第一章行列式 线性代数

第一章行列式线性代数2023/9/51第1页，课件共88页，创作于2023年2月

前言线性代数的理论和方法已成为科学研究及处理各个领域问题的强有力工具．（线性：主要指有关变量是一次的。）考研数学试卷中比例已占：２２％2023/9/52第2页，课件共88页，创作于2023年2月2010年考研数学大纲（线性代数）一、行列式二、矩阵三、向量四、线性方程组五、矩阵的特征值和特征向量六、二次型

2023/9/53第3页，课件共88页，创作于2023年2月本课程主要学习内容：第一章行列式第二章矩阵第三章向量与线性方程组第四章矩阵的特征值与特征向量第五章二次型2023/9/54第4页，课件共88页，创作于2023年2月第一章行列式

要求:1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．3、会用克莱姆法则解线性方程组．

2023/9/55第5页，课件共88页，创作于2023年2月1.１二阶、三阶行列式

(一)二阶＼三阶行列式1.消元法解线性方程组，引入二行列式2023/9/56第6页，课件共88页，创作于2023年2月简记为其中

二阶的（

系数）行列式2023/9/57第7页，课件共88页，创作于2023年2月注:即克莱姆法则时的情形。2023/9/58第8页，课件共88页，创作于2023年2月2、二阶行列式计算方法：（对角线法则）（1）取“-”号（副对角线）取“+”号（主对角线）2023/9/59第9页，课件共88页，创作于2023年2月（2）2023/9/510第10页，课件共88页，创作于2023年2月（3）例题：解线性方程组解：故方程组的解为：2023/9/511第11页，课件共88页，创作于2023年2月（二）三阶行列式及其对角线法则1.消元法解线性方程组

哇！好简洁啊！

注意写法规律！（1）2023/9/512第12页，课件共88页，创作于2023年2月其中：2023/9/513第13页，课件共88页，创作于2023年2月注:克莱姆法则时情形.2023/9/514第14页，课件共88页，创作于2023年2月2.三阶行列式的引入

三阶的（系数）行列式2023/9/515第15页，课件共88页，创作于2023年2月行列式引入图2023/9/516第16页，课件共88页，创作于2023年2月记：

三阶（系数）行列式取“-”号（副对角线及平行线）取“+”号（主对角线及平行线）Go212023/9/517第17页，课件共88页，创作于2023年2月例：解三元线性方程组2023/9/518第18页，课件共88页，创作于2023年2月2023/9/519第19页，课件共88页，创作于2023年2月2023/9/520第20页，课件共88页，创作于2023年2月1.2n阶行列式（一）n阶行列式的定义1.观察三阶(二阶)行列式的特点（1）表示一个数。一般项：取自不同行不同列的3元素之积，共3！=6项（二阶：2！=2项）。（2）各项下标：某一个三级排列（6种）（3）各项符号：三项正三项负．正负号与行标自然顺序排列时的列标排列顺序有关.（注意：在各项乘积中，调整元素的位置，总可以使行标成为自然顺序排列！）问：正负号如何确定？为此引进“逆序”概念。Go172023/9/521第21页，课件共88页，创作于2023年2月（1）n级（元）排列（前）n个自然数1、2、3、……

n的一个有序数列称为一个n级排列。如32415是一个5级排列;213546是一个6级排列.２．排列与逆序2023/9/522第22页，课件共88页，创作于2023年2月所有n级(元)排列共有n!种；如：三级排列有3！=6种：123，132；213，231；312，321。五级排列有5！=120种：14325，15342，…，等（２）逆序与逆序数逆序：一个排列中，任意两数大前小后排列构成一个逆序；如132中32构成一个逆序14325中43、42、32各构成一个逆序逆序数：一个排列的逆序总数；n级排列逆序数记为2023/9/523第23页，课件共88页，创作于2023年2月例

A.（123）=0，（132）=1；（213）=1，（231）=2；（312）=2，（321）=3。（14325）=3，（15432）=6；go３４

无逆序43、42、32各构成一个逆序21构成一个逆序32构成一个逆序

54、53、52、43、42、32各构成一个逆序B.逆序数计算方法：由后往前，算大数：（14325）=0+2+1=3由前往后，算小数：（15342）=0+3+1+1=52023/9/524第24页，课件共88页，创作于2023年2月Ｃ．逆序数计算例1.2.3.2023/9/525第25页，课件共88页，创作于2023年2月（3）奇偶排列及其性质

奇偶排列：逆序数为奇（偶）数的排列称奇（偶）排列。对换：某两数位置互换称排列的一次对换。定理１.１：任意一个排列经过一次对换奇偶性改变。例：确定奇偶排列；幻灯片32证明:(1)相邻情形逆序数增加或减少1,都改变奇偶性;(2)一般情形相邻两数对换2s+1次,改变奇偶性。2023/9/526第26页，课件共88页，创作于2023年2月定理1.2:所有n!个n级排列中奇偶排列各占一半。证明：用这种方法，每一个不同的奇排将对应着一个不同的偶排，故同理可证从而2023/9/527第27页，课件共88页，创作于2023年2月例1：求i，j使25i4j1为偶排列。解：6级排列使i、j只能取3或6；由于例2:解：所以，i=6,j=3。奇排列偶排列2023/9/528第28页，课件共88页，创作于2023年2月有了逆序数及奇偶排列的概念,再来分析三阶行列式各项的符号与列标排列的关系.2023/9/529第29页，课件共88页，创作于2023年2月

取“-”号（副对角线及平行线）取“+”号（主对角线及平行线）行标成自然排列时,列标排列的奇偶性决定符号.2023/9/530第30页，课件共88页，创作于2023年2月(二)n阶行列式的定义1.2P5（1）一般项：取自不同行不同列的n个元素之积；（2）各项下标：使行标成自然顺序，则列标为n级排列，共有n!项，奇偶排列各半；（3）各项符号：列下标奇排列为负，偶排列为正。

n阶行列式

行列式展开式、一个数请：用一阶、二阶和三阶行列式验证。2023/9/531第31页，课件共88页，创作于2023年2月例题：计算上三角行列式解：根据定义，从每一项元素取自不同行列入手，可知其值等于主对角线元素之积。2023/9/532第32页，课件共88页，创作于2023年2月结论：上、下三角、对角行列式的值都等于

主对角线元素之积！这提供了一种简便常用的行列式计算方法。2023/9/533第33页，课件共88页，创作于2023年2月结论：副上下三角、副对角行列式的值都等于

副对角线元素之积，并考虑相应的符号！2023/9/534第34页，课件共88页，创作于2023年2月

n阶行列式的等价定义（行列下标都可任意排列）（1）（2）

行标逆序

列标逆序

行标逆序

视情况灵活选用定义2023/9/535第35页，课件共88页，创作于2023年2月例题

求四阶行列式中，含解：所求一般项应为只能取2或4，确定而使奇数，即可得所求项且带负号的项。2023/9/536第36页，课件共88页，创作于2023年2月

小结：1.二、三阶行列式、对角线法则；2.排列的逆序数、奇偶排列；3.n阶行列式定义及其计算。注意，三阶以上行列式无对角线法则！

作业布置：P35T5T10T12(2）（4）2023/9/537第37页，课件共88页，创作于2023年2月第一章：1.3行列式的性质

1.4行列式的展开

目的要求1.熟练掌握行列式性质，会用性质计算行列式；2.掌握子式、余子式、代数余子式的求法；3.理解行列式与代数余子式之间的联系；4.掌握行列式的展开方法（按某行、多行展开),并会用于简化行列式的计算。2023/9/538第38页，课件共88页，创作于2023年2月一、复习2.二、三阶行列式的对角线法则：1.逆序数及其求法：2023/9/539第39页，课件共88页，创作于2023年2月注意：利用定义计算行列式，一般项取自不同行不同列的n个元素之积；符号由下标排列的逆序数确定，正负号各半；展开式一共有n！项。

３.n阶行列式定义与计算：2023/9/540第40页，课件共88页，创作于2023年2月1.3行列式性质性质1.行列式转置，值不变。

转置：行列互换2023/9/541第41页，课件共88页，创作于2023年2月证：用定义证明，参见P11。设注：性质1表明，行列式的行与列有相同地位。则从而2023/9/542第42页，课件共88页，创作于2023年2月性质2.两行（列）互换值变号。证：用定义证明。参见P11-12（略）2023/9/543第43页，课件共88页，创作于2023年2月推论：两行（列）对应元素相同值为零。

证明：性质3.某行（列）的公因子可外提.互换相同的两行，2023/9/544第44页，课件共88页，创作于2023年2月推论1：某行（列）的元素都为零值为零。推论2：两行（列）成比例值为零。(拆分)性质4.：若某行（列）元素为两数

和，则可拆成两行列式的和。证明：由推论及性质3可证。推论：若某行（列）元素为m个数

和，则可拆成m个行列式的和。2023/9/545第45页，课件共88页，创作于2023年2月性质5.乘加法则：某行（列）乘以数k

后加到另一行（列）值不变。注意：乘加法则的实质是“虚乘”“实加”，即被加行改变，被乘行不变。

2023/9/546第46页，课件共88页，创作于2023年2月利用定义和性质计算行列式要点1.目标：化行列式为上（下）三角形、对角形行列式计算；2.手段：利用行列式性质，植树“1”造林“0”；3.原则：灵活运用行、列的各种变换，化简行列式。注意：用性质计算行列式，应尽量做加法不做减法，避免分数运算。运算过程可用P16-20页例4-8的箭头符号示意，也可用如下的例题符号示意。2023/9/547第47页，课件共88页，创作于2023年2月1.例1计算行列式(化为三角形)解：2023/9/548第48页，课件共88页，创作于2023年2月2023/9/549第49页，课件共88页，创作于2023年2月注:本例也可用“列”变换简化运算，还可以用更简单灵活的其他各种变换进行计算，也不必拘泥于植“树”造“林”。但无论用那种方法计算，行列式的结果是唯一的。2023/9/550第50页，课件共88页，创作于2023年2月2.例2解：3.例3解：2023/9/551第51页，课件共88页，创作于2023年2月注意：本例将每行（列）各元素之和加到第一行（列）的方法具有普遍应用性。2023/9/552第52页，课件共88页，创作于2023年2月4.例4解：2023/9/553第53页，课件共88页，创作于2023年2月2023/9/554第54页，课件共88页，创作于2023年2月5。例5：2023/9/555第55页，课件共88页，创作于2023年2月6。例6、计算行列式2023/9/556第56页，课件共88页，创作于2023年2月2023/9/557第57页，课件共88页，创作于2023年2月交换两行变号2023/9/558第58页，课件共88页，创作于2023年2月7。例7：计算n阶行列式解：当行列式中零元素较多时，可考虑将行列式逐行（列）往前（后）递加（减），将其化为三角行列式计算。故2023/9/559第59页，课件共88页，创作于2023年2月2023/9/560第60页，课件共88页，创作于2023年2月

1.４行列式按行（列）展开1.４.1余子式与代数余子式P21定义6在阶行列式

中划去元素

所在的第行和第

列的元素,剩下的个元素按原来的排法构成一个阶的行列式,称为元素的余子式,记作

.对冠以符号后称为元素

的代数余子式,记为

,即2023/9/561第61页，课件共88页，创作于2023年2月如:四阶行列式

D的余子式:代数余子式:2023/9/562第62页，课件共88页，创作于2023年2月定理1.4:n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或按行展开按列展开证明：P22-23（略）2023/9/563第63页，课件共88页，创作于2023年2月定理1.5:n阶行列式D的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即或2023/9/564第64页，课件共88页，创作于2023年2月注意：按某行（列）展开，是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用于某行（列）零元较多的情形。例1：解：（1）直接按第一行展开计算2023/9/565第65页，课件共88页，创作于2023年2月例：计算n阶行列式解：按第一列展开可得递推公式。2023/9/566第66页，课件共88页，创作于2023年2月由递推公式可得：2023/9/567第67页，课件共88页，创作于2023年2月例：计算范德蒙行列式解：从第n行开始，依次减去上一行的倍。2023/9/568第68页，课件共88页，创作于2023年2月得按第一列展开后，从每列提取一个公因式得原行列式与低一阶的范德蒙行列式间的关系：2023/9/569第69页，课件共88页，创作于2023年2月依此类推，可得：2023/9/570第70页，课件共88页，创作于2023年2月例：计算行列式解：2023/9/571第71页，课件共88页，创作于2023年2月定理1.6：（拉普拉斯定理）若在n阶行列式D中，任意选取k行k列，这样组成的所有k阶子式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式

D的值。（证略）例：2023/9/572第72页，课件共88页，创作于2023年2月2023/9/573第73页，课件共88页，创作于2023年2月三、小结：（略）1.性质归类：转置，对换，公因子，拆分,乘加法则；2.利用性质和展开式计算的技巧和特点。四、作业P36

1、T13(4)2、T14(3)3、T18(2）4、T215、T232023/9/574第74页，课件共88页，创作于2023年2月

1.5克莱姆法则

一、复习（一）行列式性质1.转置相等。2.互换变号。3.公因子外提：某行公倍数4。两数和拆成两行列式和。5.乘加法则：虚乘实加值不变。6。值为零：成比例2023/9/575第75页，课件共88页，创作于2023年2月（二）行列式展开（降阶）1.余子式、代数余子式2.行列式按某行展开

3。拉普拉斯定理：若在n阶行列式D中，任意选取k行k列，这样组成的所有k阶子式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式

D的值。2023/9/576第76页，课件共88页，创作于2023年2月二、定理1.7(克莱姆法则)：若非齐次线性方程组系数行列式不为零，则它有唯一解：例：P31例1利用行列式计算（解略）2023/9/577第77页，课件共88页，创作于2023年2月定理1.8：若齐次线性方程组（也称（1）的导出组）系数行列式不为零，则它有唯一解：2023/9/578第78页，课件共88页，创作于2023年2月推论：齐次线性方程组有非零解的充要条件是例：P34例2,例3利用充要条件判定.2023/9/579第79页，课件共88页，创作于2023年2月例3取何值时有非零解？解：利用充要条件求解，注意行列式的计算技巧

作业布置：P40.T29T33T40(7)(8)2023/9/580第80页，课件共88页，创作于2023年2月线性方程组的矩阵表示法

真简洁！2023/9/581第81页，课件共88页，创作于2023年2月线性代数2010年考研数学大纲一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求:1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．2023/9/582第82页，课件共88页，创作于2023年2月二、矩阵考试内容:

矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算2023/9/583第83页，课件共88页，创作于2023年2月二、矩阵考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．

5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．2023/9/584第84页，课件共88页，创作于2023年2月三、向量考试内容:

向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有