第一章第一节逆序数全排列对换

第一章第一节逆序数全排列对换第1页，课件共16页，创作于2023年2月

第一章行列式§1–2§1–3§1–1

全排列、逆序数与对换2第一章行列式§1–4§1–5线性代数第2页，课件共16页，创作于2023年2月第一节

全排列、逆序数与对换二、三阶行列式三、小结、思考题一、引例3第一章行列式线性代数第3页，课件共16页，创作于2023年2月引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有这个问题相当于把三个数字分别放在百位、十位、与个位上，有几种不同的方法？4第一章行列式线性代数第4页，课件共16页，创作于2023年2月把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？

对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题。5第一章行列式线性代数第5页，课件共16页，创作于2023年2月定义

个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）.6第一章行列式线性代数第6页，课件共16页，创作于2023年2月7第一章行列式线性代数第7页，课件共16页，创作于2023年2月

对于n个不同的元素，若规定各元素之间有一个标准次序,通常对n个不同的自然数，我们选定1，2，3，…，n，即按由小到大排列起来的排列叫标准排列.定义在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序.

一个排列中所有逆序的总数称此排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.8第一章行列式线性代数第8页，课件共16页，创作于2023年2月下面来讨论计算排列的逆序数的方法9第一章行列式线性代数第9页，课件共16页，创作于2023年2月例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;

2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;5是最大数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;于是排列32514的逆序数为10第一章行列式线性代数第10页，课件共16页，创作于2023年2月定义把一个排列中任意两个元素的位置互换，而其余的元素不动，就得到另一个排列，这样一个变换叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．经过1，2对换，排列2431就变成了1432；例如，排列2134就变成了1234。11第一章行列式线性代数第11页，课件共16页，创作于2023年2月定理1

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明先证相邻对换的情形，设排列为对换与

显然，在排列（1）中，a,b与其它元素构成逆序，12第一章行列式线性代数

则在排列（2）中仍然构成逆序，

如不构成逆序则在（2）中也不构成逆序；第12页，课件共16页，创作于2023年2月因此，对于相邻对换的情形，定理是对的。如果原来a,b组成逆序，那么经过对换，逆序数就减少一个；如果原来a,b

不组成逆序，那么经过换，逆序数就增加一个.

无论是增加1还是减少1，排列的逆序数的奇偶性总是变了.13第一章行列式线性代数不同的只是a,b的次序。第13页，课件共16页，创作于2023年2月经过对换，再证一般对换的情形设排列为排列（3）变为

不难看出，这样一个对换可以经过一系列相邻对换来实现。14第一章行列式线性代数第14页，课件共16页，创作于2023年2月

次相邻对换次相邻对换次相邻对换2m+1是奇数，相邻对换改变排列的奇偶性，故这两个排列的奇偶性相反.15第一章行列式线性代数第15页，课件共16页，创作于2023年2月推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，证明

由定理1知对换的次