新高考数学通用版总复习一轮课件第二章第14讲函数模型及其应用

第14讲函数模型及其应用1.常见的几种函数模型(续表)2.三种函数模型性质比较递增慢x题组一走出误区1.(多选题)下列结论不正确的是()

A.函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大

B.“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻

C.幂函数增长比直线增长更快解析：A.当

x＝－1时，2－1<(－1)2.B.“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a·bx＋c.C.幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制.D.答案：ABCD题组二走进教材

2.(必修1P104例5改编)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A.118元B.105元C.106元D.108元

解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108，故选D.

答案：D

3.(必修1P107第2题改编)某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3km)，以后每1km价为1.8元(不足1km按1km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的()ABCD答案：B题组三真题展现

4.(2014年湖南)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p＋q

2B.(p＋1)(q＋1)－1 2解析：设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，答案：D

5.(2015年北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升

解析：因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量， 故耗油量V＝48升.而这段时间内行驶的里程数

s＝35600－35000＝600千米.

所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为

48600×100＝8升.故选B.答案：B考点1正比例、反比例和一次函数类的

实际问题自主练习

1.(2017年河北石家庄模拟)某种新药服用xh后血液中的残留量为y毫克，图2-14-1所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()图2-14-1A.上午10：00C.下午4：00B.中午12：00D.下午6：00

解析：当x∈[0，4]时，设y＝k1x，把(4，320)代入，得k1＝80.∴y＝80x.当x∈[4，20]时，设y＝k2x＋b.把(4，320)，(20，4<x≤8.∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.

答案：C

2.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/h时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为_________海里/h时，总费用最小.

解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96， 又当v＝10时，k×102＝6，解得k＝， 所以每小时的总费用y＝v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10

v时，当且仅当v＝960

v，即v＝40时等号成立.

故总费用最小时轮船的速度为40海里/h.

答案：40

函数的综合题型，解决这类问题首先考虑基本不等式，当基本不等式中等号不成立时要利用函数的单调性求最值，当然也可以利用导数求最值.考点2二次函数类的实际应用题师生互动

[例1]某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图2-14-2(1)；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2-14-2(2).(利润和投资单位：万元)(1)(2)图2-14-2(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

∴总利润y＝8.25万元. ②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元.

此时x＝16，18－x＝2. ∴当A，B两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为8.5万元.

【题后反思】二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值在区间的端点处取得.另外在实际的问题中，还要考虑自变量为整数的问题.

【考法全练】

某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝x－x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元C.43万元B.11万元

D.43.025万元

解析：设在A地销售x辆汽车，则在B地销售(16－x)辆汽车， ∴总利润y＝x－x2＋2(16－x)＝－x2＋x＋32＝

∵x∈[0，16]，且x∈N，∴当x＝10或x＝11时，总利润ymax＝43(万元).

答案：C考点3分段函数类的实际问题多维探究

[例2](全国百所名校大联考)某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x天(1≤x≤20，x∈N*)的销售价格

p＝50－|x－6|(元/千克)，第x天(1≤x≤20，x∈N*)的销售量q＝a＋|x－8|(千克)(a为常数)，且第7天销售该商品的销售收入为2009元. (1)求第10天销售该商品的销售收入是多少？

(2)这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？

解：(1)由已知得第7天的销售价格p＝49，销售量q＝a＋1.∴第7天的销售收入W7＝49×(a＋1)＝2009(元)⇒a＝40.所以，销售量q＝40＋|x－8|，所以，第10天的销售收入W10＝46×42＝1932(元)，(2)设第x天的销售收入为Wx，则当1≤x≤6时，Wx＝(44＋x)(48－x)＝44×48＋4x－x2＝44×48＋4－(x－2)2＝2116－(x－2)2，当x＝2时取最大值W2＝2116，当8≤x≤20时，Wx＝(56－x)(32＋x)＝56×32＋24x－x2＝1936－(x－12)2，当x＝12时取最大值W12＝1936.

由于W2>W7>W12，∴第2天该商品的销售收入最大.

【题后反思】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值的取舍，构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏.【考法全练】

1.个人每次取得的稿费定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额.每次收入不超过4000元的，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：

(1)每次收入不超过4000元的，应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)；(2)每次收入在4000元以上的，应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%).已知某人出版一份书稿，共纳税280元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元.解析：由题可知，当纳税280元时，代入第一个计算公式中，可得280＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)，此时每次收入额为2800元，∵2800<4000，∴满足题意.而代入到第二个计算公式中，得到280＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)，此时每次收入额为2500元，∵2500<4000，∴不满足题意，舍去.答案：2800

2.(2020年大数据精选模拟卷)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量

无害.

图2-14-32­14­3所示)实验表明，当药物释放量y＜0.75(mg·m－3)对人体

(1)k＝________；

(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间.

答案：(1)2

(2)40

⊙指数函数、对数函数模型

[例3](1)(2017年北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数Nlg3≈0.48)A.1033

53

73

93

答案：D

(2)(2020年新高考Ⅰ)设基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()(ln2≈0.69)A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天解析：因为R0＝，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝－1 6＝， 所以I(t)＝ert＝et， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，故选B.答案：B，其中K为最大确诊病例数.当I(t*)＝K时，标

【高分训练】

1.(2020年全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝1＋e－(t－53)

K志着已初步遏制疫情，则