含有条件概率的随机变量问题

含有条件概率的随机变量问题一、基础知识：1、条件概率：事件B在事件A已经发生的情况下，发生的概率称为B在A条件下的条件概率，记为B|A2、条件概率的计算方法：（1）按照条件概率的计算公式：p@ia）=p）P（A）（2）考虑事件A发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B在这种情况下的概率例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：按照（1）的方法：设事件A为“甲没中奖”，事件B为“乙中奖”，则所求事件为BIA，按照公式，分别计算P（AB）,P（A），利用古典概型可得：P（AB）=上二1，P（A）=4，所以P（BIA）==-A255P（A）45按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为143、含条件概率的乘法公式：设事件A,B，则A,B同时发生的概率P（AB）=P（A）.P（BIA），此时P（BIA）通常用方案（2）进行计算4、处理此类问题要注意以下几点：（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）

（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。二、典型例题：例1：袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为2，则把该球编号记下再把编号数改为1后放回袋中继续取球；若取到的球的编号为奇数，则取球停止，取球停止后用X表示“所有被取球的编号之和”（1）求X的分布列（2）求x的数学期望及方差思路：（1）依题意可知如果取球取出的是1,3，则取球停止，此时X的值为1或3；当取球取出的是2号球时，按照规则要改为1号球放进去重取，再取时只能取到1或3，所有编号之和X的值为3,5，所以可知X可取的值为1,3,5，当X=1时，意味着直接取到了1号球（概率为1）；当X二3时，分为两种情况，一种为直接取到3（概率为1），另一种为取到了2（概率为1），改完数字后再取到1（概率为2）；当X=5时，33为取到了2（概率为1），改完数字后再取到3（概率为1），从而可计33算出概率。进而得到分布列与期望方差解：（1）X可取的值为1,3,5・•・P(X・•・P(X=1)=-3X的分布列为:X135151P399DX=-(13123¥5L23¥1(176~81⑵EXDX=-(13123¥5L23¥1(176~81例2：深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为g,求g的分布列和数学期望;（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．（1）思路：第一次训练时所取得球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可判断出g服从超几何分布，即可利用其公式计算概率与分布列，并求得期望解：g可取的值为0,1,2P(g二P(g二2)=£二16.g的分布列为：5552）思路：本题要注意一个常识，即新球训练过后就变成了旧球，所以要计算第二次恰好取到一个新球的概率，需要了解经过第一次训练后，所剩的球有几个新球，几个旧球。所以要对第一次取球的情况进行分类讨论：若第一次取2个新球，则第二次训练时有5旧1新；若第一次取到1个新球，则第二次训练时有4旧2新；若第一次取到2个旧球，则第二次训练依然为3旧3新，分别计算概率再相加即可解：设事件A为“第一次训练取出了i个新球”则P（A）=CS1iiC26设事件B为“从六个球取出两个球，其中恰好有一个新球”事件C为“第二次恰好取出一个新球”p（C）=P（AB）+P（AB）+P（AB）325325P(AB)=P(A)•P(BIA)=Cl-CLC000C2C2Ci•Ci•Ci—42C26825P(AB)=P(A)•P(BIA)=C3C3TOC\o"1-5"\h\z111C26P(AB)=P(A)•P(BIA)=CL•C=丄222C2C21566QQ・•・P(c)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=—01275例3：若盒中装有同一型号的灯泡共10个，其中有8个合格品，2个次品（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废

（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X的分布列和数学期望（1）思路：每次有放回的取灯泡，相当于做了3次独立重复试验，每次试验中取到合格品的概率为4，取到次品的概率为1，在3次试验中52次取到次品，1次取得合格品，所以考虑利用公式求解取到次品的概率解：设事件a为“2次取到次品”・•・•・P(A)=C2312125（2）思路：因为只有2个次品，所以最多用掉3个灯泡，x可取的值为1,2,3，X二1时，意味着取到的是合格品，概率为4，X二2是取到一5个次品（概率为1）之后在9个灯泡中取到一个合格品（概率为8）,x二359是连续取到2个次品（概率为1丄），之后一定拿到合格品，分别计算59概率即可59845解：X可取的值为59845・P(X=1)=45P(X=3)=-丄=—5945・X的分布列为：123481P54545EX=1x4+2X—+3x—=U545459例4：一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8

个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片.设取出了g次才停止取出卡片，求g的分布列和数学期望.（1）思路：本题可用古典概型解决，事件0为“8张卡片中取出2张卡片”所以n（0）=C28事件A为“所得新数为奇数”，可知需要一奇一偶相加即可，则n（A）=Ci-Ci，从而可计算出P（A）35解：设A为“所得新数为奇数”•••P（A•••P（A）=Ci-Ci5C281528（2）思路：依题意可知g可取的值为1,2,3,4,题目中的要求为“取出偶数即停止”所以若要保证第n次能继续抽卡片，则在前（n-1）次需均抽出奇数。所以g=1,2,3时，意味着抽卡片中途停止，则必在最后一次取到了偶数，以g=3为例，中途停止说明在第三次抽到偶数，前两次抽到奇数。所以P（g=3）=3-2•5（第二次受第一次结果的影响，只剩7876张卡片，含有2张奇数卡片，所以是前两次是奇数的概率为3•2）。当87g=4时，只要在前三次将奇数卡片抽完即可。解：g可取的值为1,2,3,4

•••p1)=515561556g123451551P8565656P—3)=3•2•5=A87656p—4)=3-2-6=i56•.g的分布列为:・••Eg=1x5+2x15+3丄+4丄=385656562例5：某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1个小时走出迷宫；若是2号，3号通道，则分别需要2小时，3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止，令表示走出迷宫所需的时间，求g的分布列和数学期望思路：迷宫的规则为只有进入1号通道才能走出迷宫，如果是其他通道（以2号为例），则可能打开1通道然后走出迷宫，或者打开另一个通道，通过第三轮进入1通道走出迷宫，所以g可取的值为1（1号），3（2号+1号），4（3号+1号），6（3号+2号+1号或2号+3号+1号）。根据g的取值便可判断出走迷宫的情况，从而列出式子计算概率，得到分布列解：g可取的值为1,3,4,6p(g=1)=-3P(g=4)=1x1=1326•g的分布列为：P(g=3)=1x-=1326P(g=6)=1x1+1x1=132323

g1346P11113663Eg=1x1+3x136+4x1+6x1=6372例6：某学校要对学生进行身体素质全面测试，对每位学生都要进行9选3考核(即共9项测试，随机选取3项)，若全部合格，则颁发合格证；若不合格，则重新参加下期的9选3考核，直至合格为止，若学生小李抽到“引体向上”一项，则第一次参加考试合格的概率为1，第2二次参加考试合格的概率为2,第三次参加考试合格的概率为4,若第35四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过求小李第一次考试即通过的概率P求小李参加考核的次数g分布列(1)思路：由题意可知，小李能够通过考试的概率取决于是否能够抽到“引体向上”这个项目，如果没有抽到，则必能通过；若抽到“引体向上”则通过的概率为丄。后面通过测试的概率受到前面抽签的影响,2要利用条件概率进行解决解：(1)若没有抽到“引体向上”，若抽到“引体向上”，C211若抽到“引体向上”，8C3269・•・・•・P=P+P122136(2)思路：依题目要求可知g可取的值为1,2,3,4,在参加下一次考核时,意味着前几次考核失败，所以当g取2,3,4时，要考虑前面考核失败的情况与该次考核成功两个方面同时成立。解：g可取的值为1,2,3,4P(gP(g=2)=(C3C22)—+(C3C33丿994277405C27405C21C21P(g=4)=-6P(g=3)=丄・—•一-—+—-—IC33丿IC3C35999g12345471P627405810•―8•—•—4•—IC33丿IC35丿99.•.g的分布列为:例7：袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是1,从B中摸出一个红球的概率是2，现从两个袋子中有放33回的摸球（1）从A中摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望（2）从A中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A中摸球，若是红球则在袋子B中摸球；若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球，若是红球则在袋子A中摸球，如此反复摸球3次，计摸出红球的次数为Y，求Y的分布列和期望（1）思路：①题目中说“有放回的摸球”所以本题为独立重复试验模型，在A中摸出红球的概率为1，代入独立重复试验模型公式即可计3算出概率；②随机变量X指摸出红球发生的次数，所以符合二项分布全国名校高考数学优质学案专题汇编(附详解)全国名校高考数学优质学案专题汇编(附详解)XnB[5,1]，直接可计算期望口I3丿解：①设事件M为“恰好有3次摸到红球”:P（:P（M）=C35"1丫（2¥40<3丿=243②X的取值为0,1,2,3,4,5，依题意可知XD:.EX=5--=-33(2)思路：有放回的摸球三次，所以Y可取的值为0丄2,3，因为下一次在哪个袋子里摸球取决于上一次的结果：若是白球则在本袋继续摸，若是红球则要换袋子摸，所以在计算概率的过程中要监控每一次摸球的结果，并按红球个数进行安排。例如Y=1时，要按“红白白”，“白红白”，“白白红”三种情况进行讨论，并汇总在一起。解：Y可取的值为0,1,2,3（2「38P（Y=1）=1xr1「2211+—.—•—+（2丫<3丿=273<3丿333<3丿P（Y=0）=1732721-+-33210327Y0123P871022727272713227:Y的分布列为::EY=0X—+1x—+2x10+3X—=2727272711~9例8：为了参加中央电视台，国家语言文字工作委员会联合主办的《中国汉字听写大会》节目，某老师要求参赛学生从星期一到星期四每天全国名校高考数学优质学案专题汇编(附详解)全国名校高考数学优质学案专题汇编(附详解)56485648学习3个汉字及正确注释，每周五对一周内所学汉字随机抽取若干个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同)(1)老师随机抽了4个汉字进行检测，求至少有3个是后两天学习过的汉字的概率(2)某学生对后两天所学过的汉字每个能默写对的概率为4，对前两5天所学过的汉字每个能默写对的概率为3，若老师从后三天所学汉字中5各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的汉字的个数g的分布列和期解：(1)设事件A为“至少有3个是后两天学习过的汉字”•••P(A)=ClC3+C4666C412135_3495—11(2)思路：依题意可知g可取的值为o丄2,3，本问的关键在于后三天中包括“后两天”与“第二天”两类，这两类中学生默写对的概率是不同的，所以在求概率时要讨论默对的属于哪个类别，再考虑其概率即P(g=1)=CP(g=1)=Ci2412(1\23X—X—X—+—X—=19P(g=2)=C1241X—X—55P(g=3)=(4)2<5丿•g的分布列为：全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）g01232195648P125125125125Eg=0+1xJ9+2XJ6+3X18125125125125115例9：QQ先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出一条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉，若黑鱼未被抓出，则它每晚要吃掉一条青鱼（规定青鱼不吃鱼）（1）求这7条鱼中至少有6条被QQ先生吃掉的概率（2）以g表示这7条鱼中被QQ先生吃掉的鱼的条数，求g的分布列及其数学期望Eg（1）思路：依题意可知，如果QQ先生没有抓到黑鱼，则黑鱼会一次次的吃掉青鱼，从而使得QQ先生吃掉鱼的总数减少。所以QQ先生吃鱼的总数决定于第几次将青鱼拿出，“QQ先生至少吃掉6条”包含6条和7条，若吃掉6条，则表示第一次拿出的是青鱼，在第二次拿黑鱼时，因为黑鱼已经吃掉一条青鱼，所以只能从剩下5条中拿出，故概率为6x-;若吃掉7条，则表示第一次就拿出黑鱼，即概率为丄。57解：设事件a为“第i次拿到青鱼”事件a为“QQ先生至少吃掉6条i鱼”・•・P（A）=P（A）+P（A）=-+-丄=111277535（2）思路：依题意可知只要晚一天拿出黑鱼，则这一天就会少两条青鱼（一条QQ吃掉，一条黑鱼吃掉），所以g可取的值为4,5,6,7。g=7代表第一天就拿到黑鱼；g=6代表第二天拿到黑鱼；g=5代表第三天拿

到黑鱼；g=4代表第四天拿到黑鱼，此时QQ先生吃了3条青鱼，黑鱼解：g可取的值为4,5,6,7.•・P(g=解：g可取的值为4,5,6,7.•・P(g=7)=17()6418P(g=5丿=—•—=-75335.•.g的分布列为：16535g4567Pi686i3535357p一4)=6•4•I=16I5・••Eg=4x16+5亠+6/+7x1=175=5353535735例10：有A,B,C三个盒子，每个盒子中放有红，黄，蓝颜色的球各一个,所有的球仅有颜色上的区别（1）从每个盒子中任意取出一个球，记事件s为“取得红色的三个球“，事件T为”取得颜色互不相同的三个球“，求P（S）,P（T）（2）先从A盒中任取一球放入b盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从c盒中任取一球放入A盒，设此时A盒中红球的个数为g，求g的分布列与数学期望（1）思路一：可利用古典概型求出P（s）,P（T），基本事件空间O为“三个盒子的取球情况”则n（0）=Ci•Ci•Ci=27，则n（S）=1，n（T）=A3=6（三3333种颜色全排列确定出自哪个盒），从而求得P（s）,P（T）解：（1）P（S）二1二丄P（T）=A3二-Ci•Ci•Ci27Ci•Ci•Ci9333333思路二：本题也可用概率的乘法进行计算。S表示每个盒均取出红球（取

出红球的概率为1）,因为每盒之间互不影响，所以P（s）=1X1X1；T要TOC\o"1-5"\h\z3333求每盒颜色不同