6.4.1-6.4.2 平面向量的应用-(必修第二册)(教师版)

平面向量的应用1平面几何中的向量方法①由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.②用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.Eg点A、B、C、D不在同一直线上(1)证明直线平行或共线：(2)证明直线垂直：(3)求线段比值：ABCD(4)证明线段相等：2向量在物理中的应用①速度、力是向量，都可以转化为向量问题；②力的合成与分解符合平行四边形法则.【题型一】平面向量在几何中的应用【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.【证明】设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AO=OC,BO=OD∵∴AB=DC，即所以四边形ABCD是平行四边形即对角线互相平分的四边形是平行四边形.【点拨】①证明四边形是平行四边形⇔AB=DC且AB//DC⇔AB②证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.【典题2】已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD，求证AC2【证明】由|两式相加得|即A【点拨】利用|AB【典题3】用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.【证明】(分析设H是高线BE、CF的交点，再证明设H是高线BE、CF的交点，则有BH∵∴AH化简得AH⋅∴AH⋅(向量中证明AB⊥CD，所以三角形三条高线交于一点.【典题4】证明三角形三条中线交于一点.【证明】(分析设BE、AF交于O，证明C、OAF、CD、设BE、AF交于点∵点D是中点，∴连接EF，易证明∆AOB~∆FOE,且相似比是2：∴BO=2∴=∴CO=23CD(向量中证明三点A、B、∴AF、即三角形三条中线交于一点.巩固练习1(★★)如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB=1，CD=2，∠ABC=75°，∠BCD=45°，则线段EF的长是．【答案】7【解析】由图象，得EF→=EA∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，∴2EF∵∠ABC=75°，∠BCD=45°，∴＜AB∴|EF|=1∴EF的长为72故答案为722(★★)证明勾股定理，在Rt∆ABC中，AC⊥BC，AC=b【证明】由AB=AC即|故c3(★★)用向量方法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【证明】如图平行四边形ABCD对角线∵∴BC∴∴四边形ABCD是菱形.4(★★)用向量方法证明设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．【证明】因AD⊥BC，所以AD→因BD⊥AC，所以AC→于是AD→⋅AC所以AD→⋅AB即CD→⋅AB→=0，所以CD5(★★)用向量方法证明对角线相等的平行四边形是矩形.【证明】如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点设OA=a，∵对角线相等∵∴=∴AB⊥AD∴四边形ABCD是矩形.6(★★★)已知向量OP1→、OP2→、OP3→满足OP1→+O【证明】法一∵OP1→+OP2∴|OP1→|2+|OP2→|2+2OP又∵|OP1→|=|OP2→|=|∴|OP1→||OP2→|cos∠P1OP2=同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°．∴△P1P2P3为等边三角形．法二以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则OP1→=(x1，y1)，OP2→=(x2，y2)，由OP得x1+x由|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，得x12+y12=x22+y22∴2+2(x1x2+y1y2)=1∴|P1P=2(1−同理|P1P3→|=∴△P1P2P3为正三角形【题型二】平面向量在物理中的应用【典题1】如图，已知河水自西向东流速为|v0|=1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s【解析】如图，设OA=则由题意知v2=v根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|OB则在直角△OAC中，|vtan∠AOC=31=3，又(2)由题意知α=∠OCB=π2，且则在直角△OBC中，v1=OB=O又∠AOC∈(0,π2)则β=π答(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v【点拨】注意平行四边形法则的使用！【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0,π]；③当θ=π2时，|F1|=|G|其中正确结论的序号是．【解析】对于①，由|G所以G2解得|F由题意知θ∈(0,π)时，y=cosθ单调递减，所以|F即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．对于②，由题意知，θ的取值范围是(0,π)，所以②错误．对于③，当θ=π2时，|F1|对于④，当θ=2π3时，|F1|综上知，正确结论的序号是①④．故答案为①④．【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【解析】如图，设木板对球的支持力为N，则N=设绳子的拉力为f．又AC=20cosα，由动力矩等于阻力矩得|f∴|∴当且仅当cosα=1−cosα即cosα=12，亦即α=60°时，巩固练习1(★★)一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为．【答案】210【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为vAC大小为|vAC→|=|v船→+2(★★)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1,F2，且F1【答案】20【解析】如图，∵|F∴|F∴物体的重力大小为20．故答案为20．3(★★)已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．【答案】53【解析】如图，设AD→表示船垂直于对岸的速度，AB→表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则在Rt△ABC中，∠CAB=30°，|AD→|=|BC∴|AC→|=|BC故船实际航行速度的大小为10km/ℎ，水流速度53km/ℎ．4(★★)一个物体受到同一平面内三