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精品文档-下载后可编辑圆锥曲线中的一类最值问题一、问题

（1）已知椭圆■+■=1，（a>b>0），焦点F1，F2，点P（x，y）为椭圆上任意一点，P为何位置时，|PF2|最小。

（2）已知双曲线■-■=1，（a>0，b>0），焦点F1，F2，点P（x，y）为双曲线上任意一点，P为何位置时，|PF2|最小。

（3）已知抛物线y2=2px（p>0），焦点F，点P（x，y）为抛物线上任意一点，P为何位置时，|PF2|最小。

解：（1），（2），（3），当P为相应顶点时，|PF1|最小。

证明：（1）由椭圆的第二定义，■=e，当P为A2时，|PF2|最小（A2为椭圆右顶点）。

（2）由双曲线的第二定义，■=e，当P为A2时，|PF2|最小（A2为双曲线右顶点）。

（3）由抛物线的定义，|PF|=d，当P为原点时，|PF|最小|。

二、知识延伸

在上述三个问题中，若点M（m，0）为X轴上任意一点，求P位于何位置时，|PM|最小。

证明：（1）|PM|=■，由■+■=1，

得|PM|=■

=■

对称轴方程x=■，

①当-a

②当■≥a，即m≥■，在x=a时，|PM|最小。

③当■≤-a，即m≤-■，在x=-a时，|PM|最小。

（2）|PM|=■，由■-■=1，

得|PM|=■

=■

对称轴方程x=■，

①当■>a时，即m>■，在x=■时，|PM|最小。

②当0≤■≤a时，即0≤m≤■，在x=a时，|PM|最小。

③当-a≤■

④当■

（3）|PM|=■，由y2=2px，

得|PM|=■

=■

对称轴方程x=m-p，

①当m-p≤0时，即m≤p，在x=0时，|PM|最小。

②当m-p>0时，即m>p，在x=m-p时，|PM|最小。

三、应用

例1（2022德州模拟）：对抛物线y2=2x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围（）

A.[0，1]B.（0，1）C.（-∞，1]D.（-∞，0]

解析：当a≤1=P时，（P为抛物线焦准距），在原点时|PQ|最小，显然满足|PQ|≥|a|，故选C。

例2（2022重庆卷）：设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为。

解析：设圆心M（m，0），半径为r，P（x，y）为抛物线上动点，

则m>1=P（P为抛物线焦准距），

在x=m-1时，即P（m-1，■，|PM|最小，

即圆M与抛物线相切于点P。

r=|PM|=■=3-m（m

m=4-■，r=■-1。

例3：已知椭圆C：■+y2=1（m>1），P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A（2，0）。若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围？

解析：当■≥a，即m≥■，在x=a时，|PM|最小（见上文），所以2≥■，即m2

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