2-1 命题、定理、定义（4大题型）（解析版）

2.1命题、定理、定义一、命题1、命题概念：在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。【注意】（1）不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题；（2）只有能够判断真假的陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题；3、命题的分类：命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题。（1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等；（2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可；（3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。4、判断一个命题真假的方法：在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可；而要书名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。二、命题的结构形式1、命题的一般形式：“若，则”，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论。2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式.三、公理、定理、定义1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。2、定理：已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使用。3、定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别题型一命题的概念理解【例1】（2022秋·高一课时练习）下列语句是命题的是（）A．是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．是一次函数吗D．【答案】B【解析】对于A，“是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误；对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确；对于C，“是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误；对于D，“”无法判断真假，不是命题，D错误.故选：B.【变式1-1】（2023·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（）A．①②③B．①④⑤C．②③⑥D．①③【答案】D【解析】命题是能判断真假的陈述句，由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，②④无法判断真假，故不是命题，①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，故选：D【变式1-2】（2022·高一课时练习）给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】命题是指可以判断真假的陈述句，所以②⑥是命题，①不能判断真假，不是命题；③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；④是祈使句，不是命题；⑤是感叹句，不是命题．故选：A【变式1-3】（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（）A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思【答案】A【解析】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题；对于B选项，“春来发几枝”是疑问句，不是命题；对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题；对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题.故选：A.【变式1-4】（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）下列语句①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格③2不是素数④0是自然数其中是命题的语句的序号有___________.【答案】③④【解析】因为可以判断真假的陈述句为命题，所以①为疑问句，不是命题；②不能判断真假，不是命题；③为假命题；④为真命题；所以是命题的语句的序号有③④.故答案为：③④.题型二命题的结构形式【例2】（2022·江苏·高一专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（）A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边【答案】A【解析】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”.故选:A.【变式2-1】（2022秋·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式．（1）6是12和18的公约数；（2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根；（3）平行四边形的对角线互相平分．【答案】答案见解析【解析】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数．（2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根．（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分.【变式2-2】（2022秋·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）绝对值相等的数也相等；（2）矩形的对角线相等；（3）角平分线上的点到角两边的距离相等；（4）两角分别相等的两个三角形相似.【答案】答案见解析．【解析】（1）条件是：两个数的绝对值相等，结论是：它们相等．“若p，则q”的形式：若两个数的绝对值相等，则它们也相等；（2）条件是：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论是：这两条线段相等，“若p，则q”的形式：若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等；（3）条件是：平面上的点在一个角的角平分线上，结论是：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式：若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等；（4）条件是：两个三角形的两个角分别相等，结论是：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似．【变式2-3】（2022秋·全国·高一专题练习）写出下列命题的条件和结论.（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；（3）若a，b都是偶数，则是偶数；（4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；（5）若，则；（6）若，则方程有实数解.【解析】（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；条件：两个三角形相似；结论：两个三角形的对应角相等.（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；条件：四边形是平行四边形；结论：四边形的对角相等.（3）若a，b都是偶数，则是偶数；条件：a，b都是偶数；结论：是偶数.（4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同.条件：两个实数的积为正数；结论：两个实数的符号相同.（5）若，则条件：；结论：.（6）若，则方程有实数解.条件：；结论：方程有实数解.题型三命题的真假判断【例3】（2022秋·高一课时练习）有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；②若，则；③空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（）A．个B．个C．个D．个【答案】B【解析】对于①，不是所有人都喜欢吃苹果，原命题为假命题；对于②，若，则，即，原命题为真命题；对于③，空集不是空集的真子集，原命题为假命题.故选：B.【变式3-1】（2022秋·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考开学考试）下列命题中，真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】D【解析】对于A,如图,四边形中,,但对角线互相垂直,所以A错误;对于B,菱形的对角线互相垂直且平分,所以B错误;对于C,等腰梯形的对角线相等,所以C错误;对于D,根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以D正确.故选:D.【变式3-2】（2022秋·江苏连云港·高一统考期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意；、假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程的两个根分别为和，此时命题丁为假命题；综上，只有命题乙为假命题，符合题意.故选：B.【变式3-3】（2022秋·江苏扬州·高一期末）下列命题中的真命题是（）A．B．集合中最小的数是1C．的解集可表示为D．【答案】A【解析】显然成立，故A正确；集合中最小的数是0，故B错误；根据集合元素的互异性可知C错误；当或时，显然不成立，故D错误.故选：A【变式3-4】（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（）①是一元二次方程；②函数的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①中，当时，是一元一次方程，①错误；②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；③中，互相包含的两个集合相等，③正确；④中，空集不是本身的真子集，④错误．故选：B题型四由命题的真假求参数【例4】（2023·江苏·高一假期作业）若和或都是假命题，则的范围是__________【答案】【解析】若为假命题，则有或若或是假命题，则所以的范围是即的范围是胡答案为：【变式4-1】（2023·江苏·高一假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是_______．【答案】或【解析】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解；②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为．综上可得当或时，方程有实数解．故答案为：或【变式4-2】（2022·江苏·高一专题练习）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是_________.【答案】且.【解析】解析由题意知,解得：且.故答案为：且.【变式4-3】（2022秋·全国·高一专题练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根；（1）若p为