冀教版九年级数学上册同步练习：28.5　弧长和扇形面积的计算

冀教版九年级数学上册同步练习：28.5弧长和扇形面积的计算第页28.5弧长和扇形面积的计算知识点1弧长公式l＝eq\f(nπr,180)(n°为圆心角，r为半径)1．假设扇形的半径为6，圆心角为120°，那么此扇形的弧长是()A．3πeq\a\vs4\al(B).4πeq\a\vs4\al(C).5πeq\a\vs4\al(D).6π2．2023·哈尔滨扇形的弧长为4π，半径为48，那么此扇形的圆心角为______度．3．扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，那么扇形的半径为__________cm.4．如图28－5－1，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°.当BC＝4时，求eq\o(AC,\s\up8(︵))的长．图28－5－1知识点2扇形面积公式S＝eq\f(nπr2,360)(n°为圆心角，r为半径)5．扇形OBC的圆心角为90°，半径为eq\r(5)，那么该扇形的面积是()A.eq\f(\r(5)π,4)eq\a\vs4\al(B).eq\f(5π,4)eq\a\vs4\al(C).eq\f(4π,5)eq\a\vs4\al(D).20π6．教材练习第2题变式一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，那么此扇形的圆心角的度数是()A．300°eq\a\vs4\al(B).150°eq\a\vs4\al(C).120°eq\a\vs4\al(D).75°7．2023·菏泽一个扇形的圆心角为100°，面积为15πcm2，那么此扇形的半径为______cm.8．平面内，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，那么线段AB扫过的面积是________．知识点3圆锥的侧面展开图、母线与高9．2023·无锡假设圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，那么它的侧面展开图的面积为______cm2.10．一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为__________cm.11．如图28－5－2，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，那么这个纸帽的高是________cm.图28－5－212．如图28－5－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.以直线AB为轴，把△ABC旋转一周，求所得几何体的外表积．图28－5－313．2023·咸宁如图28－5－4，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，假设∠BOD＝∠BCD，那么eq\o(BD,\s\up8(︵))的长为()图28－5－4A．πeq\a\vs4\al(B).eq\f(3,2)πeq\a\vs4\al(C).2πeq\a\vs4\al(D).3π14．2023·枣庄如图28－5－5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2eq\r(3)，那么阴影局部的面积为()图28－5－5A．2πeq\a\vs4\al(B).πeq\a\vs4\al(C).eq\f(π,3)eq\a\vs4\al(D).eq\f(2π,3)15．如图28－5－6，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)，当α由小到大变化时，图中阴影局部的面积()A．由小到大eq\a\vs4\al(B).由大到小eq\a\vs4\al(C).不变eq\a\vs4\al(D).先由小到大，后由大到小图28－5－6图28－5－716．2023·宁波如图28－5－7，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，那么图中阴影局部的面积为________．17．如图28－5－8分别是边长均大于2的三角形，四边形，…，凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两相邻边相交，得到3个，4个，…，n个扇形．(1)三角形中3条弧长的和为________，3个扇形的面积的和为________；(2)四边形中4条弧长的和为________，4个扇形的面积的和为________；(3)凸n边形中n条弧长的和为________，n个扇形的面积的和为________．图28－5－818．如图28－5－9所示，圆锥的底面半径r＝10cm，母线长为40cm.(1)求它的侧面展开图的圆心角和面积；(2)假设一甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所爬行的最短路程是多少？图28－5－919．如图28－5－10，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③.∠O＝60°，OA＝1.(1)求点O所运动的路径长；(2)求点O走过的路径与直线l围成的面积．图28－5－1020．P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图28－5－11)．(1)设AB的长为a，PB的长为b(b＜a)，求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影局部)的面积；(2)假设PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．图28－5－111．B[解析]此扇形的弧长为eq\f(120×π×6,180)＝4π.2．15[解析]设扇形的圆心角为n°，那么eq\f(nπ×48,180)＝4π，解得n＝15.3．15[解析]扇形的弧长l＝eq\f(nπr,180)＝eq\f(120×π×r,180)＝10π，解得r＝15.4．解：∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC＝∠D＝60°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝180°－90°－60°＝30°.连接OC.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO＝30°，∴∠AOC＝180°－2×30°＝120°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC为等边三角形，∴OC＝BC＝4，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))的长为eq\f(120π×4,180)＝eq\f(8,3)π.5．B6．B[解析]∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，∴S＝eq\f(1,2)lr，即60π＝eq\f(1,2)×10π×r，解得r＝12，∴S＝60π＝eq\f(nπ×122,360)，解得n＝150.应选B.7．3eq\r(6)[解析]设该扇形的半径为r，那么eq\f(100π×r2,360)＝15π，解得r＝3eq\r(6)，即该扇形的半径为3eq\r(6)cm.8.eq\f(2,3)π[解析]线段AB扫过的面积S＝2×eq\f(30π×22,360)＝eq\f(2,3)π.9．15π[解析]圆锥的底面半径为3cm，那么其底面周长＝6πcm，∴其侧面展开图面积＝eq\f(1,2)×6π×5＝15π(cm2)．10．25[解析]扇形的弧长是eq\f(150π×60,180)＝50π(cm)，设圆锥的底面半径是rcm，那么2πr＝50π，解得r＝25.11．4eq\r(2)[解析]∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为eq\f(120×π×6,180)＝4π，∴圆锥的底面圆的周长为4π，因此圆锥的底面圆的半径为2，∴这个纸帽的高为eq\r(62－22)＝4eq\r(2)(cm)．故答案为4eq\r(2).12．解：由勾股定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，斜边上的高为eq\f(6×8,10)＝4.8，由题意易知几何体是由两个圆锥组成的，那么几何体的外表积为eq\f(1,2)×2×4.8π×(6＋8)＝67.2π.13．C[解析]∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD＋∠A＝180°.∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，∴2∠A＋∠A＝180°，解得∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))的长＝eq\f(120π×3,180)＝2π.应选C.14．[全品导学号：27572231]D[解析]∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°.又∵弦CD⊥AB，CD＝2eq\r(3)，∴OC＝eq\f(\f(1,2)CD,sin60°)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，∴S阴影＝S扇形COB＝eq\f(60×π×22,360)＝eq\f(2π,3).应选D.C[解析]如图，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，连接DC.∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，DM＝eq\f(\r(2),2)AD＝eq\f(\r(2),4)AB，DN＝eq\f(\r(2),2)BD＝eq\f(\r(2),4)AB，∴DM＝DN.又∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DMCN是正方形，∴∠MDN＝90°，∴∠MDG＝90°－∠GDN.∵∠EDF＝90°，∴∠NDH＝90°－∠GDN，∴∠MDG＝∠NDH.在△DMG和△DNH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MDG＝∠NDH，,DM＝DN，,∠DMG＝∠DNH，))∴△DMG≌△DNH，∴四边形DGCH的面积＝正方形DMCN的面积．∵正方形DMCN的面积＝DM2＝eq\f(1,8)AB2，∴四边形DGCH的面积＝eq\f(1,8)AB2.∵扇形DFE的面积＝eq\f(90·π·CD2,360)＝eq\f(πAB2,16)，∴阴影局部的面积＝扇形DEF的面积－四边形DGCH的面积＝eq\f(〔π－2〕AB2,16)(定值)．16．eq\f(π,4)[解析]∵弦CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∴S阴影＝S扇形OCD＝eq\f(90,360)×π×12＝eq\f(π,4).故答案为eq\f(π,4).17．(1)πeq\f(1,2)π(2)2ππ(3)(n－2)πeq\f(n－2,2)π[解析](1)根据题意，设三角形三个内角的度数分别为n°1，n°2，n°3，那么根据三角形内角和公式，有n°1＋n°2＋n°3＝180°.又半径为1，所以3条弧长的和l＝eq\f(n1πr,180)＋eq\f(n2πr,180)＋eq\f(n3πr,180)＝eq\f(〔n1＋n2＋n3〕πr,180)＝π，3个扇形的面积和为S＝eq\f(n1πr2,360)＋eq\f(n2πr2,360)＋eq\f(n3πr2,360)＝eq\f(〔n1＋n2＋n3〕πr2,360)＝eq\f(π,2).类似地，四边形的内角和为360°，n边形的内角和为180°(n－2)，从而可得答案．18．解：(1)eq\f(nπ×40,180)＝2π×10，解得n＝90.圆锥侧面展开图的面积为eq\f(1,2)×(2π×10)×40＝400π(cm2)．即它的侧面展开图的圆心角为90°，面积为400πcm2.(2)如图，将圆锥的侧面展开，连接AB.由圆锥的侧面展开图，得甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路程是线段AB的长．在Rt△ASB中，SA＝40cm，SB＝20cm，∴AB＝eq\r(SA2＋SB2)＝eq\r(402＋202)＝20eq\r(,5)(cm)．∴甲虫所走的最短路程是20eq\r(,5)cm.19．解：(1)从图①到图②，点O运动的轨迹是一个以A为圆心，OA为半径的四分之一圆弧，l1＝eq\f(2π×1,4)＝eq\f(π,2)；从图②开始旋转到图②旋转结束，即从OA垂直于l旋转到OB′垂直于l，点O运动的轨迹是一段直线段，长度与弧AB的长度相等，l2＝eq\f(2π×1,6)＝eq\f(π,3)；从图②旋转结束到图③，点O运动的轨迹是一个以B为圆心，OB为半径的四分之一圆弧，l3＝eq\f(2π×1,4)＝eq\f(π,2)，∴点O所运动的路径长为eq\f(π,2)＋eq\f(π,3)＋eq\f(π,2)＝eq\f(4,3)π.(2)点O走过的路径与直线l围成的面积是一个半圆与长为eq\f(π,3)、宽为1的矩形的面积和，即eq\f(π×12,2)＋1×eq\f(π,3)＝eq\f(5π,6).20．解：(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置