江苏省大丰市新丰中学2022-2023学年度第二学期苏教版高一数学期末复习-知识点归纳

江苏省大丰市新丰中学2023-2023学年度第二学期苏教版高一数学期末复习知识点归纳第页新丰中学高一期末知识点复习三角函数知识点回忆一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角相同的角的集合为(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是④假设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，那么，，．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)．〔三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦〕3．特殊角的三角函数值二、同角三角函数的根本关系与诱导公式1．同角三角函数的根本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α，．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.诱导公式可概括为k·eq\f(π,2)±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．〔、、三个式子知一可求二〕(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ=sin＝taneq\f(π,4)〔4〕齐次式化切法：，那么三、三角函数的图像与性质知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：2、正弦、余弦、正切函数的图像和性质函数函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴3、研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的。在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。四、函数的图像和三角函数模型的简单应用几个物理量：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③频率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函数表达式确实定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定.函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，那么，，．3、函数图象的画法：①“五点法〞――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数y＝sinx的图象经变换可得到的图象yy=sinxy=sinxXXXxxx横坐标伸〔缩〕倍左〔右〕平移纵坐标伸〔缩〕A倍y=sinx左〔右〕平移纵坐标伸〔缩〕A倍横坐标伸〔缩〕倍左〔右〕平移横坐标伸〔缩〕倍横坐标伸〔缩〕倍纵坐标伸〔缩〕A倍横坐标伸(缩)倍纵坐标伸〔缩〕A倍左〔右〕平移左〔右〕平移纵坐标伸〔缩〕A倍三角恒等变换知识点回忆1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸〔〕；=6\*GB2⑹〔〕．如；〔答案：〕2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．如cos2eq\f(5π,12)＋cos2eq\f(π,12)＋coseq\f(5π,12)coseq\f(π,12)的值等于；〔答案：eq\f(5,4)〕=2\*GB2⑵升幂公式降幂公式，．=3\*GB2⑶．3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：，其中．4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法．常用的方法技巧如下：〔1〕角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；问：；；⑤；等等.如[1].〔答案：〕[2]假设cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，且eq\f(π,2)＜α－β＜π，eq\f(3π,2)＜α＋β＜2π，那么cos2α＝_____，cos2β＝_____.〔答案：－eq\f(7,25)，－1〕[3]那么；〔答案：〕〔2〕函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是根底，通常化切为弦，变异名为同名〔二弦归一〕。如；〔3〕常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1〞的代换变形有：〔4〕幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。有时需要升幂，常用升幂公式有：；.如对无理式常用升幂化为有理式.〔5〕公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：；；〔其中；〕〔6〕三角函数式的化简运算根本规那么：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。解三角形知识点回忆1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：1、=1\*GB3①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；=2\*GB3②.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.=3\*GB3③.锐角三角形性质：假设A>B>C那么.2、三角形三边关系：a+b>c;a-b<c3、三角形中的根本关系：〔1〕和角与差角公式〔2〕二倍角公式sin2α=2cosαsinα.〔3〕辅助角公式〔化一公式〕其中4、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，那么有．5、正弦定理的变形公式：=1\*GB3①化角为边：，，；=2\*GB3②化边为角：，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④=2R6、两类正弦定理解三角形的问题：=1\*GB3①两角和任意一边，求其他的两边及一角.=2\*GB3②两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况〔一解、两解、三解〕)7、三角形面积公式：．=2R2sinAsinBsinC==8、余弦定理：在中，有，，9、余弦定理的推论：，，．注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：10、余弦定理主要解决的问题：=1\*GB3①两边和夹角，求其余的量。=2\*GB3②三边求角11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设、、是的角、、的对边，那么：=1\*GB3①假设，那么；=2\*GB3②假设，那么；=3\*GB3③假设，那么．12、三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点空间几何体知识点总结一.空间几何体的外表积与体积⑴圆柱侧面积；⑵圆锥侧面积：⑶圆台侧面积：球的外表积和体积.正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。二.平面根本性质即三条公理公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线公理2的三条推论：推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。〔既不平行，也不相交〕三．直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内——有无数个公共点．符号aα相交——有且只有一个公共点符号a∩α=A平行——没有公共点符号a∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示1．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，那么称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。简记为：线线平行，那么线面平行。符号：2．直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行，那么线线平行.符号:3．直线与平面垂直⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。简记为：线线垂直，那么线面垂直.符号：4.直线与平面垂直性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号：性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行符号：推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．符号语言：a∥b,a⊥α，⇒b⊥α四．平面与平面的位置关系：平行——没有公共点：符号α∥β相交——有一条公共直线:符号α∩β=a1．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。简记为：线面平行，那么面面平行.符号：2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。简记为：面面平行，那么线线平行.符号：补充：平行于同一平面的两平面平行；夹在两平行平面间的平行线段相等；两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；3．平面与平面垂直的判定⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。简记为：线面面垂直，那么面面垂直.符号：推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，那么这个平面与另一个平面垂直。4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。简记为：面面垂直，那么线面垂直.证明线线平行的方法①三角形中位线②平行四边形③线面平行的性质④平行线的传递性⑤面面平行的性质⑥垂直于同一平面的两直线平行；证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；〔特别是证明异面直线垂直〕；②线面垂直的性质③利用勾股定理证明两相交直线垂直；④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；五：三种成角1.异面直线成角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角〔或直角〕作为夹角；3、求解注意：取值范围：〔0。,90。].2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：〔0。,90。].如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形取值范围：〔0。,180。〕六.点到平面的距离：定义法和等体积法解析几何知识点总结1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角.当直线与轴重合或平行时,规定倾斜角为.倾斜角的范围.2.直线的斜率：(1)定义：倾斜角不是的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率,即＝tan();倾斜角为的直线没有斜率.(2)斜率公式：经过两点、的直线的斜率为.(3)应用：证明三点共线：.3.直线的方程：(1)点斜式：直线过点斜率为,那么直线方程为,它不包括垂直于轴的直线.说明:①这个方程是由直线上一点和斜率确定的;②当直线的倾斜角为时,直线方程为;③当直线倾斜角为时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程为:.(2)斜截式：直线在轴上的截距为和斜率,那么直线方程为,它不包括垂直于轴的直线.说明:①为直线在轴上截距;②斜截式方程可由过点的点斜式方程得到;③当时,斜截式方程就是一次函数的表示形式.(3)两点式：直线经过、两点,那么直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线.说明:①这个方程由直线上两点确定;②当直线没有斜率()或斜率为时,不能用两点式求出它的方程;但把两点式化为整式形式,就可以利用它来求出过平面内任意两个点的直线的方程:假设,那么有,即;假设,那么有,即.(4)截距式：直线在轴和轴上的截距为,那么直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.说明:①该直线方程由直线在轴和轴上截距确定,所以叫做直线方程的截距式;②截距式的推导可以通过直线的两点式来实现;③在利用直线的截距式求解直线方程时要注意截距相等、截距的绝对值相等、截距成多少倍或互为相反数时,不要忘记直线过原点的特殊情况.(5)一般式：任何直线均可写成(不同时为)的形式.4.设直线方程的一些常用技巧：(1)知直线纵截距,常设其方程为.(2)知直线横截距,常设其方程为(它不适用于斜率为的直线).(3)知直线过点,当斜率存在时,常设其方程为,当斜率不存在时,那么其方程为.(4)与直线平行的直线可表示为.(5)与直线垂直的直线可表示为.(6)过两直线,的交点直线系：(注:该直线系不含.)提醒：求直线方程的根本思想和方法是恰中选择方程的形式,利用待定系数法求解.5.点到直线的距离及两平行直线间的距离：(1)两点的距离(2)点到直线的距离.(3)两平行线间的距离为.6.直线与直线的位置关系：(1)平行(斜率)且或.(2)相交.(3)重合且,.提醒：(1)、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线.(3)直线与直线垂直.7.对称(中心对称和轴对称)问题——代入法.(1)点关于点对称问题抓住中点关系.(2)点关于直线对称问题抓住斜率关系及中点关系.(3)曲线关于点对称问题利用相关点法求轨迹(转化为点关于点对称问题).(4)曲线关于直线对称问题利用相关点法求轨迹(转化为点关于直线对称问题).提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.8.圆的方程：(1)圆的标准方程：.(2)圆的一般方程：,提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆(二元二次方程表示圆的充要条件是什么？(且且)).(3)为直径端点的圆方程.10.点与圆的位置关系：点及圆.(1)点在圆外.(2)点在圆内.(3)点在圆上.11.直线与圆的位置关系：直线和圆有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：那么相交;相离;相切.(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为,那么相交;相离;相切.提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.12.圆与圆的位置关系(用两圆心距与半径之间的关系判断)：两圆的圆心分别为,半径分别为,那么(1)当时,两圆外离;(2)当时,两圆外切;(3)当时,两圆相交;(4)当时,两圆内切;(5)当时,两圆内含.13.圆的切线与弦长：(1)切线：①过圆上一点圆的切线方程是：,过圆上一点圆的切线方程是：,一般地,如何求圆的切线方程？(抓住圆心到直线的距离等于半径);②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;③过两切点的直线(即“切点弦〞)方程的求法：先求出以圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与圆的公共弦就是过两切点的直线方程;③切线长：过圆()外一点所引圆的切线的长为().(2)弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：;②过两圆、交点的圆(公共弦)系为,时,方程表示:两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线.14.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).15.动点轨迹方程：(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围;(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立之间的关系.②待定系数法：所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.④相关点法：动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某曲线上,那么可先用的代数式表示,再将代入曲线得要求的轨迹方程.平面向量知识点回忆一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？〔向量可以平移〕。如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量〔也叫共线向量〕：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！〔因为有)；④三点共线共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如以下命题：〔1〕假设，那么。〔2〕两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。〔3〕假设，那么是平行四边形。〔4〕假设是平行四边形，那么。〔5〕假设，那么。〔6〕假设，那么。其中正确的选项是_______〔答：〔4〕〔5〕〕二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，那么平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三．平面向量的根本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。如〔1〕假设，那么______〔答：〕；〔2〕以下向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.B.C.D.〔答：B〕；〔3〕分别是的边上的中线,且,那么可用向量表示为_____〔答：〕；〔4〕中，点在边上，且，，那么的值是___〔答：0〕四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。五．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积〔或内积或点积〕，记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如〔1〕，与的夹角为，那么等于____〔答：1〕；〔2〕，那么等于____〔答：〕；〔3〕是两个非零向量，且，那么的夹角为____〔答：〕3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如，，且，那么向量在向量上的投影为______〔答：〕4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，那么：②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；③非零向量，夹角的计算公式：；④。如〔1〕，，如果与的夹角为锐角，那么的取值范围是______〔答：或且〕；六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法那么〞进行，但“平行四边形法那么〞只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法那么〞：设，那么向量叫做与的和，即；②向量的减法：用“三角形法那么〞：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如〔1〕化简：①___；②____；③_____〔答：①；②；③〕；〔2〕假设正方形的边长为1，，那么＝_____〔答：〕；2．坐标运算：设，那么：①向量的加减法运算：，。如〔1〕点，，假设，那么当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上〔答：〕；〔2〕作用在点的三个力，那么合力的终点坐标是〔答：〔9,1〕〕②实数与向量的积：。③假设，那么，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设，且，，那么C、D的坐标分别是__________〔答：〕；④平面向量数量积：。如向量＝〔sinx，cosx〕,＝〔sinx，sinx〕,＝〔－1，0〕,假设x＝，求向量、的夹角；⑤向量的模：。如均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____〔答：〕；⑥两点间的距离：假设，那么。七．向量的运算律：1．交换律：，，；2．结合律：，；3．分配律：，。如以下命题中：①；②；③；④假设，那么或；⑤假设那么；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的选项是_____〔答：①⑥⑨〕提醒：〔1〕向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；〔2〕向量的“乘法〞不满足结合律，即，为什么？八．向量平行(共线)的充要条件：＝0。如(1)假设向量，当＝_____时与共线且方向相同〔答：2〕；〔2〕，，，且，那么x＝______〔答：4〕；〔3〕设，那么k＝_____时，A,B,C共线〔答：－2或11〕九．向量垂直的充要条件：.如(1)，假设，那么〔答：〕；〔2〕以原点O和A(4,2)为两个顶点