2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考Ⅰ)

2021年普通高等学校招生全国统一考试(新高考/)

数学

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(2021•新高考/-1)设集合A={n-2＜》＜4},8={2,3,4,5},贝1」4n8=()

A.{2}B.{2,3}

C.{3,4}D.{2,3,4)

命题意图考查集合的交集运算,考查运算求解能力.

解析B："="卜2Vx＜4},2={2,3,4,5},

.：AnB={2,3}.故选B.

2.(2021・新高考/-2)已矢口z=2-i,贝Uz叵+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

命题意图考查复数的运算,考查运算求解能力.

解析C:'z=2-i,

:.z=2+i.

:.z+i=2+2i.

.：z(z+i)=(2-i)(2+2i)=4+2i-2i2=6+2i.

故选C.

解题规律复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项，

不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.

3.(2021•新高考/・3)已知圆锥的底面半径为遮，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.2V2C.4D.4V2

命题意图考查空间几何体的结构、侧面展开图，考查直观想象、数学运算能力.

解析B

设圆锥底面半径为八,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为n.

由条件得,2兀门二g・2兀及，则7*2=2门=2鱼,故该圆锥的母线长为2V2.

故选B.

4.（2021.新高考人4）下列区间中,函数式x）=7sinQ-U单调递增的区间是（）

6

A.（喝B.&n）

C（崂）口卷如）

命题意图考查三角函数的性质，考查逻辑推理、数学运算能力.

解析A由题意知€[-]+2kn,^+2kn],ZWZ,即x€[4+2/cn,-y+2/cnj,/：GZ.当k=Q时，函数

«x）=7sin（x5）的单调递增区间为楂，乳

•••（01）是函数/（x）的一个单调递增区间.故选A.

解题方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin（s+0）形式，再求y=Asin（（ox+9）的

单调区间，只需把蛆+夕看作一个整体代入y=siar的相应单调区间内即可，注意要先把G化为正数.

5.（2021・新高考/-5）已知Q,尸2是椭圆若+*1的两个焦点，点M在C上，则的最大值

为（）

A.13B.12C.9D.6

命题意图考查椭圆的性质、基本不等式，考查逻辑推理、数学运算能力.

解析C由题意知|W|+|MB|=2a=6,

则JIMFJIMF2I<IMFil；|MFzl=3,

则IMF#IW9,当且仅当|=IMF?I=3时，等号成立.

故的最大值为9.

故选C.

6.（2021・新高考/⑹若tan8=-2,则独陪呼=（）

smJ+cosG

A--lB-lc-lDl

命题意图考查三角恒等变换、弦切互化，考查数学运算、逻辑推理能力.

A,n+r-—sinJ（l+sin2。）sin0（sin0+cos^）2•〜.八，八、・，八，・八八sin2^+sin0cos0tan20+tan0

解析Csini=一飞而E—=sm6（sm，+cosO）=sm20+sm6cos，=二小。/=BTF=

4-22

4+1=5'

故选C.

7.（2021・新高考/-7）若过点伍,力可以作曲线产e，的两条切线厕（）

A.efc<aB.e“<6

C.0<a<e&D.0</><ert

命题意图考查导数的几何意义，考查数形结合、逻辑推理能力.

解析D设切点（xo,yo）,

因为y'=e”,所以切线的斜率k-ex°,

则切线方程为y-ex°=ex°（x-xo）.

因为切线过点（a,6）,

所以b-ex0=ex°（a-xo）,

即方程eRa-xo+l）-6=0有两个解.

设g（x）=e*（a-x+1）-/?,

则g'（x）=e*（a-x）=O,

解得x=a,

所以g（X）在区间（-8,4）内单调递增，在区间（。,+8）内单调递减.

由g（a）>0,得ea>b.

结合4个选项，可知选D.

8.（2021.新高考/-8）有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个

球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件

“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7",则（）

A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立

命题意图考查相互独立事件的概率，考查逻辑推理、数学运算能力.

解析B由已知得P（甲）="「（乙足『（丙）=与=总产（丁尸盘=:，

oooxoOOoXoo

P（甲丙）=0,P（甲丁尸白=白,P（乙丙）=E=白『（丙丁）=0.

OXO3。oxo3b

由于P（甲丁尸P（甲）/（丁）=2,根据相互独立事件的性质，知事件甲与丁相互独立，故选B.

36

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分,部分选对的得2分.有选错的得0分。

9.(2021・新高考/9)有一组样本数据xg,…即由这组数据得到新样本数据y02,…9,其中

、户为+以广松…⑷^为非零常数则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

命题意图考查根据样本的特征数据估计总体的特征数据，考查数据分析、逻辑推理能力.

解析CD土=工£的歹=」(f；/+nc)=M+c,故A错误酒组样本数据的样本中位数相差c,故B错

ni=ln\i=i/

1n_in_

误⑼=-E(Xi-X)2,Sy=-2[(为+C)-(元+c)]2=s3故C正确x极差=Xmax・Xmin,y彼差二(Xmax+C)・(Xmin+C)=Xmax・

ni=lni=l

Xmin,故D正确.

10.(2021•新高考I」0)已知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(cos)ff,-sin

份,P3(cos(a+0,sin(a+A)),A(1,0),则()

A.西二|西

B.|耐|二|瓯|

C.OA-OP^=OP[-'OP^

D.OA-OP\=OP^OP^

命题意图考查向量的坐标运算,考查数学运算能力.

解析AC:，|OP；|=Vcos2a+sin2a=1,

|OP；|=Jcos2/?+(-sinj9)2=l,

.：|函j=|理I,故A正确；

>'一—―"，

vAPr=(cosa-1,sina),AP2=(cosy8-1,-sin^ff),

2222

/•\APr\=y/(cosa-2cosa+1)+sina=V2-2cosa,\AP^\=A/(cos/?-2cosy?+1)+sin^?=

j2-2cosA，

・：|丽团丽I,故B不正确；

=

vOA•0P3=(l,0)-(cos(a+y?),sin(a4-/?))cos(a+/?),0P1-OP2=(cosa,sina)-(cosy?,-sin/^)=cosc(cos/?-

sinasin/?=cos(a邛),

・・•瓦？•西=恒•函，故C正确；

，・•0A-=(1,0)-(cosa,sina)=cosa,

0P2,OP3=(cosQ,・sin/?>(cos(Q+/0,sin(a+Q))=cos/teos(Q+p)-sinQsin(a+/0=cosS+Q+/0=cos(2/Ha),

■.OA-OK^OK-两.故D不正确.

规律方法解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形;也

可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a-b=xiX2+yi”求解，较为简捷、明了.

11.(2021・新高考/・11)已知点尸在圆(片5)2+(广5)2=16上，点A(4,0),8(0,2),则()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线A8的距离大于2

C.当/PBA最小时尸3|=3企

D.当NPB4最大时,|P8|=3立

命题意图考查直线和圆的位置关系，考查数形结合、数学运算能力.

解析ACD如图，记圆心为M,半径为K则M(5,5),r=4.

由条件得，直线AB的方程为*+±=1,整理得x+2)，-4=0,过点M作MN垂直于直线A8,垂足为N,

直线MN与圆M分别交于点Pi,P2,圆心M(5,5)到直线4B的距离|MN|=竿空0=于是点p到直

JI2+22

.1111

线AB的距离最小值为仍2川=阳川-广=容4,最大值为|PN|=|MV|+r=4+4.

V5V5

又强4<2,净4<10,故A正确,B错误;

过点3分别作圆的两条切线3P3,BP%切点分别为点尸3『4,则当点尸在尸3处时/尸84最大，在「4

处时NP84最小.

又研|二明二J|FM|2-r2=J52+(5-2)2-42=3低,

故C,D正确.

故选A,C,D.

12.(2021•新高考/42)在正三棱柱ABC-A\B\C\中工B=A4i=l,点P满足前=□说+口瓯，其中2.G

[0,1],〃目0,1],则()

A.当2=1时,AAB出的周长为定值

B.当〃=1时,三棱锥P-4BC的体积为定值

C.当力弓时，有且仅有一个点P,使得AiPLBP

D.当“=：时，有且仅有一个点尸，使得A山，平面AB\P

命题意图考查空间几何体的体积,线线、线面的垂直，考查逻辑推理、空间想象能力.

图①

解析BDA项中，当%=1时，前=前+”西=前-玩=而="西，则标与西共线，故点P在线

段CG（包括端点）上,如图①所示.

在AABiP中,|ABi|=V^,|AP|=dF中JB|P|=1+（12）2,

故△A5P的周长A=|A8i|+|AP|+181Pl不为定值，故A错误;

图②

B项中，当”=1Bt,BP=lBC+两=>BP-西=吊尸=口前，则瓦尸与瓦共线，故点P在线段

BiG（包括端点）上，如图②所示.

由图②可知BiG〃平面A山C,即BiG上的每一点到平面A18C的距离都相等，因此三棱锥P-

AiBC的体积为定值，故B正确；

图③

C项中，当/1日时，分别取线段8C,BQ的中点DOi,连接可知点P在线段001（包括端点）上,

如图③所示.

取AC的中点。,建立如图所示的空间直角坐标系0肛z,则B（y,0,0）,CW,1,0\A,（0,-

T，1），「俘，］，“从而罚=（条3，"-1），丽=（4‘；

由41P-BP="（“-1）=O,得u-Q或w=l.

当点P与点。或。।重合时，满足A\PVBP,

故C错误；

D项中，当它时，分别取线段BBiCCi的中点MN,连接MN,可知点、P在线段MN（包括端点）上,

如图④所示.

图@

建系同选项C,则4（0,3,0）4（0,3，1）,8（桨0,0）,尸（除一品,工）,从而砧=（桨/）刀=（

苧-苧□[+另）,四边形ABBAi为正方形，显然AtB±ABi.

要使A/_L平面ASP,只需A/_LAP,即不了-AP=^-白0,解得A=1.

当且仅当点尸与点N重合时4山_L平面ABIP,故D正确.

综上所述，选BD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.（2021.新高考/•13）已知函数人工尸班”，*?*）是偶函数，则a=.

命题意图考查函数的性质,考查数学运算能力.

解析1:'函数X》）=3（02，-2-，）是偶函数，

,VWM-x）,即X3（G2J2"）=（-x）3[a2X-2«x）].

整理得,。2"-2"=-92"2丫），

即（a-l）2'+（a-l）2'=0.

31）（2'+2"）=0.

•\a=l.

14.（2021・新高考/J4）已知O为坐标原点,抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为£P为C上一点『尸与x轴

垂直,Q为x轴上一点，且PQ±OP.^\FQ\=6MC的准线方程为.

命题意图考查抛物线的标准方程，考查逻辑推理、数学运算能力.

解析x=-|:，.:XP=XF苦，将xp=2代入V=2px,得y=±p.不妨设点尸在x轴的上方，则

0）,即1所招

2

如图，由条件得,玛=剧即j=E

△P“）SZ\QEP,...

解得p=3.故C的准线方程为x=-|.

规律总结求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向.在方程类

型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

15.（2021・新高考/•15）函数,/（X）=|2x」-21nx的最小值为.

命题意图考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑推理、数学运算能力.

2x-l-21nx,x>g,

21

（l-2x-21nx,0<x<-.

当X,时/（x）=2-：=罕，令八x）=0,则x=\,

所以当C，"时/（x）<01Ax）单调递减，

当xC（l,+oo）时/（》）>0次此单调递增，

所以函数7U）在区间G,+8）内的最小值为41）=1；

当0<"树/（x）=-2-：<0,则函数段）在区间（0身上单调递减，则函数外）在区间（0；］上的最小值

为始）=21n2>l.

综上/X）min=70）=1.

解题技巧1.利用导数求函数/（X）在吊,句上的最值的一般步骤：

（1）求函数在（4,份内的极值;（2）求函数在区间端点处的函数值负。）力勿;⑶将函数«X）的各极值与

人”）<份比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

2.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单

调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

16.（2021•新高考/46）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对

折.规格为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图

形，它们的面积之和Si=240dm?,对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规

格的图形，它们的面积之和S2=18OdnA以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数

n

为;如果对折n次，那么力Sk=dm2.

k=l

命题意图考查数学建模、数列求和、错位相减法，考查数学建模、数学运算能力.

解析5240（3-展）对折3次共可以得至始dmxl2dm,5dmx6dm,10dmx3dm,20dmx|dm四种规格

的图形，面积之才口S3=4x30=120dm2;

对》斤4次共可以得到\dmxl2dm,|dmx6dm,5dmx3dm』Odmx3

形,54=5x15=75dm2.

可以归纳对折〃次可得〃+1种规格的图形,*=（〃+1）•竽dm?.

贝/5〃=$+52+~+5〃=240（/+/+摄+…+竽"）.

记焉=卷+最+提+…+卷①

则/"吟+穆+…+宾+繇

1n+13n+3

/产》=热+9+干一^+T=5-^TT・

n+3

故刀尸3・

故却=240Z,=240（3甘）

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（2021.新高考/」7）（10分）已知数列｛”“｝满足功=1.+产］“+1'"1为奇¥'

（即+2,n为偶数.

（1）记瓦=。2”,写出。历，并求数列｛仇｝的通项公式;

⑵求｛/｝的前20项和.

命题意图考查等差数列的通项公式，分组求和.

解⑴61=02=41+1=2,

勿二。4=。3+1=念+2+1=5.

由儿+1=。2〃+2=。2〃+1+1=。2〃+2+1=。2〃+3,

得仇+1-瓦尸〃2“+3・。2,尸3.

所以协九｝是首项为2,公差为3的等差数列，

所以/?„=2+（«-1）x3=3/7-1.

（2）由⑴知，数列｛册｝的奇数列与偶数列都是以3为公差的等差数列,设数列｛册｝的前〃项和为Sn,

10x910x9

则$20=（0+。3+。5+…+〃19）+（。2+“4+…+。20）=10"1—--X3+20H---x3—300,

所以｛厮｝的前20项和为300.

18.（2021•新高考/-18）（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比赛的同学

先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确

则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个

问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的

概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.

命题意图考查离散型随机变量的分布列、概率的决策，考查数学的实际应用及数学运算能力.

解⑴X=0,20,100.

1

P(X=0)=l-0.8=0.2=1,

428

P(X=20)=0.8X(1-0.6)=|x|=J,

4312

P(X=100)=0.8x0.6=^x1=g.

所以X的分布列为

(2)若小明先回答A类问题，期望为E(X).

贝IE(X)=0x|+20x^+100xH=华.

若小明先回答B类问题,丫为小明的累计得分，

r=o,8o,ioo,

2

P(y=0)=l-0.6=0.4=",

313

P(y=80)=0.6x(l-0.8)="x-=-

3417

P(r=100)=0.6x0.8=|x|=g.

八r\，八八

Er~>(/xr)=0x-2+8c0cx—3+100x—12288.

因为E(X)<E(K),所以小明应选择先回答B类问题.

19.(2021•新高考/49)(12分)记AABC的内角4,B,C的对边分别为〃力,c.已知扶="点D在边AC

上,8£>sin/ABC=tzsinC.

(1)证明:8。=匕;

⑵若4O=2OC,求cosZABC.

命题意图考查正弦定理、余弦定理，考查数学运算、逻辑推理能力.

⑴证明由正弦定理，得BDb-ac=b2,^']BD-b.

(2)解由(1)知BD=h,：'AD=2DC,.'.AD^b,DC=^h.

BD2+4D2-4B2_庐+你）-3_13#-9c2

在AABD中，由余弦定理，得COS/8D4=

2BDAD2b-b12fc2

_庐+.b）也2_10庐9a2

在ACBO中，由余弦定理，得COSNBOC=

2BDCD2b-^b6Z>2'

:•NBDA+NBDC=n,

ZcosZBDA+cosZBDC=0.

即替

1°；：产=0,得33〃=9c2+18式

22

：/二QC,.：9c-33ac+18«=0.

・：c=3〃或c=|a

在AABC中，由余弦定理知,cos=a2；；：ac,

7

当c=3〃时,cosNA3C=：＞l（舍）；

6

77

当c二目〃时,cosNA3C=适.

7

综上所述,cosZABC

20.（2021・新曲考/20）（12分）如图，在三棱锥A-BCD中，平面A8O_L平面BCD,AB=ADQ为BD的中

点.

（1）证明:04_1_。；

（2）若△OCZ）是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上,OE=2E4,且二面角E-BC-D的大小为45°,求

三棱锥A-BCD的体积.

命题意图考查空间线线垂直的位置关系、几何体的体积，考查直观想象、逻辑推理能力.

解（1）在△ABO中，：N8=AO,O为的中点，

/.AOVBD.

:,平面ABO_L平面BCD,平面ABOn平面BCC=8。工Ou平面ABD,

.：AO_L平面BCD.

:,COu平面BCD,/.AOLCD.

（2）如图，过点E作EN//AO丈BD于N,过点N作NM//CD交BC于M.

：NO_L平面BCD,EN〃AO,；.EN1平面BCD.

.：EN工BC.

在△BCD中，：,08=。。=。。=1,

.：ZfiCD=90°,5PDCLBC.

；NM〃CD,，NM1.BC.

又ENCNM=N,

.：BC_L平面EMN,.：BC-LME.

.：二面角E-8C-。的平面丽是/EMV=45°,即△EMN是等腰直痢三角形.

丁DE=2AE,・：ND=20N,・：MN卷CD、=EN.・：EN=ND=^/.A0=0D=\.

VBC^BD2-CD2=V2M2=低

**VA-BCD=^S^BCD'AO=^x；X1XV5xl=g

5DLO

规律总结求体积的两种方法:（1）割补法:求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体枳公

式的几何体进行解决.（2）等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（或几何

体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高（或几何体的高）.

21.（2021.新高考/21）（12分）在平面直角坐标系xO），中,已知点F（g,0）,F2（g,0）,点M满足|MQ|-

|MF2l=2.记M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线xg上，过7的两条直线分别交C于两点和P,Q两点，且|771||TB|=|7PHTQ,求直

线A8的斜率与直线PQ的斜率之和.

命题意图考查双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系，考查逻辑推理、数学运算能力.

解⑴：1MRHMF2|=2,且人（-旧,0）/2（旧,0）,

（2a=2,

.:点M的轨迹为双曲线的右支,且满足｛c=",

（c2=a2+b2,

仅2=i,

•**\b2=16,

[c2=17.

.：C的方程为^-4=1（X>1）.

⑵设[2,机），显然直线AB的斜率与直线PQ的斜率都存在.

设直线AB的方程为y=k\(x-0+m,A(xi,y\),B(X2,y2),

由卜=后[《)+皿

(16x2-y2=16,

得16x2-[/ci(/-%+：)+2攵1Mx-g)+L=16,

即(16-fci)x2+(fci-2k]/n)x-^好6=0.

Z|7^|.|TB|=(l+/ci)[Q-?Q-g)]=(1+fci)[xjX2-1(xi+X2)+^J=(1+fci)抬加2-161

16^12

2klm-状+?=「好)招M+劭器•

16-/ci

设无2=心,同理可得17nlTQ=(1+k分喏?

丁|加•|阳=|