第七章 假设检验

第七章假设检验1第1页，课件共70页，创作于2023年2月一、假设检验的提出参数估计是统计推断的一个主要方面假设检验是统计推断的另一个主要方面参数估计：讨论如何根据样本去得到总体分布所含参数的优良估计假设检验：讨论怎样在样本的基础上考察上面所得到的估计值与真实值之间在统计意义上相拟合，从而做出一个有较大把握的结论例如：设某厂生产一种灯管，其寿命X~N(,40000),从过去较长一段时间的生产情况看，灯管的平均寿命为=1500小时，现在使用了新工艺后，在所生产的灯管中抽取25只，测得的平均寿命为1675小时，问：采用新工艺后，灯管的寿命是否有显著提高？拒绝H0(接受H1)--新产品寿命有显著提高接受H0--新产品的寿命没有显著提高H1:新产品的寿命>1500考虑：为判别新产品的寿命是否提高,提出以下两个假设(hypothesis)H0:新产品的寿命=1500备择假设(H1)

(alternative

hypothesis)原假设（或零假设H0）(nullhypothesis)注意：一般情况下,我们选取可能或希望成立的假设作为备择假设(H1)，而将其否定形式作为原假设(H0)有时，原假设的选定还要考虑数学上的处理方便假设检验问题的处理方法

1、对总体分布中的某些参数或对总体分布的类型做某种假设2、根据样本值做出接受还是拒绝所做假设的结论2第2页，课件共70页，创作于2023年2月【例】一种零件的生产标准是直径应为10cm，为对生产过程进行控制，质量监测人员定期对一台加工机床检查，确定这台机床生产的零件是否符合标准要求。如果零件的平均直径大于或小于10cm，则表明生产过程不正常，必须进行调整。试陈述用来检验生产过程是否正常的原假设和备择假设提出假设(例题分析)解：研究者想收集证据予以证明的假设应该是“生产过程不正常”。建立的原假设和备择假设为

H0：

10cmH1：

10cm第3页，课件共70页，创作于2023年2月【例】某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称：平均净含量不少于500克。从消费者的利益出发，有关研究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商的说明是否属实。试陈述用于检验的原假设与备择假设提出假设(例题分析)解：研究者抽检的意图是倾向于证实这种洗涤剂的平均净含量并不符合说明书中的陈述。建立的原假设和备择假设为

H0：

500H1：

<500500g第4页，课件共70页，创作于2023年2月【例】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比例超过30%。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设解：研究者想收集证据予以支持的假设是“该城市中家庭拥有汽车的比例超过30%”。建立的原假设和备择假设为

H0：

30%H1：

30%提出假设(例题分析)第5页，课件共70页，创作于2023年2月参数假设检验非参数假设检验假设检验1、假设(hypothesis)

：在数理统计中，把对总体分布的各种论断称为统计假设，简称为假设(1)、参数假设：关于总体分布中的参数的假设。(2)、非参数假设：不是关于总体分布中的参数的假设如：H0：F(x){对数正态分布族}

H1：F(x){正态分布族}二、假设检验的基本概念2、假设检验(hypothesistest)

：在数理统计中，称判断假设是否成立的方法称为假设检验.依据假设的类型假设检验可分为：以下我们主要研究参数假设检验问题6第6页，课件共70页，创作于2023年2月3、假设检验问题a、对总体分布中的某些参数或对总体分布的类型做某种假设b、根据样本值做出接受还是拒绝所做假设的结论具体地说：(1)如果一个检验问题只提出一个假设，而我们的目的也是为了判断这一假设是否成立，并不同时研究其他假设问题，这类假设检验问题成为显著性检验问题(2)一个检验问题可能提出两个甚至更多个假设。如果一个检验问题提出两个假设(设为H0--H1)，且二者必居其一，则称其中一个为基本假设（零假设或原假设），另一个为它的对立假设（备择假设）本章所讨论的假设检验问题就是利用样本的信息在原假设H0与备择假设H1之间做出拒绝哪一个接受哪一个的判断，这类假设检验问题成为H0对H1的检验问题7第7页，课件共70页，创作于2023年2月

§7.1.2假设检验的基本思想一、检验法1、从样本(X1,

X2,

…

,

Xn)出发，构造出一个是用于检验H0的统计量，并且，当H0成立时，统计量T的分布或渐近分布是已知的，2、制定一个对每一样本观测值都可明确的决定拒绝还是接受H0的法则，在样本值(x1,x2,…,xn)确定之后，按照这个法则做出判断拒绝H0

，还是拒绝H1，这个法则称为H0对H1的检验法则二、

检验法则-------------在样本值(x1,x2,…,xn)确定之后，统计量的值T也确定了，把统计量的所有可能的取值分为两个集合E与Ē,其中P(T

E)=

(很小），根据小概率事件原理：如果T

E,则拒绝原假设H0(即接受备择假设H1)如果T

Ē,则接受原假设H0(即拒绝备择假设H1)注意：1、检验法则逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理

2、如果是要检验参数，统计量T常选为要检验的参数的点估计若样本值(x1,x2,…,xn)

W若样本值(x1,x2,…,xn)

称为显著性水平(Levelofsignificance)(或检验水平)，

W称为拒绝域，称为接受域P((X1,

X2,

…

,

Xn)

W)=

(很小）样本值(x1,x2,…,xn)分为两个集合W与8第8页，课件共70页，创作于2023年2月假设检验的基本思想...因此我们拒绝假设

=50...如果这是总体的真实均值,那么会以较大的概率保证样本均值距50较近样本均值m=50抽样分布H0这个值不像我们应该得到的样本均值...小概率事件发生了20第9页，课件共70页，创作于2023年2月0临界值显著性水平a样本统计量拒绝H0H0成立时的抽样分布1-

置信水平观察到的样本统计量三、假设检验问题的一般步骤

1、根据问题的要求提出原假设H0和备择假设H12、选取检验统计量T(X1,

X2,

…

,

Xn)，在H0成立的情形下，确定其分布。对于给定的显著性水平a,找到H0的拒绝域W和接受域3、如果根据样本值(x1,x2,…,xn)求出的检验统计值T，出现了(x1,x2,…,xn)

W(小概率事件发生了),则拒绝

H0

,否则接受H0显著性水平a和拒绝域

(右侧检验)第10页，课件共70页，创作于2023年2月显著性水平a和拒绝域

(左侧检验)0临界值a样本统计量拒绝H0H0成立时的抽样分布1-

置信水平观察到的样本统计量第11页，课件共70页，创作于2023年2月显著性水平

和拒绝域

(双侧检验)0临界值临界值a/2

a/2

样本统计量拒绝H0拒绝H0H0成立时的抽样分布1-

置信水平第12页，课件共70页，创作于2023年2月

§7.1.3假设检验中的两类错误一、第一类错误：拒真

P(拒绝H0|H0为真)=----犯第一类错误的概率即P((

x1,x2,…,xn)

W|H0为真)=

假如我们给出了H0对H1的某个检验法则,也有了样本(x1,x2,…,xn)

的拒绝域

W，和接受域，但由于样本的随机性，在进行判断时，还是有可能犯两类错误：二、第二类错误：受伪

P(接受H0|H0为假)=

----犯第二类错误的概率即P((

x1,x2,…,xn)

|H0为假)=

13第13页，课件共70页，创作于2023年2月14第14页，课件共70页，创作于2023年2月15第15页，课件共70页，创作于2023年2月16第16页，课件共70页，创作于2023年2月17第17页，课件共70页，创作于2023年2月H0检验决策总体情况H0为真H0为假接受H0正确决策(1–a)第Ⅱ类错误(b)拒绝H0第Ⅰ类错误(a)正确决策(1-b)我们希望进行假设检验时，所找到的W能使犯第两类错误的概率都很小，但在样本容量给定后，要使a、b都很小是不可能的，否则将会导致样本容量无限增大,这又是不切实际的。基于这种考虑,奈曼与皮尔逊(Neyman-Pearson)提出一个原则即在控制犯第一类错误a的条件下，尽量使犯第二类错误b小（人们常常把拒真比受伪

看的更重些）18第18页，课件共70页，创作于2023年2月§7.2一个正态总体的参数假设检验§7.2.1均值

的假设检验设总体X~N(,2),考虑参数,2的假设检验,检验水平为

样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X。考虑均值

的三种形式的假设(1)H0：

=

0

H1：

0(2)H0：

=

0H1：

0(3)H0：

=

0H1：

<

0其中

0是某个给定的数单边检验双边假设单边假设双边检验19第19页，课件共70页，创作于2023年2月一、

2已知（U检验法）

设总体X~N(,2),

2=

02已知，

是待检参数,检验水平为

样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X。由于样本均值是总体

的好的估计量，

是待检参数,检验水平为，(X1,X2,…,Xn)来自总体X。当H0为真时，的取值应在

0

的附近，而所以对X~N(

,

2/n)

即当H0为真时，U的取值应在0的附近，这时，若一次抽样所得样本值使得U的值太大或太小，就应该拒绝H00临界值临界值a/2

a/2

拒绝H0拒绝H01-

置信水平检验水平为

时，对双侧检验，拒绝域20第20页，课件共70页，创作于2023年2月检验水平为

时，拒绝域考虑

2已知时均值

的三种形式的假设(1)H0：

=

0

H1：

0(2)H0：

=

0H1：

0(3)H0：

=

0H1：

<

0其中

0是某个给定的数O

-U

OU

O

/2U

/2

/2-U

/221第21页，课件共70页，创作于2023年2月求得U=1.08例1：某厂一车间生产一零件，其直径据经验服从N(,5.2)，为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量为n=100的样本，样本均值x=26.56，要求在显著性水平

=0.05下检验双边假设H0：

=

26解：方差

2=5.2已知，利用公式而由

=0.05，查标准正态分布表得U

/2=U0.025=1.96可见|U|=1.08<1.96=U

/2=U0.025O/2U/2/2-U/2所以不能拒绝原假设H0：

=

26因而认为生产是正常的22第22页，课件共70页，创作于2023年2月求得U=1.08例2：某厂一车间生产一零件，其直径据经验服从N(,5.2)，为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量为n=100的样本，样本均值x=26.56，要求在显著性水平

=0.05下检验右边假设H0：

=

26H1：

>

26解：方差

2=5.2已知，利用公式而由

=0.05，查标准正态分布表得U

=U0.05=1.64可见U=1.08<1.64=U

=U0.05OU

所以不能拒绝原假设H0：

=

26因而认为生产是正常的23第23页，课件共70页，创作于2023年2月求得U=1.08例3：某厂一车间生产一零件，其直径据经验服从N(,5.2)，为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量为n=100的样本，样本均值x=26.56，要求在显著性水平

=0.05下检验左边假设H0：

=

26H1：

<26解：方差

2=5.2已知，利用公式而由

=0.05，查标准正态分布表得U

=U0.05=1.64可见-U

=-U0.05=-1.64<

1.08=U所以不能拒绝原假设H0：

=

26因而认为生产是正常的O

-U

24第24页，课件共70页，创作于2023年2月二、

2未知（T检验法）

设总体X~N(,2),

2=

02未知，

是待检参数,检验水平为

样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X。由于样本均值是总体

的好的估计量，

是待检参数,检验水平为，(X1,X2,…,Xn)来自总体X。当H0为真时，的取值应在

0

的附近，而

2未知所以自然想到以S代替

X~N(

,

2/n)即当H0为真时，T的取值应在0的附近，这时，若一次抽样所得样本值使得T的值太大或太小，就应该拒绝H00临界值临界值a/2

a/2

拒绝H0拒绝H01-

置信水平检验水平为

时,对双侧检验,拒绝域25第25页，课件共70页，创作于2023年2月检验水平为

时，拒绝域考虑

2未知时均值

的三种形式的假设(1)H0：

=

0

H1：

0(2)H0：

=

0H1：

0(3)H0：

=

0H1：

<

0其中

0是某个给定的数O

-t

Ot

O

/2t

/2

/2-t

/226第26页，课件共70页，创作于2023年2月例1：检验某种型号玻璃纸的横向延伸率(%),测得100个数据如表所示假设总体服从正态分布，现在要检验假设在显著性水平

=0.05下检验双边假设H0：

=65延伸率32.537.539.541.543.545.547.549.5频数781199121714延伸率51.553.555.557.559.561.563.5频数5320201而由

=0.05，查t-分布表得t

/2(99)=t0.025(99)

=1.98求得T=34.27可见|T|=34.27>1.98=t

/2=t0.025所以拒绝原假设H0：

=

65因而认为这种型号的玻璃纸没有达到横向延伸率的指标解：方差

2未知，利用公式由样本算出O

/2t

/2

/2-t

/227第27页，课件共70页，创作于2023年2月§7.2.2方差

2

的假设检验考虑方差

2的三种形式的假设(1)H0：

2

=

02

H1：

2

0

2(2)H0：

2

=

0

2

H1：

2

02(3)H0：

2

=

0

2

H1：

2

<

0

2其中

02是某个给定的数28第28页，课件共70页，创作于2023年2月一、

已知（

2检验法）

设总体X~N(,2),

=

0已知，

2是待检参数,检验水平为

样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X。由于样本方差是总体

2的好的估计量，当H0:

2

=

02为真时，S2的取值应在

0

2

的附近，但

=

0已知，所以对S2中的样本均值，用总体均值替代更加准确，既有即当H0为真时，

2的取值应在n的附近，这时，若一次抽样所得样本值使得

2

的值太大或太小，对双侧检验，就应该拒绝H0检验水平为

时，对双侧检验，拒绝域W29第29页，课件共70页，创作于2023年2月检验水平为

时，拒绝域W考虑方差

2的三种形式的假设(1)H0:

2

=

02

H1：

2

0

2(2)H0:

2

=

0

2

H1：

2

02(3)H0:

2=

0

2

H1：

2

<

0

230第30页，课件共70页，创作于2023年2月二、

未知（

2检验法）

设总体X~N(,2),

=

0未知，

2是待检参数,检验水平为

样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X。由于样本方差S2是总体

2的好的估计量，当H0:

2

=

02为真时，S2的取值应在

0

2

的附近，所以对即当H0为真时，

2的取值应在n-1的附近，这时，若一次抽样所得样本值使得

2

的值太大或太小，对双侧检验，就应该拒绝H0检验水平为

时，对双侧检验，拒绝域W31第31页，课件共70页，创作于2023年2月检验水平为

时，拒绝域W考虑方差

2的三种形式的假设(1)H0:

2

=

02

H1：

2

0

2(2)H0:

2

=

0

2

H1：

2

02(3)H0:

2=

0

2

H1：

2

<

0

232第32页，课件共70页，创作于2023年2月求得

2=44.5解：利用公式而由

=0.05，查

2分布表得

2

(n-1)=

2

0.05(30)=43.8可见

2=44.5>43.8=

2

0.05(30)所以拒绝原假设H0：

2

=

0.18说明自动机床工作一段时间后精度变差例1：一自动机床加工零件的长度服从N(,

2)，原来加工精度为02=0.18，经过一段时间后，要检验一下这一车床生产是否保持原来加工精度，即检验H0:

2

=

0.18,H1:

2>0.18,为此抽取这车床所加工n=31个零件，测得数据如下表所示，要求在显著性水平

=0.05下检验右边假设。1371063110.110.310.611.211.511.812.0频数ni零件长度xi33第33页，课件共70页，创作于2023年2月§7.3两个正态总体的参数假设检验§7.3.1两个正态总体均值的差异性检验设样本(X1,X2,…,Xn1)

来自正态总体X~N(

1,

12),

(Y1,Y2,…,Y

n2)来自正态总体Y~N(

2,

22)，并假定X与Y相互独立,检验水平为

考虑三种形式的假设(1)H0:

1=

2

H1:

1

2(2)H0:

1=

2H1:

1

2(3)H0:

1=

2H1:

1

<

2若令

=

1-

2，则变为(1*)H0*:

=

0

H1*:

0(2*)H0*:

=

0

H1*:

0(3*)H0*:

=

0

H1*:

<034第34页，课件共70页，创作于2023年2月1、

12,

22都已知样本(X1,X2,…,Xn1)

来自总体X~N(

1,

12),

(Y1,Y2,…,Y

n2)来自总体Y~N(

2,

22)，并假定X与Y相互独立由于令

=

1-

2，当H0*:

=

0

成立时，有即即当H0*:

=

0

为真时,U的取值在0附近，从而检验水平为

时拒绝域W分别由下式得到35第35页，课件共70页，创作于2023年2月2、

12,,=

22=

2,但

2未知

由定理（5.10）即当H0*:

=

0

成立时,T的取值在0附近，从而检验水平为

时拒绝域W分别见下式O

-t

Ot

O

/2t

/2

/2-t

/236第36页，课件共70页，创作于2023年2月解：依题意提出假设H0:

1=

2

H1:

1

2例1：卷烟一厂向化验室送去A,B两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同，从A,B中各随机抽取重量相同的5例进行化验，测得尼古丁的含量(单位:毫克)，并由此得到:拒经验知,A的尼古丁含量服从N(1,5),B的尼古丁含量服从N(2,8).问两种烟草的尼古丁平均含量

1、

2是否有差异（

=0.05）由于

12,

22都已知，故利用公式求出U=－1.612而

=0.05，查标准正态分布表得U

/2=U0.025=1.96可见|U|=1.612<1.96=U0.025=U

/2,所以接受原假设H0:

1=

2因而认为两种烟草的尼古丁平均含量无差异。37第37页，课件共70页，创作于2023年2月解：依题意提出假设H0:

1=

2

H1:

1

2例2：为比较A,B两种型号灯泡的寿命差异，随机抽取A型灯泡5只，测得，方差S12=965.2，随机抽取B型灯泡5只，测得，方差S22=1076.2，设总体都是正态的，并且知它们的方差相等.问平均寿命

1、

2是否有差异（

=0.05）利用公式求出T=－0.267而

=0.05，查t-分布表得t

/2(8)=t0.025(8)=2.306可见|T|=0.267<2.306=t0.025=t

/2,所以接受原假设H0:

1=

2因而认为A,B两种型号灯泡的平均寿命无差异。O

/2t

/2

/2-t

/238第38页，课件共70页，创作于2023年2月§7.3.2两个正态总体方差的差异性检验(F-检验法)设样本(X1,X2,…,Xn1)

来自总体X~N(

1,

12),

(Y1,Y2,…,Y

n2)来自总体Y~N(

2,

22)，并假定X与Y相互独立,检验水平为

考虑两种形式的假设(1)H0:

12

=

22

H1:

12

22

(2)H0:

12

22

H1:

12

22

39第39页，课件共70页，创作于2023年2月1、

1，

2未知考虑两种形式的假设(1)H0:

12

=

22

H1:

12

22

(2)H0:

12

22

H1:

12

22

对假设(1)当H0:

12

=

22为真时F的值不能太大或太小从而检验水平为

时拒绝域W总体方差的差异性可用样本方差的比较体现40第40页，课件共70页，创作于2023年2月考虑两种形式的假设(1)H0:

12

=

22

H1:

12

22

(2)H0:

12

22

H1:

12

22

对假设(2)当H0:

12

22为真时F的值不能太大，从而检验水平为

时拒绝域W41第41页，课件共70页，创作于2023年2月2、

1，

2已知考虑两种形式的假设(1)H0:

12

=

22

H1:

12

22

(2)H0:

12

22

H1:

12

22

对假设(1)当H0:

12

=

22为真时F的值不能太大或太小从而检验水平为

时拒绝域W42第42页，课件共70页，创作于2023年2月考虑两种形式的假设(1)H0:

12

=

22

H1:

12

22

(2)H0:

12

22

H1:

12

22

对假设(2)当H0:

12

22为真时F的值不能太大，从而检验水平为

时拒绝域W43第43页，课件共70页，创作于2023年2月例1：从两处煤矿各抽样数次,分析其含灰率(%)，假定各煤矿含灰率,都服从正态分布,依次取容量为5,4的两独立样本，测得样本方差S12=7.505，S22=2.593,问两处煤矿的含灰率的方差是否有显著差异（

=0.05）解：依题意提出假设H0:

12

=

22

H1:

12

22

利用公式求出F2.894而

=0.05,查F分布表得F

/2(4,3)=F0.025(4,3)=15.10可见0.10<2.894<15.10,所以接受原假设H0:

12

=

22因而认为两处煤矿的含灰率的方差无显著差异F1-

/2(4,3)=F0.975(4,3)=1/F0.025(3,4)=1/9.980.1044第44页，课件共70页，创作于2023年2月例2：有甲乙两台车床生产同一型号的滚珠，且这两台车床生产的滚珠的直径服从正态分布,现从这两台车床生产的产品中分别8个和9个滚珠，测得直径(单位：mm),并求得样本方差S12=0.096,S22=0.026,问甲车床生产的滚珠的直径的方差是否不超过乙车床（

=0.05）解：依题意提出假设H0:

12

22

H1:

12

22

利用公式求出F3.96而

=0.05,查F分布表得F

(7,8)=F0.05(7,8)=3.50可见F3.96

>3.50=F0.05(7,8),所以拒绝原假设H0:

12

22，接受H1:

12

22，因而认为甲车床生产的滚珠的直径的方差大于乙车床45第45页，课件共70页，创作于2023年2月在上一讲中，我们已经了解了假设检验的基本思想，并讨论了当总体分布为正态时，关于其中未知参数的假设检验问题.然而可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体分布提出一个假设.第46页，课件共70页，创作于2023年2月例如，从1500到1931年的432年间，每年爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据如下:战争次数X01234

22314248154

发生X次战争的年数第47页，课件共70页，创作于2023年2月在概率论中，大家对泊松分布产生的一般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似描述.也就是说，我们可以假设每年爆发战争次数分布X近似泊松分布.上面的数据能否证实X具有泊松分布的假设是正确的？现在的问题是：第48页，课件共70页，创作于2023年2月又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查，抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢）按秒记录下来.问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？第49页，课件共70页，创作于2023年2月再如，某工厂制造一批骰子，声称它是均匀的.为检验骰子是否均匀,要把骰子实地投掷若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.也就是说，在投掷中，出现1点，2点，…，6点的概率都应是1/6.得到的数据能否说明“骰子均匀”的假设是可信的？问题是：第50页，课件共70页，创作于2023年2月K.皮尔逊这是一项很重要的工作，不少人把它视为近代统计学的开端.解决这类问题的工具是英国统计学家K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进的所谓

检验法.第51页，课件共70页，创作于2023年2月

检验法是在总体X的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种检验方法.第52页，课件共70页，创作于2023年2月

H0：总体X的分布函数为F(x)

然后根据样本的经验分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设.使用

对总体分布进行检验时，我们先提出原假设:检验法这种检验通常称作拟合优度检验，它是一种非参数检验.第53页，课件共70页，创作于2023年2月在用

检验假设H0时，若在H0下分布类型已知，但其参数未知，这时需要先用极大似然估计法估计参数，然后作检验.检验法分布拟合的

的基本原理和步骤如下:检验法第54页，课件共70页，创作于2023年2月3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的样本值的理论频数.1.将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小区间,记作A1,A2,…,Ak.2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记作fi，称为实测频数.所有实测频数之和f1+f2+…+fk等于样本容量n.第55页，课件共70页，创作于2023年2月标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.皮尔逊引进如下统计量表示经验分布与理论分布之间的差异:统计量的分布是什么?在理论分布已知的条件下,npi是常量实测频数理论频数第56页，课件共70页，创作于2023年2月皮尔逊证明了如下定理:若原假设中的理论分布F(x)已经完全给定，那么当时，统计量的分布渐近(k-1)个自由度的分布.如果理论分布F(x)中有r个未知参数需用相应的估计量来代替，那么当时，统计量的分布渐近(k-r-1)个自由度的分布.第57页，课件共70页，创作于2023年2月为了便于理解，我们对定理作一点直观的说明.第58页，课件共70页，创作于2023年2月是k个近似正态的变量的平方和.这些变量之间存在着一个制约关系：故统计量渐近(k-1)个自由度的分布.在理论分布F(x)完全给定的情况下，每个pi

都是确定的常数.由棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理，当n充分大时，实测频数fi

渐近正态，因此第59页，课件共70页，创作于2023年2月在F(x)尚未完全给定的情况下，每个未知参数用相应的估计量代替，就相当于增加一个制约条件，因此，自由度也随之减少一个.若有r个未知参数需用相应的估计量来代替，自由度就减少r个.此时统计量渐近(k-r-1)