仅当$\cos(\alpha-\pi/4)=-1$，即$\alpha=3\pi/4$。18.在平面直角坐标系$xOy$中，椭圆$C$方程为$(x/4)^2+(y/3)^2=1$。$(\mathrm{I})$过椭圆的右焦点，且与直线$l$：$x-2y+2=0$平行的直线的普通方程为$x-2y-2=0$。右焦点为$(\sqrt{7},0)$，直线$l$的斜率为$1/2$，因此过右焦点，且与直线$l$平行的直线的斜率为$1/2$，截距为$-3/2$，即直线的方程为$x-2y-7=0$。$(\mathrm{II})$椭圆$C$的内接矩形的面积为$6$。内接矩形的对角线长度为椭圆的长轴长度，即$2\sqrt{13}$。设矩形的长和宽分别为$a$和$b$，则有$a^2+b^2=52$，又因为矩形的面积为$ab$，因此要求$ab$的最大值，可以用均值不等式得到$a+b\leq2\sqrt{13}$，因此$ab\leq26$，当且仅当$a=b=\sqrt{13}$时取到。因此内接矩形的面积为$ab=13\times2=26$。1.在极坐标系（x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为(4,)，需要判断点P与直线l的位置关系。2.对于曲线C上的一个动点Q，需要求它到直线l的距离的最小值。3.已知参数方程式为x=2cos(t)，y=2(t+42)，直线l的参数方程为x-y+4=0，圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π/2)。需要求解圆心C的直角坐标和由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值。4.已知曲线C1的参数方程式为x=3cos(θ)，y=3sin(θ)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程式为ρ=2。正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D依逆时针次序排列。需要求解点A、B、C、D的直角坐标和设p为C1上任意一点，求PA+PB+PC+PD的取值范围。1.在以极轴为x轴正半轴的极坐标系中，点P的极坐标为(4,)，需要判断它与直线l的位置关系。2.对于曲线C上的动点Q，需要求它到直线l的距离的最小值。3.已知参数方程式为x=2cos(t)，y=2(t+42)，直线l的参数方程为x-y+4=0，圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π/2)。需要求圆心C的直角坐标和由直线l上的点向圆C引切线的最小切线长。4.已知曲线C1的参数方程式为x=3cos(θ)，y=3sin(θ)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程式为ρ=2。正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D依逆时针次序排列。需要求点A、B、C、D的直角坐标和设p为C1上任意一点时，PA+PB+PC+PD的取值范围。同时，删除明显有问题的第五段内容。20.圆C的直角坐标方程为$x^2+y^2-2x=0$，圆心到直线l的距离为$d=\frac{35}{5\pi}$，得点M的直角坐标为(4,4)。21.解：（Ⅰ）由点M的极坐标为$(4,\frac{\pi}{6})$，所以直线OM的直角坐标方程为$y=x$。（Ⅱ）由曲线C的参数方程$x=1+2cos\alpha$，$y=2sin\alpha$化成普通方程为$(x-1)^2+y^2=4$，圆心为A(1,0)，半径为$r=2$。由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为$|MA|-r=5-2=3$。23.（Ⅰ）$y^2=2ax$，$y=x-2$。（Ⅱ）直线l的参数方程为$x=-2+\frac{t}{\sqrt{2}}$，$y=-4+\frac{t}{\sqrt{2}}$（为参数），代入$y^2=2ax$，得到$t^2-22(4+a)t+8(4+a)=0$，则有$t_1+t_2=22(4+a)$，$t_1t_2=8(4+a)$。因为$|MN|^2=|PM|\cdot|PN|$，所以$(t_1-t_2)^2=(t_1+t_2)^2-4t_1t_2=t_1t_2$。解得$a=1$。24.解：（I）把极坐标系下的点P$(4,\frac{\pi}{2})$化为直角坐标，得P$(0,4)$。因为点P的直角坐标$(0,4)$满足直线l的方程$x-y+4=0$，所以点P在直线l上。（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为$(3cos\alpha,sin\alpha)$，从而点Q到直线l的距离为$d=\frac{|3cos\alpha-sin\alpha+4|}{\sqrt{2}}$。由此得，当$cos(\alpha+\frac{\pi}{6})=-1$时，$d$取得最小值，且最小值为2。25.解：（I）$\rho=2cos\theta-2sin\theta$，$\rho^2=2\rhocos\theta-2\rhosin\theta$，$\rho^2+2x-2y=0$，即$x^2+y^2-2x+2y=0$，圆心直角坐标为$(1,-1)$。（II）方法1：直线l上的点向圆C引切线长是$\sqrt{(2-t)^2+(t+4)^2}-1=t^2+8t+40=(t+4)^2+24\geq26$。方法2：直线l的斜率为1，过圆心$(1,-1)$的直线斜率为$\frac{1+1}{1-1}=0$，故直线l与圆C的夹角为$\frac{\pi}{