微积分第4章d4 1微分中值定理

§4.1

微分中值定理一、费马定理二、罗尔中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理一、费马定理1、函数极值若f

(x)在Od

(x0

)有定义,若对"x

˛

Od

(x0

)有f(x)‡f

(x0

)(或f

(x)£

f(x0

)),则称f(x0

)是f(x)的一个极小（大）值,此时称x0为极小（大）值点极大值和极小值统称为极值，取得极值的点统称为极值点2、费马定理（可导极值点必要条件）（1）定理若f(x)在x0可导,且x0为极值点,则必有f

¢(x0

)=0设x0为f

(x)的极大值点(极小值点类似处理),则（2）证明$d

>0,使得当x

˛

Od

(x0

)时有f

(x)£

f

(x0

)0\当x

<x0时,有0f

(x)

-

f

(x

)‡

0x

-

x000f

(x)

-

f

(x

)当x

>x

时,有£

0x

-

x因此依函数在该点的可导以及函数极限的保号性有000

-

00f

(x)

-

f

(x

)‡

0xfi

x-f

¢(x

)

=

f

¢(x

)

=

limx

-

x00f

¢(x0

)

=

f+¢(x0

)0f

(x)

-

f

(x

)£

0xfi

x+=

limx

-

x\

f

¢(x0

)

=

0（3）定理中应注意的问题①称f

¢(x0

)=0的点x0为f

(x)的驻点或稳定点②定理条件中f

(x)在x0可导不能省略,如f

(x)=x

在x

=0处有极小值,但f

(x)在x

=0处不可导③f

¢(x0

)=0

f

(x)在x

=x0处有平行于x轴的切线(

k切线=f

¢(x0

)=0)④定理仅是必要而不充分的条件，如f

(x)=x3在x

=0处有f

¢(0)

=0,但x

=0不是极值点,因为f(x)=x3在(-¥

,+¥

)严格单调递增⑤若有f

¢(x0

)„0,则x0一定不是极值点二、罗尔(Rolle)中值定理1、定理设f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有f

(a)=f(b),则$V

˛

(a,b),使得f

¢(V)=02、证明

f

(x)在[a,b]上连续\f(x)在[a,b]上存在最大值M

和最小值m(1)若M

=

m,则f

(x)

=

C(常数),\

f

¢(x)

=

0即[a,b]上任一点均满足定理结论,因而此时结论成立(2)若M

>

m,

f

(a)

=

f

(b),\M

和m至少有一个是在(a,b)内某点V处取得,而f

(x)在(a,

b)内可导,

可导的最值点肯定是极值点\依费马定理知:$V

˛

(a,b),使得f

¢(V)=03、定理中应注意的问题①定理是充分而不必要的结论，因此有些函数虽不满足定理的条件，也有定理的结论。如f

(x)=sin

x在[1,2]上②几何意义满足条件的函数曲线y

=f

(x)在(a,b)中至少有一条平行于x轴的切线③定理的三个条件缺一不可，否则结论可能不成立XOYXOYXOYabaabbx0x0不可导b点间断f

(a)

„

f

(b)4、应用举例例1证明方程sin

x

+x

cos

x

=0在(0,p

)内必有实根证明：令F

(x)=x

sin

x,x

˛

[0,p

],则有F

(x)在[0,p

]连续可导,且有F

(0)

=F

(p

)=0\

$x

˛

(0,p

),

F

¢(x)

=

sin

x

+x

cosx

=

0所以方程sin

x

+x

cos

x

=0在(0,p

)内必有实根例2

设f

(x)在(a,

b)内二阶可导,

若f

¢(x)

>

0,

x

˛

(a,

b),则f

(x)在(a,b)内至多有一个驻点证明：用反证法证明设f

(x)在(a,b)内有两个驻点x1

,x2

,且x1

<x2则有f

¢(x1

)

=

f

¢(x2

)

=

0而f

¢(x)在[x1,

x2

] [a,b]上可导\$x

˛

(x1

,x2

)

(a,b),使得f

¢(x)=0这与已知的f

¢(x)>0,x

˛

(a,b)矛盾所

以

f

(

x

)

在

(

a

,

b

)内

至

多

有

一

个

驻

点三、拉格朗日(Lagrange)中值定理1、定理设f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则b

-

a$x

˛

(a,b),使得f

¢(x)=

f(b)-f

(a)2、证明：作辅助函数F

(x)

=

f

(x)

-

f

(b)

-

f

(a)

(x

-

a)b

-

a

f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导\F

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有F

(a)

=

f

(a),

F

(b)

=

f

(a)\

F

(a)

=

F

(b)\$x

˛

(a,b),使得F

¢(x)=0,b

-

a而F

¢(x)=f

¢(x)-

f

(b)-f

(a)\

f

¢(x)

=

f

(b)

-

f

(a)b

-

a3、定理中应注意的问题定理中的两个条件缺一不可当f

(a)=f

(b)时,即为罗尔定理,是罗尔定理的推广（3）几何意义满足条件的函数在(a,b)内必至少存在一条平行于两端点连线的切线=

f

(b)

-

f

(a))AB(

A(a,

f(a)),

B(b,

f

(b)),\

kb

-

aXBYOabA

(a,

f

(a))(b,

f

(b))（4）变形形式①f

(b)

-

f

(a)

=

f

¢(x)(b

-

a),x

˛

(a,

b)b

-

a令q

=x

-

a

,②\

q

˛

(0,1),x

=

a

+q(b

-

a)\

f

(b)

-

f

(a)

=

f

¢(a

+q(b

-

a))(b

-

a),q

˛

(0,1)

x

˛

(a,

b)再令b

=a

+h,则有f

(a

+h)-f

(a)=f

¢(a

+qh)h,q

˛

(0,1),

h

=

b

-

a③4、应用举例例3设f

(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明:$x

˛

(0,1),使得f

(1)=2x

f

(x)+x2

f

¢(x)证明：令F

(x)=x2

f

(x),则F

(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导\$x

˛

(0,1),使得F

(1)-F

(0)

=F

¢(x)而F

¢(x)=2xf

(x)+x2

f

¢(x)\

f

(1)

=

2x

f

(x)

+x2

f

¢(x)例4设f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有f

¢(x)=0,x

˛

(a,b),证明f

(x)在[a,b]上是常数证明：对"x1,x2

˛

(a,b),则f(x)在x1与x2之间连续可导\$x在x1与x2之间,使得f

(x2

)-f

(x1

)=f

¢(x)(x2

-x1

)而f

¢(x)

=

0,

x

˛

(a,

b),\

f

¢(x)

=

0

\

f

(x2

)

=

f

(x1

)依x1与x2的任意性知f

(x)=C(常数)注：依本题结论有f

¢(x)

=

g¢(x)

f

(x)

=

g(x)

+

C例5设f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有f

¢(x)>0,x

˛

(a,b),则f

(x)在[a,b]上严格单增证明：取"x1

,x2

˛

[a,b],且设x1

<x2

,则f

(x)在[x1

,x2

]连续可导\$x

˛

(x1,x2

),使得f

(x2

)-f

(x1)=f

¢(x)(x2

-x1)而f

¢(x)

>

0,

x

˛

(a,

b),\

f

¢(x)

>

0

\

f

(x2

)

>

f

(x1

)\依x1

,x2的任意性知,f

(x)在[a,b]上严格单增类似地有若f¢(x)<0,则f

(x)在[a,b]上严格递减例6

证明不等式<

ln(1+

x)

<

x,

x

>

01+

xx证明：

f

(x)=ln(1+x)在[0,+¥

)连续可导,\对"x

>0,在[0,x]上使用拉格朗日中值定理有f

(x)

-

f

(0)

=

f

¢(qx)x,q

˛

(0,1)即ln(1+x)=,q

˛

(0,1)1+qxxx

x1+

x

1+qx<

x而

<=

ln(1+

x)

<

xx

x\<1+

x

1+qx例7设f

(x)在[0,d](d

>0)上连续,在(0,d)内可导,若xfi

0+lim

f

¢(x)=A,证明:f

(x)在x

=0点右可导,且f+¢(0)=A证明：当x

˛

(0,d)时,依拉格朗日中值定理有f

(x)

-

f

(0)

=

f

¢(qx)x,q

˛

(0,1)即

f

(x)-f

(0)

=f

¢(qx),q

˛

(0,1)x又

0

<qx

<x,\x

fi

0+x

=qx

fi

0+xxfi

0+xfi

0+xfi

0+\

lim

f

(x)

-

f

(0)

=

lim

f

¢(qx)

=

lim

f

¢(x)

=

A四

柯西(Cauchy)中值定理1

定理：设f

(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g

(x)„0,x

˛

(a,b)则$x

˛

(a,

b),

使得

f

(x)

=

f

(b)

-

f

(a)g(b)

-

g(a)g¢(x)2证明：

g

(x)„0,\g(b)-g(a)=g

(h)(b

-a)„0,a

<h

<b则F

(x)在[a,b]上满足Rolle定理的条件,\$x

˛

(a,b),使F

(x)=0g(b)

-

g(a)\做辅助函数F

(x)=f

(x)-

f

(b)-f

(a)

[g(x)-g(a)],F

(a)=F

(b)=f

(a)g(b)

-

g(a)即f

¢(x)-

f

(b)-f

(a)

g¢(x),g¢(x)„0,\

f

¢(x)

=

f

(b)-f

(a)g¢(x)g(b)

-

g(a)3

说明：证明时不能分别对f

(x)与g

(x)采用Lagrange

中值定理f(b)

-

f(a)

=

f

¢(x)(b

-

a),x

˛

(a,

b),g(b)

-

g(a)

=

g¢(x)(b

-

a),x

˛

(a,

b)两式相除得出,因为两式中的x不一定相同,所以不能相除得出(2)当g(x)=x时,即为Lagrange中值定理,是其推广（3）变形形式：

f

(a

+

q

(b

-

a))

=

f

(b)

-

f

(a)

,q

˛

(0,1)g

(b)

-

g

(a)g

¢(a+

q

(b

-

a))（4）几何意义：与Lagrange中值定理的几何意义相似设曲线C的方程为：x=

g(t)y

=

f

(t)t

˛

[a,

b]端点坐标为A(g(a),f

(a)),B(g(b),f

(b)),\$x

˛

(a,b),x对应的点P(g(x),f

(x)),使过点P的切线斜率

f

¢(x)

与AB弦的斜率相等,即在(a,b)内曲线C存在平行

g¢(x)于弦AB的切线=

f

(b)

-

f

(a)g(b)

-

g(a)AB\

k而dy

=f

¢(t),dx

g¢(t)A(g(a),

f

(a))B(g(b),

f

(b))P(g(x),

f

(x))g(a)g(x)g(b)YOX4

应用举例例8若f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明:$x

˛

(a,b),使得ea

-

eb-

e-x

e-b

-

e-aea+b[

f

(b)

-

f

(a)]

=

(eb

-

ea

)ex

f

¢(x)证明：令g(x)=e-x

,则g¢(x)„0,\f

(x),g(x)满足cauchy中值定理的条件\

$x

˛

(a,

b),

使得

f

(x)

=

f

(b)

-

f

(a)

=

f

(b)

-

f

(a)

ea+b所以ea+b[

f

(b)

-

f

(a)]

=

(eb

-

ea

)ex

f

¢(x)例9

设f

(x)在[a,

b]上连续可导,

在(a,

b)内二阶可导,证明:对"x˛

(a,b],$x˛

(a,x),使得f

(x)

=

f

(a)