非确定型建模方法-统计建模方法1统计检验法1参数估计

第四章非确定型建模方法从数学的角度看，地理现象可分为两大类，即确定现象和非确定现象。确定现象是指事先可以预言的现象，即在准确地重复某些条件下，结果总是肯定的。如，水被加热到100℃便会沸腾。非确定现象，又包括随机现象和模糊现象，二者的共同特点是不确定性。随机现象是指事件的结果不确定，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。研究这类现象的数学工具是概率论与数理统计。模糊现象是指事物本身的含义不确定的现象。如，资源“丰富”与“贫乏”，天气“好”与“坏”等。研究这类现象的数学工具是模糊数学。本章主要针对非确定现象，结合有关实例，探讨运用统计学和模糊数学等知识建立地理模型的有关方法。本章内容：经典统计建模方法空间统计建模方法地统计建模方法模糊数学建模方法

4.1经典统计建模方法建立在概率论与数理统计基础上；适用于对各种随机现象、随机过程和随机事件的处理；由于所有的地理现象、地理过程和地理事件都具有一定的随机性，故统计分析方法是现代地理学中最基本和不可缺少的一类数学方法。

统计检验法相关分析法回归分析法时间序列分析法系统聚类分析法主成分分析法马尔可夫预测法趋势面分析法统计检验法参数估计与检验应用实例参数估计参数估计的一般问题一个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计样本容量的确定参数估计是推断统计的重要内容之一，它是在抽样及抽样分布的基础上，根据样本统计量来推断我们所关心的总体特征。统计推断的过程样本总体样本统计量如：样本均值、方差总体均值、方差等即：参数估计统计分布参数估计的一般问题一、估计量与估计值二、点估计与区间估计三、评价估计量的标准估计量：用于估计总体参数的随机变量。如样本均值，样本比率、样本方差等例如:样本均值就是总体均值

的一个估计量。参数用

表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值。如果样本均值

x

=80，则80就是

的估计值。一、估计量与估计值参数估计的方法:点估计（pointestimate）区间估计（intervalestimate）二、（1）点估计1、用样本的估计量直接作为总体参数的估计值。例如，用样本均值直接作为总体均值的估计。抽查了几块地的有机质含量得其平均含量为2.3%，由此推断该地区土壤有机质含量为2.3%。2、由于没有给出估计的概率保证程度，故，少用。点估计完全正确的概率通常为0。因此，我们更多的是考虑用样本统计量去估计总体参数的范围

区间估计。二、（2）区间估计含义：在点估计的基础上，估计总体参数的区间范围，并给出区间估计成立的概率值。其中：1-α(0<α<1)称为置信度或置信水平，即置信概率。它表明将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例。

1、2分别为参数

的1-α下置信限和上置信限。≤1，≥2

称为舍弃域，如图。α是区间估计的显著性水平；常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的

α为0.01,0.05,0.101-αα/2α/20

1

2置信区间舍弃域舍弃域置信区间

我们用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为60-80分，如何理解？错误的理解：60-80区间以95%的概率包含全班同学平均成绩的真值；或以95%的概率保证全班同学平均成绩的真值落在60-80分之间。正确的理解：如果做了多次抽样（如100次），大概有95次找到的区间包含真值，有5次找到的区间不包括真值。真值只有一个，一个特定的区间“总是包含”或“绝对不包含”该真值。但是，用概率可以知道在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值。如果还是不好理解，那最好这样回答有关区间估计的结果：该班同学平均成绩的置信区间是60-80分，置信度为95%。置信区间与置信水平样本均值的抽样分布(1-

)%区间包含了

%的区间未包含

1–aa/2a/2区间估计的图示

x95%的样本

-1.96

x

+1.96

x99%的样本

-2.58

x

+2.58

x90%的样本

-1.65

x

+1.65

x三、评价估计量的标准无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。，称为

的无偏估计量。P(

)BA无偏有偏偏差总体样本有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

AB

的抽样分布

的抽样分布P(

)

1（样本1）的方差小于

2（样本2）的方差一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)一个总体参数的区间估计一、总体均值的区间估计二、总体比率的区间估计三、总体方差的区间估计总体参数样本统计量均值比率方差一、总体均值的区间估计1、假设条件：总体服从正态分布，且已知；如果不是正态分布，可由正态分布来近似（大样本，n≥30）。

当置信度为1-α，则µ的置信区间为：式中为标准正态分布的右侧临界值（可查表得到）。通常称为抽样标准误差（简称抽样误差），称为误差范围或误差极限（△）。

例题1：根据以往的资料，土壤中磷的含量服从正态分布。现对某地土壤进行采样调查，测得9个土壤样品中磷的平均含量为364.3ppm，已知该地土壤中磷含量的总体标准差为99.8ppm，试估计该地区土壤中磷平均含量的95%和99%置信区间。解：本例题中=364.3，=99.8，=1.96，=2.58。1-α=0.95时，µ的置信区间为（364.3-1.96×99.8/91/2，364.3+1.96×99.8/91/2）=（299.1，429.5）。1-α=0.99时，µ的置信区间为（364.3-2.58×99.8/91/2，364.3+2.58×99.8/91/2）=（278.5，450.1）。即该地区土壤中磷平均含量的95%置信区间为299.1—429.5ppm；99%置信区间为278.5—450.1ppm。在报告结束时，可将点估计和区间估计同时写出，如本例95%和99%的置信可分别写成364.3（299.1，429.5）ppm、364.3（278.5，450.1）ppm。

在实际应用中，我们可以利用Excel得到总体方差已知的总体均值的置信区间。方法1：应用Excel的统计函数中的“NORMSINV”（临界值函数）、“AVERAGE”函数分别计算Zα/2和，然后按前式求出置信区间。

注意：利用统计函数NORMSINV（probability）计算临界值时，参数应设为probability=1-α/2。方法2：应用Excel的统计函数中的“AVERAGE”函数和“CONFIDENCE”（信度）函数分别计算和，然后按前式求出置信区间。2、正态总体，且总体方差未知、样本容量较小（n<30）时，置信度1-α，则µ的置信区间为（应用t分布进行区间估计）：式中，为t分布的右侧临界值。通常称为抽样标准误差，称为误差范围。注意：（1）当总体为正态分布且方差未知，但样本容量很大时（n≥30），t分布与标准正态分布非常接近，可直接从标准正态分布表查临界值，即用代替进行简便计算。总体均值µ的置信区间为：例题2对某地土壤酸碱度PH值进行测定，以决定种植作物的种类。共抽取7个地块，其PH值分别为5.4、5.8、6.0、6.2、4.9、5.5、6.3。要求以0.99的概率估计该地区土壤PH值对水稻的适应性。解：

n=7<30，属于小样本。土壤PH值应为正态分布，因而具有应用小样本估计的条件。查t分布表，当α=1-0.99=0.01，f=7-1=6时，t=3.707，所以，PH值的置信区间为：专业知识告诉我们，水稻生长适宜的土壤PH值为5.0—6.5之间，由此可以断定从土壤PH值看该地区是适宜种植水稻的。注意：（2）当总体不是正态分布但样本容量n足够大时，其总体均值µ的置信区间为：方差已知方差未知

在实际应用中，我们可以利用Excel得到总体方差未知的总体均值的置信区间。方法1：应用Excel的统计函数中的“TINV”（临界值）、“AVERAGE”和“STDVE”（样本标准差）函数分别计算tα/2(n-1)、和S的值，然后按前式求出置信区间。

注意：利用统计函数TINV（probability，deg-freedom）计算临界值时，参数应设为probability=α，deg-freedom=n-1。方法2：应用Excel的分析工具库中的“描述统计”工具和前式得到置信区间。

注意：“描述统计”结果中的“平均”是指“平均数”，“置信度”是指“误差范围”，“标准误差”是指“抽样标准误差”。二、总体比例的区间估计

当样本容量n很大（一般要求np≥5，n(1-p)≥5）时，总体比例

在1-

置信水平下的置信区间为：三、总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布总体方差

2

的点估计量为s2,且4.总体方差在1-

置信水平下的置信区间为式中，和分别为分布的左临界和右临界值。总体方差的区间估计

(图示)

2

21-

2

总体方差1-

的置信区间自由度为n-1的

2分布f(x)

两个总体参数的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计二、两个总体比例之差的区间估计三、两个总体方差比的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数样本统计量均值之差比率之差方差比一、两个总体均值之差的估计

(大样本)1.

1２，

2２已知时，两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为

1２、

2２未知时，两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计

(小样本:

12=

22

)1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：

1２=

2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)2.总体方差的合并估计量3.两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为：

例题3

为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，选20块条件大致相同的地块进行对比试验．其中10块地施磷肥，另外10块地不施磷肥，得到单位面积的产量（单位：kg）如下：

施磷肥：620570650600630580570600600580

不施磷肥：560590560570580570600550570550设施磷肥的地块单位面积产量X~N(，)，不施磷肥的地块单位面积产量Y~N(，）．求的置信度为0.95的置信区间．

解由题设，两个正态总体的方差相等，但未知,m=10，n=10，=0.05，

=0.95，=600，=570，，，,查表得,因此,的置信度为0.95的置信区间为两个总体均值之差的估计

(小样本:

12

22

)两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为自由度1.假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的2.两个总体比例之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为二、两个总体比例之差的区间估计三、两个总体方差比的区间估计1.比较两个总体的方差比2.用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异总体方差比在1-

置信水平下的置信区间为两个总体方差比的区间估计

(图示)FF1-

F

总体方差比1-

的置信区间方差比置信区间示意图

在进行参数估计之前，首先应该确定一个适当的样本容量，也就是应该抽取一个多大的样本来估计总体参数。在进行估计时，总是希望提高估计的可靠程度。但在一定的样本容量下，要提高估计的可靠程度（置信水平），就应扩大置信区间，而过宽的置信区间在实际估计中往往是没有意义的。比如，我们要说某一天会下雨，置信区间并不宽，但可靠性相对较低。如果说第三季度会下一场雨，尽管很可靠，但准确性又太差，也就是置信区间太宽了，这样的估计也是没有意义的。样本容量的确定

如果想要缩小置信区间，又不降低置信程度，就需要增加样本容量，但样本容量的增加也会受到许多限制。比如，会增加调查的费用和工作量。因此，如何制定一个适当的样本容量，也是抽样估计中需要考虑的一个问题。估计总体均值时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定估计总体均值之差时样本容量的确定估计总体比率之差时样本容量的确定1、估计总体均值时样本容量n为2、样本容量n与总体方差

2、希望达到的边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为：与总体方差成正比与允许误差成反