第一型曲线积分

第一型曲线积分第1页，课件共22页，创作于2023年2月一．第一型曲线积分的定义上的连续函

是定义在设某物体的密度函数数当是直线段时,应用定积分就能计算得该物体

的质量.现在研究当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.(2)近似求和：在每一个上任取一点由于

(1)分割：把分成个可求长度的小曲线段

第2页，课件共22页，创作于2023年2月上的连续函数,故当的弧长都很小时,

每一小段的质量可近似地等于其中

为小曲线段的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式(3)当对的分割越来越细密(即)

时,上述和式的极限就应是该物体的质量.由上面看到,求物质曲线段的质量,与求直线段的质第3页，课件共22页，创作于2023年2月量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义.个可求长度的小曲线段的弧长,它把定义在上的函数.对曲线做分割分成记为分割的细度为在上任取一点若有极限为平面上可求长度的曲线段,定义1设为第4页，课件共22页，创作于2023年2月且的值与分割的取法无关,则称此极限为上的第一型曲线积分,记作为空间可求长曲线段,

若为定义在上

的函数,则可类似地定义在空间曲线上

的第一型曲线积分,并且记作于是前面讲到的质量分布在曲线段上的物体的质

第5页，课件共22页，创作于2023年2月量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.1.若在为

常数,

则也存在,且2.若曲线段由曲线首尾相接而成,

都存在,则

也存在,且第6页，课件共22页，创作于2023年2月3．都存在,且在

则4．也存在,

且第7页，课件共22页，创作于2023年2月5．存在,的弧长为则存在常数

使得6.第一型曲线积分的几何意义为L若为坐标平面上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义,易见以为准线,母线平行于轴的柱面上截取

第8页，课件共22页，创作于2023年2月的部分的面积就是第9页，课件共22页，创作于2023年2月二．第一型曲线积分的计算定理20.1

设有光滑曲线为定义在上的连续函数,则证由弧长公式知道,上由的弧长的连续性与积分中值定理,有第10页，课件共22页，创作于2023年2月所以这里则有第11页，课件共22页，创作于2023年2月令现在证明因为复合函数连续,所以在闭区

间上有界,即存在常数使对一切

都有第12页，课件共22页，创作于2023年2月再由上连续,所以它在上一致连续,即对任给的使当时,从而所以第13页，课件共22页，创作于2023年2月因此当在(4)式两边取极限后,即得所要证的(3)式.上有连续的导函数时,(3)式成为再由定积分定义当曲线由方程表示,且在第14页，课件共22页，创作于2023年2月上有连续导函数时,(3)式成为例1设是半圆周试计算第一型曲线积分解当曲线L由方程表示,且在第15页，课件共22页，创作于2023年2月例2

一段(图20-2),试计算第一型曲线积分解

由参

仿照定理20.1,对于空间曲线积分(2),当曲线量方程表示时,第16页，课件共22页，创作于2023年2月其计算公式为:例3计算其中为球面被平面所截得的圆周.解由对称性知所以第17页，课件共22页，创作于2023年2月*例4计算其中为内摆线解由对称性知第18页，课件共22页，创作于2023年2月其中*例5求圆柱面被圆柱面所

而内摆线的参数方程为因此第19页，课件共22页，创作于2023年2月包围部分的面积A.

解图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分,它的面积为把平面上的位于第一象限的四分之一圆周记为,则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线L为准线母线平行于z积分的几何意义可知它的面积为的那部分柱面.由第一型曲面轴的第20页，课件共22页，创作于2023年2月L的参数方程为:因此,定义,线密度为的曲线状物体对于x,