电路分析基础2014课件第9章

在正弦激励的动态电路中，若各电压、电流均为与激励同频率的正弦波，则该电路称为正弦稳态电路。正弦稳态电路的分析方法即为正弦稳态分析，指的就是运用相量的概念对正弦稳态电路进行分析。9-12

有效值 有效值相量一、有效值的概念正弦电流i流过电阻R，在一个周期T内电阻消耗的能量为：T

Ti

(t)dt02021

i

(t)Rdt

RW

(0,T

)

设直流电流I流经同样的电阻R，在相同时间T内，R消耗的能量为：02TI

2

Rdt

RTI

2W

(0,T

)

假定消耗的能量相同，即：W1

(0,T

)

W2

(0,T

)则有：T022

RTI

RTi

(t)dt1T02

i

(t)dt

I

TX

02x

(t)dt1Tx(t)tTOTi

(t)dt1T02

I

称为交流电流i的有效值,又称均方根值。二、正弦量的有效值与振幅的关系结论：Im2I

2U

UmmimT

ITT

IT2

m

dt2T12T1[cos(1

10202TI0220

0.707I

Im

Ti2dt

I

m

[cos(2

t

2

i

)

1]dt

t

)]

dti

Im

cos(

t

i

)三、有效值相量（相量）I

I

iU

U

ui

2I

cos(

t

i

)u

2U

cos(

t

u

)小常识*电网频率：中国50

Hz；美国、日本60Hz

*

有线通讯频率：300

-

5000

Hz*

无线通讯频率：30

KHz-3×104

MHz例、

2oA,i

t

10

sin 314t

60

3oAi

t

4

cos 314t

60

1oi

t

5

cos(314t

60 )

A,写出三个正弦电流的相量，并绘出相量图。52o

I1

60

A102o

I

2

150

A

2oi

t

10

cos 314t

60

90o

A,42

I

3

120o

A3o

oi

t

4

cos

314t

60

180

A解：作业：P450：9-429-5

基尔霍夫定律的相量形式在正弦稳态中（具有相同频率）相量形式为：一、KCL：

i

0

0

I

0

或：

I

m二、KVL：

u

0

0

U

0

或：

U

mWhy?例1.i1i2i3已知：i1

3

2

cos

t

Ai

4

2

cos(

t

90

)

A2求i3。3i

5

2

cos(

t

53.1

)结果：A已知12u

5

2

cos

t

Vu

5

2

sin

t

V求u3例_+_+_u3u22

+

u1结果：

u3

10

cos(

t

45

)V

u

Ri在正弦稳态中：i

2I

cos(

t

i

)u

2U

cos(

t

u

)相量形式为：U

R

I

9-6

三种基本电路元件VCR的相量形式一、电阻元件i+_u

R含义：U

u=

RI即

u

=

i+1+jU

IO

tO说明：电阻两端正弦电压与正弦电流同相。U

RI

u

=

i

i模相等幅角相等uiU

R

I

dtC

C

duC

i在正弦稳态中：iC

2IC

cos(

t

i

)uCCu

2U

cos(

t

)相量形式为：CCI

j

CU

二、电容元件iCC+uC_

i

j

CUC含义：IC

u

CUC

u

90

j

1

90

即IC

CUC

i

u

90

+1说明：

1）电流超前电压90°；+jO2）电流与ω有关。ω=0，相当于直流激励，电容开路。

ICCU

Oui

t

i

j

CUCIC

u

CUC

u

90

dtL

L

diL在正弦稳态中iL

2IL

cos(

t

i

)uL

2U

L

cos(

t

u

)

u相量形式为LLU

j

LI三、电感元件+iLLu_L

u

j

LIL

i含义：U

L

LIL

i

90

即UL

LI

L

90

u

i

tOui+1说明：

1）电流滞后电压90°；+jOLU

IL2）电压与ω有关。

ω=0，相当于直流激励，电感短路。

u

j

LIL

iUL

LIL

i

90

Cu

1

id

tU

U

U

j

C

1

I

R

I

j

L

I

u

Riu

L

d

id

t元件时域VCR元件相量VCR电路元件VCR的相量形式时域电路i

R+

ui(t)u

(t)L+-i

(t)u(t)C+--相量模型相量图I

U

U

I

I

U

U1

I

Cj

L+U

I

I

+-j

C

1

U

R+-I

U

电路元件VCR的相量形式U

LIU

RIR(2)用相量关系式i

u

2

2

cos(314t

60

)

AU

8

60

①I

U

2

60

②Ri

2 2

cos(314t

60

)

A③结论：纯电阻电路,电压与电流同相,可直接用时域关系式求解。例1：u

8

2

cos(314t

60

)V

，R=4Ω求，：i。解：(1)用时域关系式例2：i

解：用相量关系式I

1

30

①

0.02I

j

C

U

120

②

I

j

CU

2

cos(100t

120

)Vu

0.02③2

cos(100t

30

)A，C=0.5F，求：u。例3：L=4Hu，

82

cos(100t

50

)V，求：i。解：用相量关系式

50

0.02U

j

L

I

U

j

LI

140

①

U

8②2

cos(100t

140

)

Ai

0.02③总结：用相量式求解三个步骤：①写出已知正弦量的相量；（正变换）②利用元件或电路的相量关系式进行运算；③由得出相量求出对应的正弦量（反变换）作业：P443：9-11P444：9-149-7

VCR向量形式的统一——阻抗与导纳Rj

Lj

C

1

+_RI

UR

R

RI

U

RCI

CU

_C1j

C

I

U

CLI

LU

+

+_L

j

LI

U

L_Z

I+U

I

概括：

U

Z阻抗一、阻抗定义：二端元件正弦电压、电流相量之比。或

IZ

U

U

Z

I——欧姆定律的相量形式

电容的阻抗CZL

j

L

电感的阻抗1j

CR

:

ZR

R

电阻的阻抗L

:C

:

Z

二、导纳定义：阻抗的倒数。ZY

1RZCCLLRRj

LY

j

CZ

R1j

CC

:1L

:

Z

j

L

Y

Y

1

G

I

YU

——欧姆定律另一种相量形式牢记：R

:XL

LC

C1X

称感抗称容抗L

LB

1BC

C

称容纳称感纳一般：R

>

0X>0时，称呈感性

X<0时，称呈容性一般：G

>

0B>0时，称呈容性

B<0时，称呈感性说明：阻抗与导纳是复数1.直角坐标形式Y

G

jBG—导纳的实部，称电导

B—导纳的虚部，称电纳Z

R

jXR—阻抗的实部，称电阻

X—阻抗的虚部，称电抗2.极坐标形式iZ

uIZ

Z

U

Z

——阻抗的模

Z——阻抗的辐角

Z

u

i

阻抗角

Z

>0时，称为感性

Z

<0时，称为容性

Z

=0时，称电阻性uY

iUY

Y

I

Y

——导纳的模

Y

——导纳辐角

Y

i

u

Y

>0时，称为容性

Y

<0时，称为感性

Y

=0时，称电阻性3.阻抗与导纳的关系:ZY

11)直角坐标形式Z

R

jXY

G

jB2)极坐标形式Z

Z

ZY

Y

y1

R

jXZ R

jX

R2

X

2Y

1

ZY

1zy

2）阻抗适合元件串联3）导纳适合元件并联非关联参考方向加负号阻抗单位：欧姆(Ω) 导纳单位：西门子(S)Z

ZkY

Yk注意：1）复阻抗与复导纳是ω的函数作业：P444：9-15（2），（4）,（6）9-8,9-9,9-13

相量模型 相量分析法一、两类约束相量形式与电阻电路的比较相量形式U

Z

I

I

0

U

0时域形式1.

KL:KCL

i

0KVL2.

VCR:

u

0u

Ri说明：正弦稳态相量形式与电阻电路约束形式完全相同。只要对换：结论：直流电阻电路的任意分析方法均可用于正弦稳态电路分析。j

CC

R(G)

Z

(Y

)L

j

L1相量形式U

I

时域形式U

(u)

I

(i)

二、相量模型与相量分析法例：求i，uC

的稳态响应。时域模型uS

2US

cos(

t

us

)iRLC+_uC+u_S相量模型+ZRUS+

_

I_U

CZLZC1、描述时间电量相互作用的电路模型称为时域模型。2、在正弦稳态情况下，将时域模型中正弦量表示为相量，元件表示为阻抗或导纳，称为相量模型。2.

KVL:VCR:

ZL

I

j

LI

CCI

U

C1

Z

I

j

US

usU

R

U

L

U

C

U

SU

R

ZR

I

RI

U

LU

S+_RU

S+_

I+

U

R

_

+

U

L

_CU

j

C1j

L解：1.1

)

C

R

j(

L

I

等效阻抗：Z

U

SZR

ZL

ZCU

I

S

U1

CR

j

L

j

S

us1

)2R2U

C

(

L

I

S

Rusi1

L

C

arctgCCU

1j

C

Z

I

iI

CI

i

90

cos(

90

)iCu

2

t

I

C

i

2I

cos(

t

i

)3.结论：相量法分析步骤1、画出电路的相量模型；（正变换）2、仿照直流电路的分析方法对相量进行分析运算；3、把求得的相量变换成对应的正弦函数。（反变换）包括：直接利用两类约束计算、网孔法、节点法、戴维南定理、叠加定理、等效化简法例1+i4

us1_+_us2-+

_uL-0.002F0.08H图示电路处于正弦稳态中，已知us1

10us2

102

cos100t

V2

sin

100t

V

，试求i和当us2=0时的uL。+4

+-j5

解：1作相量模型0

V_10_

10

90

VLU

I

j8

+_三、用相量法（相量解析法）分析简单电路+4

-j5

1.做相量模型0

V_10

90

V_

10+

LU

I

2.相量分析依据VCR：4

j8

j5I

10

0

10

90

2

28.1

3.i

4

cos(100t

8.1

)

Aj8

+_U

S2S1U

I8.1

相量图：053.1

V=16利用分压公式UL

4

j8

j5

0

j8

10当uS2=0

求uL:+__+

LU

4

-j5

j8

0

V10uL

16

2

cos(100t

53.1

)

V

U

LU

S1

53.1o例2is4

+u_iL0.08H

0.002F图示电路处于正弦稳态中，is

10

2

cos100t

A试求u和iL。解：1.做相量模型

ILj0.2S

j0.125S0.25S10

0

A+_U

2.相量分析根据VCR：10

0

I

U

ZI

38.3Y

0.25

j0.125

j0.2

16.7

106.7

16.7

4.79

Y

U

j0.125

38.3IL

L1.相量模型+_

ILj0.2S

j0.125S0.25S10U

0

A3.反变换：

U

38.3

16.7

4.79LI

106.7

VA

u

38.3LA

ILU

2

cos(100t

16.7

)Vi

4.79

2

cos(100t

106.7

)O

IS16.7

106.7

四、用相量图法分析例图示电路处于正弦稳态中用相量图法求uo与uS的相位关系。已知uS

S

2U

cos

t+uS–+uo–RC解：

I

U

0

U

C

相量图法：未知结果，定性画出各相量，作图求解

1.对串联电路的分析

1

I

0I

串联电路宜设电流参考相量U

0RIU

C

CU

S

I2.对并联电路的分析例图示电路处于正弦稳态中，用相量图法求iG

,u已知iS

2IS

cos

tiSu_+

iGGiCC解：S

IC

IG

IG+U

_j

CCGU

CUG

iU

U

U

I

I

G

C并联电路宜设电压参考相量

IG

IC

IS例：已知在正弦稳态电路中，A1的读数为10A，A2的读数为10A。求：电流表A的读数。RCA1A2A10A10AabSU

U

cboSU

3

解：例SU

+_1

I3

I

Ia

bUabR1R2R31

C

joc已知U

S

,R1=R2，R3，

,

Cab用相量图法求

I和

U

4、混联电路分析US

I

I

I31SU

U

I

U

U

ao

3

bo1

I

I3

I

3U

caI3ab

boU

aoU

U

ab

ab作业：P445：9-22（c）9-10

uS11R11i1

R12

i2

...

R1m

imZ11—自阻抗：组成该回路各支路上阻抗之和。

Z12—互阻抗：两回路之间公共支路阻抗之和。网孔方程:

U

s11

Z11

I1

Z12

I

2

...

Z1m

Im相量模型的网孔分析法和节点分析法9-10-1

网孔分析法的相量形式+_

j2

3

1

I2

I+j4

0

V10

__500

F+_+

i1i2uS4mH3

2i1例:图示电路处于正弦稳态中,已知

uS

10

2

cos1000t

V试用网孔分析法求i1,i2。解：1.作相量模型2.相量分析：列网孔方程3.反变换I22I1

1

I(3

j4)I

j4I

10

0

1

221i

2.772

cos(1000t

29.7

)

A2

cos(1000t

56.3

)

Ai

1.24

j4I

(

j4

j2)I

2I

1

2

19-10-2

节点分析法的相量形式

iS11G11u1

G12

u2

...

G1m

um节点电压方程:

Y11

U1

Y12

U

2

...

Y1m

Um

Is11Y11—自导纳：与该节点相连的各支路上导纳之和。

Y12—互导纳：两节点之间公共支路导纳之和。Ui

—节点电压相量。+_

j2

_j4

1

I0

V1012

I3

U

1

+2.相量分析：列节点方程例：_500

F+_+

i1i2uS4mH3

图示电路处于正弦稳态中，已知

uS

10

2

cos1000t

V,试用节点分析法求i1。解：1.作相量模型12i1

10

2

I13

j2(1

1

1

)U

3

j4

j29-10-3戴维南定理的相量形式+Z0IUoc_+U_戴维南等效电路相量模型Uoc

——该网络的开路电压相量Z0

——网络内部独立源均置零时的等效阻抗_+

等效N单口网络

I

U例：试求负载电流解：+_

IZLZoOCU

LOI

Z

Z

ZU

OC

UOC

OCZ

0

S

10

VU

+_j200

j50

100

LZ

I

IOCU

100

j50

10

0

j50

4.47

63.4

V100

j50Z

j200

100(

j50)

20

j160

200

53.1

O9-10-4

叠加定理的相量形式例_+uSi0.1HiS10

10

2

cos100t

V图示电路处于正弦稳态中,已知

uS

20S

i

4

cos(100t

45

)A试用叠加定理求i。解：1.作相量模型+_10

10

j10

0

V2045

A24

I+_10

10

j10

0

V2045

A24

I单独作用时，0

V2.相量分析：

1)

20_+0

V20j10

I

10

2)单独作用时，45

A24

2

45

AU

S10

j10I

I

10

10

j10

45

A24210

j10

2

90

A

I

j10

4

45

3)

I

I

I

2

45

290

45

23.反变换i

2

cos(100t

45

)A

1

j

j2作业：P446：9-28P449：9-409-11

相量模型的等效两个单口网络相量模型的端口电压电流关系相同时，称此两个单口网络等效。一、无源二端网络相量模型的等效电路-U

NO

I+无源二端网络

IU

Z

R

jX

——输入阻抗U

I

Y

G

jB

——输入导纳（b）（c）阻抗等效电路（d）（e）导纳等效电路有两种等效电路，二者可以互相等效变换：1.

输入阻抗

Z

R

jX2)

若X

0

，呈容性，则等效为：，

呈感性，则等效为：1)若X

0

L

XX

LRLR

C1

X

C

CX

12.输入导纳Y

G

jB

C

BB

C

B

L

1

LB

11)若B>0,则为GC2)若B<0,则为GL例1：已知Z1

2

，j4

分别求出时域电路模型。解：1）2

0.4HR

2

L

X

4

0.4H

10Y2

0.1

j0.2

S,

10rad

/

s2）10

0.02FG

0.11C

B

0.2

0.02F

10

R

1

10例2：单口网络如图(a)所示，试计算该单口网络

=1rad/s和

=2rad/s时的等效阻抗及等效电路。解：画出

=1rad/s时的相量模型(b)，等效阻抗为Z

(1rad

/

s)

(1

j1)(

j2)

2

j2

2

1

j1

j2

1

jZ

(2rad

/

s)

(1

j2)(

j1)

2

j1

1

j3

(0.5

j1.5)

1

j2

j1

1

j1

2注意：R、X、G、B均为ω函数，等效电路是指某一频率下的等效电路。画出

=2rad/s时的相量模型(d)，等效阻抗为例3： 单口网络如图(a)所示，已知

=100rad/s。试计算等效阻抗和相应的等效电路。U

j2I

1I

j8(I

0.5U

1

)

j2I

1I

j8I

j8

0.5

(

j2I

)

(9

j6)I

I

Z

U

(9

j6)

等效为一个电阻和电感的串联解：二、几种常用的等效电路公式1.ZZkZ1

Z2ZnZnZ

Zkk

12.YY1YYY2knYnY

Ykk

13.Z1Z2ZZ1

Z2Z

Z1Z2

4.++_

_U

S

U

S1

U

S2

U

S3S1U

S2U

_

U

S3

++_U

S5.S3S2S1S

I

I

I

I

IS

IS3

IS2

IS1SSSZU

I

Z

S

ZSU

S

Z

S

ISZ

S

ZS6.SU

+_ZsS

IZs'三、含源单口网络相量模型的等效电路可以用一个独立电压源 与阻抗 的串联来代替；的并联来代替。U

ocZoZo也可用一个独立电流源

I

sc

与阻抗四、等效化简法的相量形式例1：+_j20V2

2

1

j2

100

A

I求

I解：用电压源与电流源相互转换，化成单回路求解。I

U

10

j10

5AZ

2

j

2a+c5

Z

I2.

Zcb

j5

5

j5

j5(1

j)

5

j5

5

j5

1

j

2

23.

Z与Zcb的模相等，虚部大小相等，符号相反

Z

2.5

j2.5

+_iNcCR图示电路处于正弦稳态中

Cac

cb已知：R

1

5

,U

Uuab与i同相,求N的等效阻抗Z。例2：ab解：Zcbb_

j5

1.作相量模型作业：P448：9-33本章小结掌握有效值、阻抗、导纳、时域模型、相量模型的概念；掌握基尔霍夫定律和欧姆定律的相量形式；熟练掌握用相量法分析正弦稳态电路； 相量法——相量解析法。——相量图法仿照直流电阻电路的分析方法进行相量分析掌握电感、电容元件电压与电流的相位关系及与ω的关系；熟练掌握R、L、C元件的Z和Y；会求任意无源二端网络 的Z和Y。习题课（2）1、利用复数概念，将正弦量用相量表示，使正弦交流电路的分析计算，化为相量分析核心：用相量模型进行复数运算。2、阻抗或导纳虽然不是正弦量，也用复数表示，从而归结出相量形式的基尔霍夫定律和欧姆定律。以此为依据，使一切简单或复杂的直流电路的规律，原理、定理和方法都能适用于交流电路。3、交流电路的分析计算除了数值上的问题，还有相位问题。直流量与交流量区别。4、R、L、C元件在稳态时的相量形式为一个阻抗Z。牢记：L

C1j

CZ

j

L

Z

R(G)

R(G)5、无源二端网络相量模型等效为一个阻抗或导纳；有源二端网络等效为一个独立电压源与阻抗串联；或一个独立电流源与阻抗并联。

I

(i)

j

CL

j

LC

1U

I

时域模型

对

换

相量模型U

(u)

练习1:电路如图(a)，已知电感电流iL

(t)

2

cos10t

A解：1.作相量模型

j1

jC2L21L1L1

1j

C

10

0.1Z

j

L

j10

0.2

j2

Z

Z

j

L

j10

0.6

j6

1

0

A

1AI

试用相量法求电流i(t),电压uC(t)和uS(t)。LU

C

U

L

j

L2

I

j2

1

j2V2.

相量分析C

j1

j2

2

A

U

C1jω

C

II

I

I

1

2

1AL

CU

S

RI

j

L1I

U

C

3

(

1)

j6

(

1)

j2

3

j4

5

126.9

VS

u

(t)

5 2

cos(1