重难点07空间距离与体积问题（2种考法）（原卷版）

重难点07空间距离与体积问题（2种考法）【目录】考法1：距离问题考法2：体积问题二、命题规律与备考策略二、命题规律与备考策略一.求点到平面的距离的四步骤二、常见几何体体积的四种求法1.直接法求体积（也称公式法）直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到2.等体积法求三棱锥体积1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。3.多面体割补法求体积1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；（4）将台体补成锥体等等。【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。4.两部分体积比例法（转移法）利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。三、题型方法三、题型方法1．（2023•宝山区二模）四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．（1）求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）证明：OE∥平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．2．（2023•黄浦区二模）如图，多面体A1C1D1ABCD是由棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1沿平面A1BC1截去一角所得到在棱A1C1上取一点E，过点D1，C，E的平面交棱BC1于点F．（1）求证：EF∥A1B；（2）若C1E＝2EA1，求点E到平面A1D1CB的距离以及ED1与平面A1D1CB所成角的大小．3．（2023•奉贤区校级模拟）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折蟊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝．（1）求证：直线EC与平面ABD没有公共点；（2）求点C到平面BED的距离．4．（2023•徐汇区校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为AB中点，且．（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；（2）若点P在线段B1C上，且直线AP与平面A1CD所成角的正弦值为，求点P到平面A1CD的距离．5．（2022•宝山区二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E是棱AB上的点，AE＝2EB．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）求点C到平面D1DE的距离．6．（2022•闵行区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，E为棱BC的中点．（1）求证：ED⊥平面PAD；（2）若PD＝AD＝2，求点D到平面PBC的距离．7．（2022•宝山区模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是CC1的中点，过AP的平面与BB1，DD1分别交于Q，R，且BQ＝．（1）求异面直线PQ与AB所成角的大小；（2）求C1到平面AQPR的距离．8．（2023•嘉定区校级三模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，，E、F、G分别为AB、BC、C1D1的中点．（1）求三棱锥A﹣GEF的体积；（2）点P在矩形ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，求线段D1P长度的最小值．9．（2023•金山区二模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AA1＝2，D是AB的中点．（1）求直线CC1与DB1所成的角的大小；（2）求证：平面CDB1⊥平面ABB1A1，并求点B到平面CDB1的距离．10．（2023•杨浦区二模）四边形ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于O点，PA⊥平面ABCD，且二面角P﹣BC﹣A的大小为45°．（1）求点A到平面PBD的距离；（2）求直线AC与平面PCD所成的角．11．（2022•上海模拟）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形的棱柱）的底面边长为6，点M在边BC上，△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：点M为BC边的中点；（2）求点C到平面AMC1的距离．12．（2023•上海）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝3，AC＝4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；（2）求直线ME到平面PAB的距离．13．（2023•徐汇区校级三模）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝AD＝1，D1D＝CD＝2，AB⊥AD．（1）求证：BC⊥平面D1DB；（2）求点D到平面BCD1的距离．14．（2023•浦东新区校级三模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC＝BC，PA＝PB，且点C在以点O为圆心AB为直径的半圆AB上．（1）求证：AB⊥PC；（2）若AC＝2，且PC与平面ABC所成角为，求点B到平面PAC的距离．15．（2022•浦东新区二模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，点D是线段A1B1的中点．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）已知P为侧棱BB1的中点，求点P到平面BCD的距离．16．（2022•青浦区校级模拟）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，点P、Q分别为A1B1、BC的中点，C1Q与底面ABC所成的角为arctan2．（1）求异面直线PB与QC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点C与平面AQC1的距离．17．（2021•杨浦区校级三模）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧的中点．（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；（2）求点B1到平面PAC的距离．考法2：体积问题一、填空题1．（2022·上海黄浦·统考模拟预测）已知为球O的半径，过的中点M且垂直的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的体积为.2．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角.设四面体外接球的圆心为，则球的体积为.3．（2023·上海青浦·统考一模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的体积为．4．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积和球的体积的比值．5．（2022·上海·统考模拟预测）现将半径为1和2的小铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球内接正四面体的体积为.6．（2022·上海·统考模拟预测）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的内切球与外接球体积之比为7．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知直三棱柱的各棱长都相等，体积为18．若该三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为．二、解答题8．（2023·上海松江·校考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，．(1)求证：；(2)设与底面ABC所成角的大小为，求三棱锥的体积．9．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.

(1)求该圆锥的侧面积与体积；(2)求异面直线AB与CD所成角的大小.10．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点.

(1)若母线长为10，求圆锥的体积；(2)若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离.11．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）已知三棱锥，平面，PA=6，AC=4，，M，N分别在线段PB，PC上．

(1)若PB与平面所成角大小为，求三棱锥的体积V；(2)若平面，求证：平面12．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，是圆柱体的一条母线，过底面圆的圆心，是圆上不与、重合的任意一点，已知棱，，.

（1）求异面直线与平面所成角的大小；（2）将四面体绕母线旋转一周，求三边旋转过程中所围成的几何体的体积.13．（2020·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，四边形是圆柱的轴载面，，，以圆柱上底面为底面作高为的圆锥，、分别在、上，，.（1）求这个几何体的表面积和体积；（2）求二面角的余弦值.14．（2020·上海普陀·统考二模）某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架