圆的基础知识梳理

中小学1对1课外辅导专家PAGEPAGE5精锐教育网站：精锐教育学科教师辅导讲义（1）讲义编号学员编号：年级：初三课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：欧阳思顺课题圆专题复习（1）授课日期及时段教学目的理解圆的圆心、半径、直径、点与圆的位置关系，掌握圆的确定条件，理解圆的旋转不变形，能够根据条件画圆；2、复习巩固弧、圆心角、圆周角的概念，弧长公式、圆的周长和面积公式；3、理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念及四组量之间的关系；4、理解垂径定理，并掌握如何使用垂径定理及其推论。教学内容<一>圆的确定一、知识要点1、圆的定义（可以从轨迹的角度定义圆）2、点与圆的位置关系（注意点在直线内时；其中表示所研究的点到圆心的距离，表示圆的半径）。3、过不在同一直线上的三点确定一个圆（注意前提条件：不在同一直线上三点）结论：不在同一直线上的三点→确定一个三角形→确定一个圆4、多边形的外接圆，圆的内接多边形的概念（重点：外心的概念及其外心的确定方式）问题1：三角形的外心一定在三角形内吗？问题2：四点能确定一个圆应满足什么条件？二、知识应用题型一：点与圆的位置关系（1）在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以A为圆心、R为半径画⊙A，使点C在⊙A的内部、点B在⊙A的外部，那么半径R应满足的条件是（2）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以A为圆心画圆，若B，C，D三点中至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则⊙A的半径的取值范围是。题型二：圆的确定（1）经过一点作圆可以作个圆；经过两点作圆可以作个圆，这些圆的圆心在这两点的上；经过不在同一直线上的三点可以作个圆，并且只能作个圆。（2）已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（）A.0个B.1个C.2个D.无数个（3）下列命题正确的是（）A.三点确定一个圆B.圆有且只有一个内接三角形C.三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点D.三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点（4）下列命题中，错误的个数为（）=1\*GB3①平行四边形必有外接圆=2\*GB3②等腰三角形的外心一定在底边上的中线上；=3\*GB3③等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点；=4\*GB3④直角三角形的外心是斜边的中点。A.0个 B.1个 C.2个 D.3个（5）在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD有外接圆（填“一定”或“不一定”）<二>圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系一、知识要点1、圆的有关概念（圆心角、弧、优弧、劣弧、等弧、弦、弦心距等）2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（注意前提条件——在同圆或等圆中）注意：相等的弧与等弧之间的区别与联系二、知识应用题型：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）下列说法中，正确的是（）（A）如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧和弦也相等（B）如果两条弧的长度相等，那么这两条弧是等弧（C）如果两条弧所对的圆心角相等，那么这两条弧是等弧（D）在同圆或等圆中，弦相等所对的弧也相等（2）在两个圆中，如果有两条弦相等，那么这两条弦的弦心距的关系是（）（A）一定相等（B）一定不相等（C）不一定相等（D）一定互相平行（3）在⊙O，如果＝，那么弦与弦之间的长度关系是（）（A）弦等于弦的2倍（B）弦大于弦的2倍（C）弦小于弦的2倍（D）弦和弦的关系不定（4）过⊙O内一点M最长的弦为10，最短的弦长为8，则OM＝（5）已知点P到⊙O上所有点的距离中，最大距离是8，最小距离是2，那么⊙O的半径长等于（6）在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP＝_____。（7）在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，OM⊥CD，ON⊥AB，M、N是垂足，联结MN.如果AD弧等于BC弧，求证：△PMN是等腰三角形（8）如图，⊙O1和⊙O2是等圆，P是O1O2的中点，过点P作直线AD交⊙O1于A、B，交⊙O2于C、D，求证：AB＝CD<三>垂径定理一、知识要点1、圆的对称性（=1\*GB3①圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴；=2\*GB3②圆既是是旋转对称图形又是中心图形）注：对称轴是直线2、垂径定理（垂直于弦的直径平行这条弦，并且平分弦所对的弧）总结：垂径定理及其推论是指一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分另一条弦”④“平分另一条弦所对的劣弧”⑤“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论注：当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制二、知识应用题型：垂径定理的应用dr（1）下列判断中，正确的是（）（A）垂直于弦的直线必平分这条弦（B）平分弦的直径必垂直于这条弦（C）一个圆的圆心必在一条弦的垂直平分线上（D）垂直平分一条弦的线段必是直径（2）下列说法中，错误的是（）（A）圆的半径垂直于弦，必平分这条弦所对的弧（B）⊙O的半径OA，CD是过OA的中点的弦，则CD⊥OA（C）⊙O的半径OC平分圆心角∠AOB，则OC⊥AB（D）⊙O的直径AB平分弦CD所对的弧，则AB⊥CD（3）已知圆内接△ABC中，AB＝AC，圆心O到BC的距离为3cm，半径r＝7cm，则腰长AB为_________。（4）⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是，则∠BAC的度数为______。（5）在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为______。（6）如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于点M，CD＝15，OM：OC＝3：5，求弦AB的长（7）已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E。已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的长。EE（8）已知以O为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC＝BD.OOABCD（9）一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4ABEFMCDOABEFMCDO<四>直线与圆的位置关系一、知识要点1、直线与圆的位置关系（注意直线与圆相交时；其中表示圆心到直线的距离，表示圆的半径）。问题：直线与圆的位置关系有几种？每种位置关系对应的直线与圆的交点个数如何？什么是割线？什么是切线？2、切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）说明：应用判定定理，需同时满足以下两个条件：（1）过半径外端，（2）与这条半径垂直证明切线的方法：（1）如果已知直线过圆上某一点，则可作出这一点的半径证明直线垂直于该半径。即为“连半径证垂直得切线”。（2）若已知条件中未明确给出直线和圆有公共点时，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即为：“作垂直证半径得切线”。二、知识应用题型一：切线的判定定理（1）下列说法中，一定正确的是（）（A）切线与圆有公共点（B）与圆有公共点的直线是圆的切线（C）经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线（D）如果直线与圆不相切，那么就一定相交（2）下列命题中正确的个数是（）①与圆有一个公共点的线段是切线②到圆心的距离等于半径的直线是切线③垂直于圆的半径的直线是圆的切线④过圆直径的端点，垂直此直径的直线是切线（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个题型二：直线与圆的位置关系（1）已知直线，在直线上取一点P且与相切的圆有个（2）已知直线上一点P到⊙O的圆心的距离大于⊙O的半径，那么直线与⊙O的位置关系是（3）⊙O的直径是8，直线与⊙O相交，圆心O到直线的距离是，那么应满足的条件是（4）圆中最长的弦的弦长为10，如果直线与圆相交，设直线与圆心的距离为，那么的取值范围是（5）两个同心圆的半径分别为3、6，大圆的一条弦AB＝10，那么小圆和AB的位置关系是（6）等边△ABC的边长为2，以A为圆心，为半径作⊙A与边BC有两个公共点，那么的取值范围是（7）已知⊙O的半径长为10，直线上有一点到圆心O的距离正好等于10，那么直线与⊙O的位置关系是（8）在半径为5的⊙O中，点A与圆心O的距离为2，直线与点A的距离为3，那么直线与⊙O的位置关系是（9）⊙O的半径长为R，⊙O的一条弦AB的长也等于R，那么以O为圆心、为半径的圆与AB的位置关系是（10）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，以C为圆心、为半径作⊙C，当时，⊙C与直线AB相离；当时，⊙C与直线AB相切；当时，⊙C与直线AB相交（11）已知边长为10的正方形的两条对角线相交于点O，那么以O为圆心、6为半径的⊙O与正方形各边共有个公共点，要使⊙O与正方形各边仅有4个公共点，那么⊙O的半径长应为；要使⊙O与正方形各边都没有公共点，那么⊙O的半径的取值范围是；（12）如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上的一点，以M为圆心、2为半径作⊙M.若点M在OB边上运动，则当OM＝时，⊙M与OA相切（13）如图：AB是⊙O的弦，AB=12，PA切⊙O于A，PO⊥AB于C，PO=13。求PA的长。（14）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，点D在边BC上，过点A、D的圆的圆心O在边AB上=1\*GB3①求证：BC是⊙O的切线=2\*GB3②如果AC＝3，AB＝8，求⊙O半径的长（15）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝BO，D是AB的中点，联结OD.又在BA上取点C，使BC＝BO.=1\*GB3①说明以O为圆心、OD为半径的⊙O与直线AB的位置关系；=2\*GB3②第=1\*GB3①题中⊙O与边AO交于点E，联结CE.求证：直线CE是⊙O的切线（16）已知：如图⊙O的直径AB=4，以OA为直径作⊙O1，BD切⊙O1于点C，交⊙O于点D，连结AC、OC。=1\*GB3①求tan∠CAO的值，=2\*GB3②求BD的长。<五>圆与圆的位置关系一、知识要点1、圆与圆的位置关系注意：圆与圆内切时；圆与圆内含时；其中表示圆心距，表示圆的半径问题：圆与圆的位置关系有几种？每种位置关系对应的圆与圆的交点个数如何？什么是圆心距？什么是连心线？2、相交两圆的连心线的性质定理注意：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，而非两圆公共弦垂直平分连心线3、相切两圆的连心线的性质定理（相切两圆的连心线经过切点）二、知识应用题型一：已知半径及其圆心距，判定位置关系（1）已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是()A．内切B．外切C．相交D．相离（2）已知一个圆的半径为4，另一个圆的直径为6，而圆心距是5，那么这两个圆的位置关系是题型二：已知位置关系及其圆心距，求半径（1）两圆内切，其中一个圆的半径是5，两圆的圆心距为2，则另外一个圆的半径是（2）已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径是3，O1O2＝5，那么⊙O2的半径等于（3）已知两圆外离，圆心距为10，且小圆的半径为3，那么大圆的半径的取值范围是（4）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径为4，当两圆相交时，另一个圆的半径应满足的条件是，当两圆内含时，另一个圆的半径应满足的条件是.题型三：已知位置关系及其半径，求圆心距（1）直径分别为8与6的两个圆相切，这两个圆的圆心距是（2）已知两个相交圆的半径分别为8cm和5cm，公共弦长为6变式训练：已知⊙O1与⊙O2相交于点A、B，⊙O1的半径为15cm，⊙O2的半径为13cm，公共弦AB的长为求△AO1O2的面积题型四：确定符合条件的圆的个数（1）已知半径均为1cm的两圆外切，半径为2cm且和这两个圆都相切的圆共有（2）已知半径分别为1cm、3cm的两圆相外切，与这两个圆都相切的圆共有（3）已知半径分别为2、3的两个圆外切，如果半径为7的圆与这两个圆都相切，那么这样半径为7的圆共有个（4）已知半径为1的⊙O的圆心O到直线的距离为2，那么半径为3，既与⊙O相切，又与直线相切的圆共有个题型五：两圆连心线的性质定理（1）两个圆的圆心都在轴上，交点为A、B，已知点A的坐标为（-2，3），则点B的坐标为______。（2）如图,建筑工地的地面上有三根外径都是1米到地面的距离为______m.变式训练：如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成．点B、C分别是两个半圆的圆心，⊙A分别与两个半圆相切于点E、F，BC长为8米=AAEFlBC变式训练：如图，⊙A与⊙B的半径都是1，AB＝8，⊙A、⊙B都和⊙O外切，且这三个圆都和直线相切，求⊙O的半径<六>正多边形与圆一、知识要点1、正多边形及其有关概念：（正多边