二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案乙：顶点坐标为(2,3)；丙：与x轴交点为(3,0)和(5,0)。其中，正确的是甲和乙说的，因为对称轴为x=4时，顶点坐标为(4,3)，与乙说的顶点坐标(2,3)不符；丙说的与x轴交点也不正确，因为根据顶点坐标和对称性，x轴交点应该为(4-√3,0)和(4+√3,0)。因此，正确的特点为对称轴为x=4，顶点坐标为(4,3)。乙：这个二次函数与x轴有两个整数交点，与y轴有一个整数交点，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3。求这个二次函数的解析式。15.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴正半轴相交。求一个满足条件的二次函数的解析式：y=ax^2+bx+c。16.如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(3,0)，则A点的坐标是(−1,0)。三、解答题：1.已知函数y=x^2+bx−1的图象经过点（3，2）。（1）解析式为y=x^2+bx-1。（2）当x>0时，由y=x^2+bx-1可得x^2+bx-3≥0，解得x≥-3或x≤1。所以x∈(-∞,-3]∪[1,+∞)。2.如右图，抛物线y=−x^2+5x+n经过点A(1,4)，与y轴交于点B。（1）解析式为y=−x^2+5x+3。（2）设P的坐标为(0,y)，则由△PAB为等腰三角形可得AP=AB=1，即P的坐标为(0,4)。3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）。（1）由已知图象上的三点坐标可得解析式为s=2t^2+2t-4。（2）解2t^2+2t-4=30，得t≈3.16，所以截止到第4个月累积利润可达到30万元。（3）将t=8代入s=2t^2+2t-4，得第8个月公司所获利润是116万元。提高题1.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m。（1）解析式为y=-0.1x^2+2x。（2）当水位上升到桥拱最高点O时，水位上升了3/2=1.5m，此时CD的宽为0，即货车无法通过。若要使货车安全通过此桥，需要速度超过每小时10km。因为当水位上升到CD时，此时货车已经行驶了280/40=7小时，水位上升了7*0.25=1.75m，所以此时水位上升了3.25m，此时货车的位置在拱桥的左侧，需要在1小时内通过拱桥，即需要速度超过每小时10km。b1，c22∵函数经过点（2，1），代入得12abc，解得a1.∴函数关系式为st1t2.（2）将s代入题目中的公式得y27010x40t1t220t1t2.化简得y10t2400t200x10800.∴y与x之间的二次函数关系式为y10t2400t200x10800.（3）当月租金为430元时，未租出的设备数为40430270/1037，未租出的设备支出费用为20×37=740元.租赁公司的月收益为430×3774015310元.当月租金为350元时，未租出的设备数为40，未租出的设备支出费用为20×40=800元.租赁公司的月收益为350×4080011600元.因为月租金越高，租出的设备数越少，所以当月租金为430元时，应该租出37套设备；当月租金为350元时，应该租出40套设备.（4）将二次函数关系式化为顶点式，得y10t20220800200x.∴当t20时，y取得最大值，最大月收益为20800200×20=16800元.（1）由题意得a+b+c=-1.5，4a+2b+c=-2，25a+5b+c=2.5。解得b=-2，c=0。代入第一个式子得a=-0.5。因此，方程的解为a=-0.5，b=-2，c=0。（2）将s=30代入s=t^2-2t，得到30=t^2-2t。解得t=7或t=8，但因为题目要求t>0，所以t=7。代入s=t^2-2t得到s=10.5。因此，截止到10月末公司累积利润可达到30万元，第8个月获利润5.5万元。（4）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线的解析式为y=ax^2+9/10。因为点A或B在抛物线上，所以代入可得a=-18/22125。因此，所求函数的解析式为y=-18x^2/22125+9/10，其中-19.919≤x≤19.919。因为点D、E的纵坐标为0，所以代入可得x=±2。因此，点D的坐标为(-2,0)，点E的坐标为(2,0)，DE=2。因此，卢浦大桥拱内实际桥长为2752米，约等于385米。（5）解法一：过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA。因为MN∥AC，所以S△MAC=S△NAC=S△PAC=6。因为OA=1，OC=2，所以MC=2AM，NA=2CN。因此，AM=6，CN=12，M(5,0)，N(0,10)。因此，直线MN的解析式为y=-2x+10。因为P在抛物线上，所以PA=PC，且P在MN上。因此，可以列出方程y=x^2-2x+k，其中k为待定常数。代入P的坐标(-1,5)可得k=4。因此，所求抛物线的解析式为y=x^2-2x+4。1.解：（1）因为抛物线$y=x^2-x-2$与$x$轴只有一个交点，所以方程$x^2-x-2=0$有两个相等的实数根，即$b-4c=0$。又点$A$的坐标为$(2,0)$，所以$4+2b+c=0$。由此可得$b=-4$，$a=4$。（2）由（1）得抛物线的解析式为$y=x^2-4x+4$。当$x=3$时，$y=4$。所以点$B$的坐标为$(3,4)$。在$\triangleOAB$中，$OA=2$，$OB=4$，得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{5}$。因此$\triangleOAB$的周长为$2+4+2\sqrt{5}$。2.解：（1）设$S=10\times(-1+x/10+1/(10+x))\times(4-3x)-x=-x^2+6x+7$。当$x=-1/2$时，$S$最大。此时$S=16$。因此当广告费是$3$万元时，公司获得的最大年利润是$16$万元。（2）用于投资的资金是$16-3=13$万元。经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取$A$、$B$、$E$各一股，投入资金为$5+2+6=13$（万元），收益为$0.55+0.4+0.9=1.85$（万元）$>1.6$（万元）；另一种是取$B$、$D$、$E$各一股，投入资金为$2+4+6=12$（万元）$<13$（万元），收益为$0.4+0.5+0.9=1.8$（万元）$>1.6$（万元）。3.解：（1）设抛物线的解析式为$y=ax^2$，桥拱最高点到水面$CD$的距离为$h$米，则$D(5,-h)$，$B(10,-h-3)$。由$\triangleAOB\sim\triangleCOD$，得$OA/OC=OB/OD$，即$2/(h+1)=4/(h+3)$，解得$h=1$。因此抛物线的解析式为$y=-x^2$。（2）水位由$CD$处涨到点$O$的时间为$1/0.25=4$（小时），水位由$O$处涨到桥拱最高点$A$的时间也为$4$（小时），水位由$A$处下降到$CD$处的时间为$1$（小时）。因此水位从$CD$处涨到桥拱最高点$A$的总时间为$4+4+1=9$（小时）。货车无法安全通过桥梁，因为按原速度行驶的距离小于280，即40×1+40×4=200<280。假设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，解得x=60。因此，为了安全通过桥梁，货车速度应该超过60千米/时。设未出租设备的数量为y套，则所有未出租设备的支出为(2x-540)元，其中x为出租设备的数量。因此，未出租的设备数量为y=(40-x)/2套，支出为y×270元。将这些代入方程y=-(x-270)/10中，得到二次函数y=-x^2+65x+540。当月租金为300元时，出租设备为37套，月收益为11040元；当月租金为350元时，出租设备为32套，月收益为11040元。因为出租37套和32套设备获得同样的收益，可以选择出租32套减少设备的磨损，或者出租37套扩大市场占有率。将函数y=-x^2+65x+540化简为y=-(x-325)^2+11102.5，可以得到最大值为11102.5，当x=325时取得。但是，设备的数量必须是整数，因此出租设备应该是34或35套。当月租金为330元时，出租34套设备，月收益最大，为11100元；当月租金为320元时，出租35套设备，月收益也是11100元。二、选择题21.C22.A23.C24.D25.已知抛物线上两点为(2,5)和(4,5)，则该抛物线的对称轴方程为x=3。26.根据图1，能正确反映函数y=ax+b的图象的选项是(C)。27.二次函数y=2x-4x+5的最小值为1。28.该二次函数的解析式为y=-x^2+3x-2。29.当函数值y>4时，自变量x的取值范围为x<0或x>4。30.为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为120元。31.当函数y=ax-(a-3)x+1的图象与x轴只有一个交点时，a=2且交点坐标为(1,0)。32.抛物线y=x-2x-2的顶点为A(-1,-3)，与y轴的交点为B(0,-2)，过A、B两点的直线的解析式为y=x-2。33.抛物线y=ax+2ax+a+2的一部分如图3所示，该抛物线在y轴左侧与x轴的交点坐标为(-1,0)。34.(1)抛物线和直线l的解析式分别为y=-x^2+1和y=-x+3；(2)点Q的坐标为(2,1)。注：图1、图3、图4见原文。12.给定点(1,0)和斜率为-2的直线，求该直线与y=-2x+4所围成的梯形的面积。首先求出直线与x轴的交点为(1/2,0)，则梯形的高为2。然后求出直线与y轴的交点为(0,4)，则梯形的上底为4。因此，梯形的面积为(2+4)*1/2=3。13.给定抛物线的顶点为(1,-3)，点B的坐标为(0,-2)，直线AB的解析式为y=-x-2。首先求出抛物线的表达式为y=a(x-1)^2-3，代入点B可得a=-1。因此，抛物线与x轴的另一交点坐标为(-3,0)。因此，抛物线与x轴的另一交点坐标为(-3,0)。15.给定抛物线经过点(1,0)，直线的解析式为y=ax+b，点Q的坐标为(-2,5)。首先代入点(1,0)可得b=1。然后代入点Q可得a=-4/3。因此，抛物线的解析式为y=-4/3x^2+x+1。由于点Q在抛物线上，因此其纵坐标为5=-4/3*(-2)^2+(-2)+1，解得点Q的横坐标为1。因此，点Q在直线y=-x+3上的坐标为(1,2)。17.给定椭圆的中心为(0,0)，长轴为6，短轴为4。首先求出椭圆的标准方程为x^2/9+y^2/4=1。然后代入点A可得y=2，代入椭圆方程可得x=3。因此，点A的坐标为(3,2)。同理，代入点B可得y=-2，代入椭圆方程可得x=3。因此，点B的坐标为(3,-2)。19.给定函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，求S=∑(i=1到n-1)∫[i,i+1]f(x)dx。首先将f(x)分解为f(x)=x+1/(x-1)，然后对于每个区间[i,i+1]，将f(x)分为两个部分，分别积分，得到S=∑(i=1到n-1)(1/2*(i+1)^2-1/2*i^2+ln(i)-ln(i+1))。将其化简可得S=n^2/2-1/2+ln1/2+ln(n+1)。由于三角形△OAB的面积等于3，因此当直线l平分△OAB的面积时，其所得到的面积为12/13。因此，我们可以得出m=3的结论。由此可知，存在一个点P，使得直线l平分△OAB的面积，并且该点的坐标为(3,0)。改写后：根据△OAB的面积为3，可以推出直线l平分该三角形的面积后所得到的面积为12/13，进而得出m=3的结论。因此，存在一个点P，它的