2022-2023学年广西高一下册5月月考数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年广西高一下册5月月考数学模拟试题（含解析）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知复数满足，i为虚数单位，是的共轭复数，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据向量的乘法运算，化简得出，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.【详解】由已知可得，故.故选：A．2.新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（）A.45 B.50 C.55 D.60【正确答案】C【分析】根据已知先求出抽样比为，然后即可得出答案.【详解】由已知可得，全校共有学生3000人，抽样比为，所以，高三年级应该抽取：人．故选：C．3.已知向量，，若向量与垂直，则实数（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示列出方程求解即可.【详解】，，解得.故选：A.4.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（）A.若，，则．B.若，，，，则．C.若，，，则．D.，，，，，则．【正确答案】B【分析】由线线垂直的性质可知A错误；由线面平行的性质定理可得B选项正确；由面面垂直的性质以及线面的位置关系可得C错误；由线面平行的性质和线面垂直的性质可得D错误.【详解】对于A，若，，则或，即可能在平面内，所以A错误；对于B，根据条件可知，，，，所以，又，，由线面平行的性质定理可得，即B选项正确；对于C，若，，，则与可能平行、相交或异面，即C错误；对于D，当，，，，时，与可能平行或相交，即D错误.故选：B5.下列说法正确的是（）A.改变样本数据中的一个数据，平均数和中位数都会发生改变B.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数C.平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量D.样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小，数据的波动越大【正确答案】C【分析】根据平均数、中位数、频率分布直方图和方差的性质，逐一分析选项，即可得答案．【详解】对于A，例如数据1，3，5，将数据改成2，3，5，数据的中位数未改变，仍为3，故A错误；对于B，当数据的频率分布直方图为单峰对称时，平均数与中位数相同，当数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数变大的幅度比中位数大，所以平均数大于中位数，故B错误；对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，故C正确；对于D，一组数据的方差越小，说明这组数据的波动越小，故D错误．故选：C．6.若复数满足，则最大值为（）A. B. C.7 D.【正确答案】C【分析】由知，复数对应的点的轨迹为圆，而的几何意义为圆上的点与的距离，再结合两点距离公式求解即可.【详解】复数满足，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，的几何意义为圆上的点与的距离，所以的最大值为．故选：C7.已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点（不包括端点），若，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】D【分析】根据已知条件可推得，进而根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】由题意得：，.因为，，三点共线，所以，所以，，当且仅当，即，时取等号.故选：D.8.已知点是外接圆圆心，角、、所对的边分别为，，，且有，若，则实数的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】D【分析】设为的中点，求得，由得，结合数量积的运算可得，即，又，即可得解.【详解】设为的中点，则有，∴，∵，∴∴，∴，即，又，∴，故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.正方体的棱长为2，为底面的中心，为棱上的动点（不包含两个端点），则下列命题中错误的是（）A.存在点，使得平面 B.存在点，使得平面C.存在点，使得 D.存在点，使得与所成角为【正确答案】ABC【分析】连接，并建立空间直角坐标系，再逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】如图，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，选项A，易知平面，故与平面有交点，所以不存在点，使得平面，故选项A错误；选项B，在正方体中，易知，故为等边三角形，所以，所以不存在点，使得平面，故选项B错误；选项C，则，，由，得到，所以时，点与重合，由条件知，不存在点，使得，故选项C错误；选项D，因为，，由，得到，化简得到，得到或，因为，所以存在点，使得与所成角为，故选项D正确；故选：ABC.10.在等腰直角中，角，，所对的边分别为，，，，，是边上一个动点，则下列说法中正确的是（）A.若是三等分点，则 B.若，则C.对任意， D.对任意的，【正确答案】ABD【分析】根据题意，以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，则，然后逐个分析判断即可.【详解】因为等腰直角中，角，，所对的边分别为，，，，，所以，即，如图，以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，则，对于A，因为是三等分点，所以或，所以或，所以，即，所以A正确，对于B，因为，所以，由，得，所以，即，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，当时取等号，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，当时取等号，所以D正确，故选：ABD11.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（）甲地：总体平均数为2，且标准差；乙地：中位数为2，极差为；丙地：总体平均数，且极差；丁地：众数为1，且极差．A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地【正确答案】BCD【分析】对于甲地，取特殊值满足条件代入即可知甲地不符合该标志，对于乙地和丙地，采用反证法即可知这两地符合该标志，对于丁地，由众数为1，且极差即可知所有数据不会超过5，即丁地符合.【详解】甲地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2，标准差，但不符合该标志，即A错误；乙地：若中位数为2可知7天新增数据的最小值小于等于2，又由极差为可得最大值小于等于5，即不可能有哪天的疑似病例超过5人，符合该标志，即B正确；丙地：由极差可知，若某天疑似病例超过5人，此时7天新增数据的最小值大于等于3，那么总体平均数就不可能成立，所以每天新增疑似病例不超过5人，符合该标志，即C正确；丁地：因为众数为1，且极差，所以新增疑似病例的最大值小于等于，所以符合该标志，即D正确.故选：BCD12.下列说法正确的是（）A.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为直角三角形B.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则不一定为钝角三角形C.同一个正方体的外接球与内切球的表面积之比为D.若，，则在方向上投影向量是【正确答案】ACD【分析】根据已知，结合余弦定理，化简即可得出A项；根据余弦定理，求出，即可判断B项；求出外接球以及内切球的半径，即可得出C项；根据投影向量的公式，计算即可得出D项.【详解】对于A，因为，由余弦定理可得，所以，化简可得，故，所以A正确；对于B，因为，所以.又，所以为钝角，故为钝角三角形，B不正确；对于C，设正方体的边长为，则其外接球半径为，内切球半径为，所以其外接球表面积为，内切球表面积为，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比为，C正确；对于D，因为，所以在方向上的投影向量是，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在正方体中，和分别是棱和棱的中点，则异面直线与所成角的大小是______．【正确答案】【分析】先由中位线定理判断得，从而得到直线与直线所成角的平面角，再由正三角形求得，由此得解.【详解】连接，如图，因为和分别是棱和棱的中点，所以，故为直线与直线所成角，易得，即为正三角形，故，所以直线与直线所成角为.故答案为.14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为______（填“锐角三角形”、“直角三角形”、“钝角三角形”、“无法确定”中的一个）【正确答案】直角三角形【分析】利用正弦定理可得，结合三角函数性质及三角形内角和定理可得结果.【详解】由得，由正弦定理得，所以，因为，所以或，结合，解得或（舍去），因此为直角三角形．故直角三角形．15.已知正方形的边长为2，为对角线的交点，动点在线段上，点关于点的对称点为点，则的最大值为______．【正确答案】1【分析】法一建立直角坐标系，用坐标计算的最值；法二用极化恒等式得，当时最小，从而最大.【详解】法一：以为坐标原点，为轴正半轴建立平面直角坐标系，设，则，，所以，当且仅当时取得最大值．法二：由极化恒等式可得：，当时，此时的最大值为1．16.在四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为，则四棱锥的外接球的体积为______．【正确答案】【分析】还台为锥（作出原四棱锥），根据已知得出球心的位置，根据相似三角形得出.根据勾股定理可得，.然后在中，求出外接球的半径，即可得出答案.【详解】设与相交于点，因为四棱台为正四棱台，直线与直线的交点为，所以四棱锥为正四棱锥，所以平面．四棱锥的外接球的球心在直线上，连接，设该外接球的半径为，因为，，所以，，所以，所以.又易知，所以．所以，即，解得，则四棱锥的外接球的体积为．故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.射击比赛是群众喜闻乐见的运动形式之一，甲、乙两名射击运动员在某次比赛中各射击6次得到的环数如下表所示：甲9106968乙510107106（1）分别求出甲、乙运动员6次射击打出的环数的平均数；（2）分别求出甲、乙运动员这6次射击数据的方差，并根据计算结果说明本次比赛哪位运动员的发挥更稳定．【正确答案】（1）甲的平均数，乙的平均数；（2）甲的方差，乙的方差，即，故甲运动员的发挥更加稳定．【分析】（1）根据表中数据利用平均数的公式即可求得结果；（2）由（1）中的结果，利用方差公式即可计算出甲、乙的方差，方差较小者发挥更稳定.【小问1详解】由甲、乙运动员的6次射击成绩甲9106968乙510107106可得：甲6次射击环数的平均数为：，乙6次射击环数的平均数为：，【小问2详解】甲射击环数的方差为：乙射击环数的方差为：，由于，因此甲运动员的发挥更加稳定18.如图，已知三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，且，．（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据勾股定理可得，然后根据面面垂直的性质定理，即可得出答案；（2）取的中点，连接．根据面面垂直的性质得出平面，进而得出三棱锥的体积.取中点为，连接，以平面为底表示出三棱锥的体积，即可得出答案.【小问1详解】因为，，所以，即.由题意知，平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小问2详解】如图所示取的中点，连接．因为是等边三角形，为线段的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以为三棱锥底面的高.又由（1）知，，即，故三棱锥的体积.又因为，所以为等腰三角形.取中点为，连接，则，则，所以.设点到平面的距离为，则，所以，所以，点到平面的距离为.19.某果园新采摘了一批雪梨，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照，，，进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．（1）计算频率分布直方图中的值，并估计这批雪梨的重量的第70百分位数；（2）该果园准备将这批雪梨分拣成两类销售给一家超市，每分拣1000个雪梨，果园需要支付4元分拣费，重量不小于180克的雪梨的销售价格为3元/千克，重量小于180克的雪梨的销售价格为2元/千克．根据样本估计总体，估算果园销售10000个雪梨的收入．【正确答案】（1），第70百分位数约为172.5克（2）3494元【分析】（1）根据频率之和为1，求出的值.进而计算得出第70百分位数位于之间，然后计算即可得出答案；（2）求出重量小于180克以及大于180克的雪梨的总重量，根据题意，即可得出答案.【小问1详解】由题意，得，解得，因为的频率为，的频率为，所以第70百分位数位于之间，设50个雪梨重量的第70百分位数为，则，解得，故估计这批雪梨的重量的第70百分位数约为172.5克.【小问2详解】重量小于180克的雪梨的总重量约为（千克），重量不小于180克的雪梨的总重量约为（千克），估计销售收入约为（元）.20.的三个内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）如图，点是延长线上的一点，满足，且，，，求的长以及的面积．【正确答案】（1）（2）；的面积为【分析】（1）利用正弦定理，诱导公式，两角和的正弦公式和辅助角公式即可求出角.（2）利用相似三角形的性质即可求出的长，然后利用面积公式即可得出结果.【小问1详解】由，则，，，，，，所以，所以，因为在中，所以.【小问2详解】因为，，所以，所以，即，则，所以，由（1）知，，则，所以.即，的面积为.21.的三个内角，，所对的边分