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文档简介

§1．3

数学模型——定解问题一、三类典型方程

的建立

定解问题——建立微分方程及定解条件

1、波动方程弦的微小横振动方程：设一拉紧的，均匀的，柔软的弦，在外力F(x,t)作用下，弦作微小的横振动，试建立弦振动方程。横振动：指弦上各点在同一平面内沿垂直于弦的平衡位置的运动。取弦的平衡位置为x轴，u(x,t)表示弦上的点x，在时刻t的位移，u(x,t)描述了所研究的弦振动现象。假设弦柔软，有弹性，不可伸长，重力与张力相比可忽略，作微小振动，取微元ABFuoxxBAT由微分中值定理，得

令，有，得

称为弦的强迫振动方程。其中

若弦不受外力作用，即，（1.3.1）化为

称为弦的自由振动方程（又称一维波动方程）。

类似地可推导（建立）二维、三维波动方程。二维（水波、鼓面振动）三维波动方程（电磁波）

2、热传导方程

热传导：当物体内各点的温度分布不均匀时，热量就要从温度较高的点处向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。为的热源，试建立热传导方程。设温度分布不均匀的热物体,体内有密度设为点在时刻t的温度（推导略）称为非齐次热传导方程。

(1.3.3)若热物体内无热源，方程（1.3.3）化为

称为齐次热传导方程。

3、拉普拉斯方程和泊松方程

若温度不再随时间而变，即，则

称为三维泊松方程。(1.3.4)称为三维拉普拉斯方程。引入拉普拉斯算子，它表示微分运算法则

将它作用于上，将得到，因此拉普拉斯方程可表示为

二、定解条件

1、初始条件波动方程中含有关于时间t的二阶偏导数项需要给出两个初始条件。热传吩导方预程中披含有啄对时鼓间t的一介阶偏生导数唇项，臂需要怨一个巧初始全条件瓜，即窄应给宝出初螺始时跟刻t=爷0时温辅度的筛分布前。拉普孕拉斯海方程技和泊厉松方懒程是喇描述恒稳定蚊场的券，不斯含时煮间t，因但而不毁需初通始条疑件。注：醉初始肚条件围的个传数与郑方程秧中未意知函晚数关耐于承时默间偏艰导数准的阶端数应亚相等冰。2、亭边界惑条件为边界，n为边界的外法矢。

三类辣边界电条件掌，可斗以统廉

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