2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷解析版）

普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学I

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位

置上

1.已知集合［={1,2},B={a,a2+3］,若AI3=⑴则实数a的值为.

【答案】1

【解析】a=l或者"+3=1(取不到1),所以。=1.

【点评】今年的第一题属基础题，但难度较之前有提高，考察学生利用集合运算求参数的能

力.

2.已知复数z=(1+i)(l+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是.

【答案】M

【解析】z=—i+3i,|Z|=7(-I)2+32=Vio.

【点评】第二题考察复数计算和模的计算，难度属于基础题，与往年难度基本持平.

3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验

产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型

号的产品中抽取件.

【答案】18

【解析】总产量为1000件，所以应从丙种型号的产品中抽取60*当■=18件.

1000

【点评】本题考察分层抽样，难度基础.

4.右图是一个算法流程图，若输入x的值为上，则输出的y的值是__________.

16

【答案】-2

【解析】经判断上<1,y=2+log2x=2+log2--2+(-4)=-2.

【点评】本题考查判断型的流程图和对数计算，属于基础题.

5.若tanja-工］=贝!Jtana=.

I4j6

7

【答案】-

5

Htana-117

=--------=—，解得tana=­.

1+tana65

【点评】本题考察恒等变换，属于基础题.

6.如图，在圆柱Oi02内有一个球0,该球与圆柱的上、下面及母线均相切。记圆柱0,O2的

V

，则'的值是,

体积为V,，球0的体积为V2

匕

3

【答案】-

2

【解析】设球的半径为r,圆柱的体积匕=万/二/'=2万/,球的体积

_4"'V3

所以-~——

3匕2

【点评】本题考察圆柱内接球的体积计算，属于基础题.

7.记函数J(x)=j6+x—x2的定义域为D.在区间［4,5］上随机取一个数x,则xeD的概率

是.

【答案】-

9

【解析】函数定义域D为6+x—犬2(),解得一2V无K3,区间长度为5,区间［T,5］长

度为9,在区间［-4,5］上随机取一个数x,xeD的概率为尸=*.

9

【点评】本题考察几何概型，难度中等.

丫2

8.在平面直角坐标系xoy中，双曲线《-y2=l的右准线与它的两条渐近线分别交于点

P,Q,其焦点是Fi,F2，则四边形F,PF2Q的面积是.

【答案】2G

【解析】四边形F1PF2Q中，PQ±F,F,,渐近线方程为y=±±x,右准线为％=幺=—,

3c2

当x=g时，y=±日，所以PQ=Ji,6K=2c=4,四边形F,PF2Q的面积为

S=-xV3x4=2^.

2

【点评】本题考察双曲线的准线和渐近线方程，以及对角线互相垂直的四边形的面积的计算,

学生可能在面积时易出错.

763

9.等比数列｛4｝的各项均为实数，其前n项的和为Sn,已知S3=彳，56=—,

则&=.

【答案】32

【解析】因为/+%+%=(%+4+。3)/，所以夕3=上士=8,所以4=2,那么

S3

711

S3=G+24+4^=7%=a，^]=­»%=ad=—x27=32.

【点评】本题考察等比数列的基本计算，难度中等，学生要善于发现相邻的三项之间的比值

为二,是简化计算的关键.

10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用

为4x万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x的值是

【答案】30

【解析】设费用为y

600,.4x3600./T—7—

y----x6+4x=--------l-4x>2V4x3600

x4%

当4x3600=以时等号成立,解得x=30.

4x

【点评】本题考查基本不等式取等条件，较为简单.

11.已知函数/(%)=1一2彳+"-二，其中e是自然数对数的底数，若

/(«-1)+/(2«2)<0,则实数a的取值范围是。

【答案】[-1,；]

【解析】/(x)=x3—2x+e'—'■，可得/(一幻=一/(幻，即/(x)为奇函数.

e'

/(方=3/,-2+e*+L1.当%20时，e'+—]>2,所以/(x)20,/(x)为增函数，且

exex

/(0)=0./(«-1)+/(2a2)<0,/(2«2)<-/(«-1)=/(I-«)

即2a~<1—a,dG[—1.—].

2

【点评】本题考查奇函数的性质，以及复合函数的求导，难度适中。

12、如图，在同一个平面内，向量次，砺，瓦，的模分别为1,1,及,而与反

的夹角为a,且tana=7,而与丽的夹角为45。。若

OC=mOA+〃Os(m,〃ER),则加+〃=

【答案】3

【解析】过点C作。。//O4交08的延长线于点。，根据向量加法的三角形法则，

0C=0D+DC,在三角形OCD中，由正弦定理

OC_CD_0D

./7C、.兀cin(Y

sm(4----a)sin5

44

其中，0C=J5,tana=7,可计算出sina=?~2,sin(万一四一a)=sin(a+四)=8

10445

75—■——•——■7—­5——

所以OD=',CZ)=9,所以OC=OO+OC='OB+±OA

4444

-75

所以"7+〃=—+—=3

44

【点评】本题考察向量、解三角形，中档题

13、在平面直角坐标系xQy中，4—12,0),8(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上，若

PA*PB<20,则点月的横坐标的取值范围是

【答案】[—5人,1]

【解析】设点尸(x,y),因为4(-12,0),8(0,6),西•丽v2()

所以西・丽=(-12-苍-田(-》,6-)')=%2+12%+/-6y，因为月在圆上，故

r+歹2=50,代入有5()+i2x—6yW2(),化简有yN2x+5

所以此题意思转化为圆/+/=5。上满足y22x+5的点的横坐标的取值范围，利用线性

规划，可知，只要找到圆上位于直线上方的点，故横坐标取值范围为[-5人,1]

【点评】考察直线与圆，利用向量坐标运算解题。此题为易错题，错位答案为[-5,1],因为

当成了直线和圆的交点的横坐标范围。

X"Y£D

14.设/(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1)上，,(x)=<5其中集合

[x,x^D

D={x|x=匕」,〃eN+},则方程/(x)-lgx=0的解的个数是,

【答案】8

【解析】/(x)由以1为周期的/(x)=x去掉当x=0,工,2,…，七士时的取值，与在这些

23n

离散点时/(x)=V所组成的函数，当/(x)=lgx时，分别考虑了(X)的这两部分与lgX的

交点，但因为xe(0,1］时，Igx取值均为无理数，所以它与=无交点，其

与/(x)=x(102x21)有8个交点。

【点评】本题考查分段函数及对数函数的取值，在解题时需通过数形结合来解决问题，有一

定难度。

15.(本小题满分14分)

如图，在三棱锥A-BCQ中，AB1AD,BCVBD,平面ABO，平

面88,点E、F(E与A、。不重合)分别在棱AO,BD±,

且EFLADo

求证：(1)E尸〃平面ABC；V

(2)AD±AC

【答案】证明：(1)由题意知，又

:4比££4。匚平面45。.・.即//43。又ABu平面ABC,故2平面ABC,

.•.即〃平面ABC。

(2)平面ABQ1平面BCD,平面平面BCZ)=B£),BC1BD,BCu平面

BCD,.•.BC，平面ABO,ABLAD,ABcBC=B,AB、BCu平面

ABC,

.•.AD_L平面ABC,ACu平面ABC,.•.AOJ_AC。

【解析】第一小问需要证明线面平面，根据线面平行判定定理，欲证明线面平行，即需先证

明线线平行。第二问则要求证明线线垂直，往往需先从题目中找目标线与面，然后根据线面

垂直判定定理证明线面垂直。

【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想

象能力和推理论证能力。本题难度不大，图形是一个三棱锥，需要学生掌握直三棱锥的性质，

同时对于面面垂直的掌握和理解是解决这道题的关键出发点。

16.(本小题满分14分)

已知向量。=(cosx,sinjr),b(3,v'3),xC|0,rr|.

(1)若a〃)，求x的值；

(2)记al,求的最大值和最小值以及对应的x的值

【答案】（1）—

6

(2)x把时，/(xjitiin2v3；x。时，3.

【解析】(1)a//b

VSCOJSTA3sinx;

；・3si?ixIVSCOSJ:0;

.­•2v'3sin(**)0;

VO<X<JT；

(2)f(x)a-b3cosx\3sinx24买os(x

'.'0<x<JT；

当xI2JT，即;r些时，ftxjmin2v3；

c6

当nI-5,即r0时，f（x）max3.

eK

17.（本小题满分14分）

22

如图，在平面直角坐标系x。,，中，椭圆E:]+#1（。＞匕＞0）的左、右焦点分别为B，

F2,离心率为工，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点B作直

2

线PFi的垂线人过点F2作直线PF2的垂线l2.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)若直线/”b的交点Q在椭圆E上，求点尸的坐标.

【答案】⑴立Y1⑵吗

【解析】

—x28

(1)-(：:

(2)

右题感知山，

F(1.0)Fz(1.0jRP(x0,y,J,

反亡.呆川冬率公另疗间用.•.曷就萨「年

1.PFJPF?k23

1)

Vx<*>(X|1,|

••.'■IE(4.M-),代入椭圆方程得：3*14空工12

(八%

、•V-办---X1)

7P在M费1.・JI4yg12,yj需1或次」蜡；今j

由P在第一象限，解得P］孚,当

【点评】主要考察椭圆方程的求法，直线方程的求法，两直线交点坐标的求法，两直线垂直,

斜率是否存在的讨论，点在椭圆上，如何设求点的坐标等，计算量适中，属中档题。

18.(本小题满分16分)

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器H的高均为32cm,容器1

的底面对角线AC的长为10J7cm,容器H的两底面对角线EG,©G/的长分别为14cm和

62cm.分别在容器I和容器H中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒/，其长度为40cm.

(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)

(1)将/放在容器I中，/的一端置于点A处，另一端置于侧棱CG上，求/没入水中部分

的长度；

(2)将/放在容器H中，/的一端置于点E处，另一端置于侧棱GGi上，求/没入水中部分

的长度.

【答案】

(1)16cm(2)20cm

【解析】

(1)如图所示，设玻璃棒与水面的交点为。1,与CC,交于点E

则有AC=1仇方,EC=dA田-AC?=30,作0a垂直与底面交于点。

由00/EC,则42=也，则有A。=16

AECE

答：玻璃棒没入水面的长度为16cm

(2)如图所示，设玻璃棒与水面的交点为与GG|交于点P,GH1E,G,

在等腰梯形EGC,耳中,GH=32,0G=^GH2+HC2=40

则有sin/戊;"="=&

1GC15

设乙PGE=aEPG=廿,由正弦定理得

EPEGPG

sinasin(3sin(a+〃)

43724

又sina=—,cosa=——，则解得sinp--,cos/?=——

552525

则有PG=50sin(cr+0=50(sinacos+cos。sin0)=24

过点P作点EG,则P£)=PGsinQr-a)=24

则由已知心-=能，则EQ=20

PDEP

答：玻璃棒没入水面的长度为20。%

【点评】主要考查几何类型应用题，可以运用三角函数来解决，也可以用建系的方法来解决,

但计算量较大，因为字母较多，解题时应注意，难度中档。

19.(本小题满分16分)

对于给定的正整数%,若数列｛q｝满足

a…++%+i+…+a„+k=2"〃"=2N”对任意正整数n(n>k)总成立，

则称数列｛%｝是“P的数列

(1)证明：等差数列｛《,｝是“尸(3)数列”；

(2)若数列｛a,,｝既是“P⑵数列”，又是“P(3J数列”，证明：｛q｝是等差数列.

【解析】证明：

(1)若｛%｝为等差数列,令1=3,则有

aaa+

风_3+n-2+,i-\+n+\+6，+2。“+3=3x2%=6a.=2x3。“=2kan,〃eN*,即证

⑵｛a“｝是"P(2)”数列，则满足为.2+41+/+1+%+2=4%……①

｛a"｝是"P(3)"数列，则满足«„_3+an_2+a,-+«„+1+an+2+all+3=6an……②

由①得

*+an-2+a“+a,+i=(〃>3)……③

+an+a,,+2+a“+3=4a“+i(〃>3)……④

将③，④代入②得4a,i-a,+i-a,+«„_|+«„+|+4%-a”-%=6a„

则有+an+l=2«„,(n>3).｛a,,｝以23为首项，公差为珊等差数列

由②-①得：

6,-3+q+3=2。“；(〃>3)

所以4=2%一%；%=2a5一6当=2%-火；

贝!J%-4=a3—a2-d

则有数列｛“〃｝为等差数列.

【点评】本题考查数列综合应用，等差数列的判定和性质；对于数列中项与项之间的处理以

及〃范围的细节处理。

20.（本小题满分16分）

已知函数“X）=%3+公2+区+l（a>03€R）有极值，且导函数广（X）的极值点是/卜）

的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求6关于。的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：h2>3a

（3）若/（X）,/（X）这两个函数的所有极值之和不小于求a的取值范围。

23

【答案】（1）.•.8=一/+2（4>3）（3）3<a<6

9a''

【解析】⑴•.•/@）=/+江+法+1有极值

f\x）-3x2+2ajc+h存在小于。的点

即(2a)2—4x3b>0,a2>3b

f\x)=+2ax+8的极值点是x=—/

”a、a3a3,,a、1

f(——)=+—+b(——)+l

32793

9a

73

a2>3b,.-.a2>3(-a2+-)

9a

即a>3

7q

所以=+—(a>3)

9a1)

(2)由(l)知：

,23

b=­a"2H—

9a

h~-3。

I/+：)。.

459

=-a4——a+—

813a2

4a,3729、135

=—(a+—-)----

814a34

・二。>3

77Q

是单调增函数

4a3

即3〃=乙4—9a+M>±3J*.3+Z=0

813a281332

/.b1>3。

(3)由(1)知：

f(x)=xi+ax2+(^a2+—)x+l

9a

f\x)=3x24-2OX+(^4Z2+—)

令/'（X）=O,得%

2a

则芯+/3

X,X->=--2-Cl2H---•

1-27a

二/（玉）+/（々）+/

3a2

=(xj+%2^)+。(尤J+尤2-)+b(X[+x)+2H---------

2a9

3Q2

=(X|+%2)[(%+电)~-3XIX>]+Q[(X+电)2—2%1%2]+。(玉+/)+2~f-------~

2a42223、42422、/223、/2a、个3/

-y(9fl1——a——)+a(-矿----a~——)+(—矿+—)(----)+2+--------

9。927a9。3a9

3a2

a9

3a27

~~9~~2

2a2-63a-54<0

（a-6）（2tz2+12tz+9）<0

:.3<a<6

【点评】最后一题作为压轴题，选取的函数载体非常简单，三次函数，综合考察导数、极值、

单调性以及二次方程的根的判别式等。但是这个题的重点以及难点是放在对数据的灵活处

理，对式子的合理转换上，对学生的数学综合素养要求很高。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学II（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内

作答。若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

B.［选修4-2：矩阵与变换1（本小题满分10分）

已知矩阵A=|。［,B=P°.

401'Q2,

（1）求AB;

22

（2）若曲线Ci；工+上=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2.求C2的方程.

82

11F101To2

【解析】⑴AB=0_||_02_|一［10

1

/、02/、

⑵任取曲线上的一点P（x,y）,他在矩阵］0对应变换下变为P'（x',y'）

xr02x2.

片［1

则有,x

0y\L

x'

故尸彳

x=y'

整理得:

82

（X'）2+3）2=8所以曲线的方程为f+丫2=8

C.［选修44：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

x=-S+t

在平面坐标系中宜万中，已知直线/的参考方程为It

（，为参数），曲线C的参数方

X-2s2

程为《L（S为参数）。设P为曲线c上的动点，求点P到直线/的距离的最小值

y-2yJ2s

【解析】直线/的一般方程为x—2y+8=0

曲线方程C的一般方程为y2=4x

（2\

设曲线C上的点P—,a

（4J

2

a--2a+8

4、4石

d>------

F-5

4J5

所以p到直线/距离的最小值为上

5

22.如图，在平行六面体ABC。-ABC。中，MmABCD,且AB=AO=2,

A4,=V3,440=120。

（1）求异面直线与AG所成角的余弦值

（2）求二面角B--A的余弦值

【解析】（1）如图，过点A作AE_LAD,交BC于E,以