高一立体几何总复习超经典

高一立体几何总复习超经典1.根据三视图，可以看出该几何体为长方体，底面长为3cm，宽为2cm，高为3cm。因此，该几何体的体积为18cm³，选项A为正确答案。2.根据三视图，可以看出该几何体为圆柱体，底面半径为2cm，高为4cm。因此，该几何体的体积为16πcm³，选项A为正确答案。6.根据三视图，可以看出该多面体为六棱柱，底面为正六边形，边长为2cm，高为3cm。因此，该多面体的体积为18cm³，选项C为正确答案。7.根据三视图，可以看出该多面体为正方体，边长为2cm。因此，该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为2cm，选项D为正确答案。8.根据三视图，可以看出该几何体为四棱锥，底面为正方形，边长为2cm，高为2cm。因此，该几何体的体积为8cm³，选项A为正确答案。9.根据三视图，可以看出该几何体为长方体，底面长为5cm，宽为4cm，高为2cm。因此，该几何体的体积为40cm³，选项D为正确答案。10.根据三视图，可以看出该几何体为正方体，边长为1cm。因此，该几何体的体积为1cm³，选项A为正确答案。11.根据三视图，可以看出该几何体为三棱柱，底面为等边三角形，边长为3cm，高为6cm。因此，该几何体的体积为27cm³，选项B为正确答案。12.根据三视图，可以看出该几何体为正四面体，边长为1cm。通过计算可得该正四面体的外接球半径为√2/2，因此外接球的体积为4π/3(√2/2)³=π/3，选项D为正确答案。13.根据三视图，可以看出该几何体为长方体，底面长为2cm，宽为1cm，高为1cm。因此，该几何体的体积为2cm³，选项A为正确答案。14.根据三视图，可以看出该几何体为正四面体，边长为1cm。因此，该四面体四个面中最大的面积为√3/4cm²，选项A为正确答案。15.根据三视图，可以看出该几何体为三棱锥，但只有三个视图同时表示该几何体，因此选项A为正确答案。17.根据三视图，可以看出该几何体为棱锥，底面为正方形，边长为6cm，高为4cm。因此，该几何体的体积为(1/3)×6²×4=72cm³，选项C为正确答案。19.根据三视图，可以看出该几何体为正方体，边长为2cm。通过计算可得该正方体的外接球半径为√3，因此外接球的表面积为4π(√3)²=48π，选项D为正确答案。20.根据三视图，可以看出该几何体为三棱锥，底面为等边三角形，边长为2cm，高为3cm。因此，该几何体的体积为(1/3)×2²×√3×3=4√3cm³，选项B为正确答案。21.根据三视图，可以看出该几何体为正方体，边长为2cm。因此，该几何体的体积为8cm³，选项A为正确答案。22.根据三视图，可以看出该几何体为正四面体，边长为2cm。因此，该四面体六条棱的长度中，最大的是2cm，选项B为正确答案。23.根据题目描述，四棱锥ABCD的棱长为2，因此四棱锥的高不可能大于2，而当四棱锥的高等于2时，四棱锥的体积最大。此时，四棱锥的底面为正方形，边长为√2，因此四棱锥的体积为(1/3)×√2²×2=2√2，选项A为正确答案。22.点A、B、C、D在同一球面上，且AB=BC=CD=1，则这个球的表面积为（）A．4π23.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为1/2，当AB+AD+A1A的值最小时，长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积为（）B．12π24.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为（）C．4π25.三棱锥ABC-D中，AD⊥平面BCD，AD=1，△BCD是边长为2的等边三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．3π26.如图，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）C．5π27.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（）A．32π28.已知三棱锥A-BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=√2，BC=2，CD=√3，则球O的表面积为（）D．8π例3.在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切），求小球的半径。解：设大球的半径为R，则容器的对角线长为2R，即2√3。由于小球与大球都与盖子相切，所以小球的半径为R/2。根据勾股定理，有R^2+(R/2)^2=(2√3/2)^2，解得R=√6/2，小球的半径为R/2=√6/4。例5.求边长为1的正四面体的外接球的表面积和内切球的体积。解：正四面体的高为√2/2，底面的面积为√3/4，底面的中心到顶点的距离为√2/3。因此，外接球的半径为√6/4，表面积为4π(√6/4)^2=3√3，内切球的半径为√2/4，体积为4/3π(√2/4)^3=π/6。1.不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形。存在点D，使CD与AB垂直并且相等。存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上。因此，真命题的序号是C.（改写后的句子：四面体ABCD不可能有三个面是直角三角形。但是，可以找到一个点D，使CD与AB垂直并且相等。也可以找到无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上。因此，正确的序号是C。）2.在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（+1，+∞）。（改写后的句子：如果在翻折过程中存在某个位置，使得直线AD与BC垂直，那么a的取值范围是（+1，+∞）。）22.平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=2，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是1/3。（改写后的句子：在平面四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=1，AD=2，∠ADC=90°。沿着直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是1/3。）23.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为1/2。（改写后的句子：三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°。因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为1/2。）24.正方体ABCD-A1B1C1D1，则命题①和②是真命题。（改写后的句子：正方体ABCD-A1B1C1D1。命题①和②是正确的命题。）1.空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3。(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0(a，b均为非零向量)。（改写后的句子：空间向量可以用坐标表示和进行运算。设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3。如果a∥b，那么a＝λb，其中λ∈R，a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3。如果a⊥b，那么a·b＝0，其中a，b均为非零向量。）1.向量的模、夹角和距离公式对于向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的模分别为|a|=a·a=a1+a2+a3，|b|=b·b=b1+b2+b3。它们的夹角cos〈a，b〉=a·b/|a||b|=2.2222(a1b1+a2b2+a3b3)/(|a||b|)。对于点A(a1,b1,c1)和点B(a2,b2,c2)，它们之间的距离dAB=|AB|=sqrt((a2-a1)^2+(b2-b1)^2+(c2-c1)^2)。2.立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定对于空间中的一条直线l和直线上的任意两点A、B，我们称向量AB为直线l的方向向量。与向量AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量。对于一个平面α，如果它有两个不共线的向量a、b，则我们可以求出它的法向量n，使得n·a=0，n·b=0。(2)用向量证明空间中的平行关系(①)如果直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2（或l1与l2重合）当且仅当v1∥v2。(②)如果直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α当且仅当存在两个实数x、y，使得v=xv1+yv2。(③)如果直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α当且仅当v⊥u。(④)如果平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α∥β当且仅当u1∥u2。(3)用向量证明空间中的垂直关系(①)如果直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2当且仅当v1⊥v2，即v1·v2=0。(②)如果直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α当且仅当v∥u。(③)如果平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β当且仅当u1·u2=0。3.距离的求法对于平面α和一点B，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d=|AB·n|/|n|。对于两条异面直线l1和l2，它们的公垂向量为n，C、D分别为l1、l2上任意一点，则它们之间的距离d=|CD·n|/|n|。2.1如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，E为C′D′的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为多少？解析：由于AE和BC不在同一平面上，所以无法直接求得它们所成的角的余弦值。可以利用向量求解。设向量$\overrightarrow{AE}=\vec{a}$，向量$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$，向量$\overrightarrow{AC}=\vec{c}$。则向量$\overrightarrow{BC}=\vec{b}+\vec{c}$。由向量的点乘公式可得：$$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$$又因为正方体的对角线BD是向量$\vec{b}+\vec{c}$的长度的两倍，所以有：$$|\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{2}|\vec{b}|=\sqrt{2}a$$其中$a$为正方体的边长。由向量的模长公式可得：$$|\vec{a}|\cdot|\vec{b}+\vec{c}|=\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})$$代入上式，可得：$$|\vec{a}|\cdot(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c})=\sqrt{2}a^2$$由于$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$为AE与AB所成的角，同理有$\vec{a}\cdot\vec{c}=|\vec{a}||\vec{c}|\cos\varphi$，其中$\varphi$为AE与AC所成的角。代入上式，可得：$$|\vec{a}|^2(\sqrt{3}+\cos\theta+\cos\varphi)=\sqrt{2}a^2$$又因为$|\vec{a}|=|\overrightarrow{AE}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{C'D'}|=\frac{1}{2}a$，所以有：$$\cos\theta+\cos\varphi=\frac{\sqrt{6}}{2}$$由余弦定理可知：$$\cos\theta=\frac{AE^2+AB^2-EB^2}{2\cdotAE\cdotAB}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。2.2如图所示，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点P在对角线BD′上，且∠PDA＝60°。求DP与CC′所成角的大小，以及DP与平面AA′D′D所成角的大小。解析：首先求DP与CC′所成角的大小。由于DP与CC′不在同一平面上，所以无法直接求得它们所成的角的大小。可以利用向量求解。设向量$\overrightarrow{DP}=\vec{a}$，向量$\overrightarrow{DC}=\vec{b}$，向量$\overrightarrow{DA}=\vec{c}$。则向量$\overrightarrow{CC'}=-\vec{c}$。由向量的点乘公式可得：$$\vec{a}\cdot(-\vec{c})=-\vec{a}\cdot\vec{c}$$又因为正方体的对角线BD是向量$\vec{b}+\vec{c}$的长度的两倍，所以有：$$|\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{2}|\vec{b}|=\sqrt{2}a$$其中$a$为正方体的边长。由向量的模长公式可得：$$|\vec{a}|\cdot|\vec{b}+\vec{c}|=\vec{a}\cdot(-\vec{c})$$代入上式，可得：$$|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}a^2}{3}$$由于$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$为DP与CC′所成的角，代入上式，可得：$$\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{3}$$所以DP与CC′所成角的大小为45°。接下来求DP与平面AA′D′D所成角的大小。由于平面AA′D′D与正方体的底面ABCD平行，所以可以在平面AA′D′D中取一条直线L与DP垂直，使得L与平面ABCD的交点为Q。则DP与平面AA′D′D所成角的大小等于直线L与平面AA′D′D所成的角的余弦值。由于平面AA′D′D与平面ABCD平行，所以直线L与平面ABCD的交点也