2022年中考数学冲刺分类汇编（150套）专题十九·二次函数的应用

1．（2022甘肃）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒【答案】B2．（2022湖北十堰）如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）（第10题分析图）CD（第10题分析图）CDEFABP（第10题）CDEFABOxy44A．Oxy44B．Oxy44C．Oxy44D．【答案】C3．（2022重庆江津）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90º）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（A）【答案】A4．（2022广西南宁）如图3，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是：（A）6s（B）4s（C）3s（D）2s【答案】A二、填空题1．（2022甘肃兰州）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5【答案】2．（2022四川成都）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过_____________秒，四边形的面积最小．【答案】33．（2022内蒙古包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．【答案】或4．（2022青海西宁）小汽车刹车距离（m）与速度（km/h）之间的函数关系式为，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车有危险（填“会”或“不会”）.【答案】不会5．（2022云南昭通）某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示．经过______s，火箭达到它的最高点．【答案】15三、解答题1．（2022安徽蚌埠二中）已知：如图在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝厘米，AC＝b厘米，＞b，且、b是方程的两根。⑴求和b的值；⑵与开始时完全重合，然后让固定不动，将以1厘米/秒的速度沿所在的直线向左移动。①设x秒后与的重叠部分的面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围；②几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？【答案】⑴=4，b=3⑵①y=(0x4)②经过3秒后重叠部分的面积等于平方厘米。2．（2022安徽省中中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第天（且为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第天的收入（元）与（天）之间的函数关系式？（当天收入＝日销售额—日捕捞成本）试说明⑵中的函数随的变化情况，并指出在第几天取得最大值，最大值是多少？【答案】3．（2022安徽芜湖）（本小题满分8分）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2xm．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．【答案】4．（2022江苏南通）（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？AABCDEF（第27题）【答案】【分析】⑴设法证明与这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立关于的函数关系式;⑵将的值代入⑴中的函数关系式，配方化成项点式后求最值;⑶逆向思考，当△DEF是等腰三角形，因为DE⊥EF，所以只能是EF=ED，再由⑴可得Rt△BFE≌Rt△CED，从而求出的值.【答案】⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED∴即∴⑵当=8时，，化成顶点式:，∴当=4时，的值最大，最大值是2.⑶由，及得的方程:，得，，∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED，∴当EC=2时，=CD=BE=6;当EC=6时，=CD=BE=2.即的值应为6或2时，△DEF是等腰三角形.【点评】在几何图形中建立函数关系式，体现了“数形结合”的数学思想，要注意运用“相似法”、“面积法”与“勾股法”建立有关等式，从而转化为函数关系式.这也是中考试卷中的常见考点.5．（2022江苏南通）（本小题满分14分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．－－1yxO（第28题）1234－2－4－33－1－2－3－4412【答案】（1）因为当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0.设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y＝ax2＋bx＋c，得解得∴这条抛物线的解析式为y＝x2-1.设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得解得∴这条直线的解析式为y＝-x+1.（2）依题意，OA=即⊙A的半径为5.而圆心到直线l的距离为3+2=5.即圆心到直线l的距离=⊙A的半径，∴直线l与⊙A相切.（3）由题意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D（-1，）.由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH⊥直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH是D点到l最短距离，点P坐标（-1，-）此时四边形PDOC为梯形，面积为.6．（2022山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【答案】解：（1）由题意，得：w=(x－20)·y=(x－20)·().答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 3分（2）由题意，得：解这个方程得：x1=30，x2=40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.法二：∵，∴法二：∵，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2000．∵，，∴y随x的增大而减小.∴当x=32时，y最小＝180.∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，∴（元）.（3）法一：∵，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设成本为P（元），由题意，得：∵，∴P随x的增大而减小.∴当x=32时，P最小＝3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 10分7．（2022山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．【答案】23．（本题满分10分）解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=30o，OA=8，∴AC=OA·sin30o=8×=，OC=OA·cos30o=8×=12．∴点A的坐标为（12，）．…………………2分设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得：=12k，∴k=，∴OA的解析式为y=x；…………4分(2)∵顶点B的坐标是（9，12）,点O的坐标是（0，0）∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，…………………6分把点O的坐标代入得：0=a（0-9）+12，解得a=，∴抛物线的解析式为y=(x-9)+12及y=x+x；…………………8分(3)∵当x=12时，y=，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．…………10分8．（2022浙江台州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？（第24题）（第24题）H【答案】（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴=90°，HD=HA，∴，（图1）（图2）∴△DHQ∽△ABC．（图1）（图2）（2）①如图1，当时，ED=，QH=，此时．当时，最大值．②如图2，当时，ED=，QH=，此时．当时，最大值．∴y与x之间的函数解析式为y的最大值是．（3）①如图1，当时，若DE=DH，∵DH=AH=，DE=，∴=，．显然ED=EH，HD=HE不可能；②如图2，当时，若DE=DH，=，；若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；若ED=EH，则△EDH∽△HDA，∴，，．∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.（其他解法相应给分）9．（2022重庆）今年我国多个省市遭受严重干旱.受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：周数1234价格y（元/千克）2进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的元/千克下降至第2周的元/千克，且与周数的变化情况满足二次函数.（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x所满足的函数关系式，并求出5月份y与x所满足的二次函数关系式；（2）若4月份此种蔬菜的进价（元/千克）与周数所满足的函数关系为，5月份的进价（元/千克）与周数所满足的函数关系为．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜.从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的价格仅上涨.若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出的整数值.（参考数据：，，，，）【答案】解：（1）4月份y与x满足的函数关系式为． （1分）把，和，分别代入，得解得∴5月份y与x满足的函数关系式为． （2分）（2）设4月份第周销售一千克此种蔬菜的利润为元，5月份第周销售此种蔬菜一千克的利润为元．． （3分）∵，∴随的增大而减小．∴当时，． （4分）． （5分）∵对称轴为，且，∴当时，随的增大而减小．∴当时，． （6分）所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为元；5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元（3）由题意知：． （8分）整理，得．解得．∵，，而1529更接近1521，∴取．∴（舍去）或．答：的整数值为8． （10分）10．（2022四川南充）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．

（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？

（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？AMBAMBCODAMBCOxyDPQ【答案】解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）．

M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）AMBCOxyDPQ

设抛物线的解析式为，

抛物线过点M和点B，则，．

即抛物线解析式为．

当x＝时，y＝；当x＝时，y＝．

即P（1，），Q（，）在抛物线上．

当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高＝×5＝．

∵＜且＜，∴网球不能落入桶内．

（2）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，

由题意，得，≤m≤．

解得，≤m≤．

∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12．

∴当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内．AMBCOxyDPQ11．（2022湖南衡阳）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒．（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形mnqp的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．CPQCPQBAMNCPQBAMNCCPQBAMN【答案】(1)若要四边形MNQP为矩形，则有MP=QN，此时由于∠PMA=∠QNB=90°，∠A=∠B=60°，所以Rt△PMA≌Rt△QNB，因此AM=BN.移动了t秒之后有AM=t，BN=3-t，由AM=BN，t=3-t即得t=.此时Rt△AMP中，AM=，∠A=60°，所以MP=，又MN=1，所以矩形面积为.(2)仍按上题的思路，如果M，N分列三角形底边AB中线两端，由于AM=t，所以MP=t，由于BN=4-t-1=3-t，所以NQ=(3-t)，因为MN=1，所以梯形MNQP的面积为·MN·(MP+QN)=×(t+(3-t))=为定值（即不随时间变化而变化）。这时要求1<t<2.若t<=1或者t≥2则M，N两点都在底边中线同侧，如第二个图和第三个图所示.在第二个图中，BM=t，BN=1+t，所以梯形面积为S=×1×[t+(3-t))]=(2t+1)，此时0≤t≤1.类似地也可求得2≤t≤=3时的情况，此时面积为S=(7-2t).12．（2022河北）/成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．/受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2

元的附加费，设月利润为w外（元）（利润

=

销售额－成本－附加费）．（1）当x

=

1000时，y

=元/件，w内

=元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线的顶点坐标是．【答案】解：（1）14057500；（2）w内

=

x（y

-20）-62500=x2＋130x，w外=x2＋（150）x．（3）当x

=

=

6500时，w内最大；分由题意得，解得a1

=

30，a2

=

270（不合题意，舍去）．所以a

=

30．（4）当x

=

5000时，w内=337500，w外=．若w内＜w外，则a＜；若w内=w外，则a

=

；若w内＞w外，则a＞．所以，当10≤

a

＜时，选择在国外销售；当a

=

时，在国外和国内销售都一样；13．（2022山东省德州）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？【答案】解：（1）由题意可知，当x≤100时，购买一个需元，故；当x≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以x≤+100=250．即100≤x≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元，故y1=6000x-10x2；当x>250时，购买一个需3500元，故；所以，．(2)当0<x≤100时，y1=5000x≤500000<1400000；当100<x≤250时，y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+900000<1400000；所以，由，得；由，得．故选择甲商家，最多能购买400个路灯．14．（2022江西）图1所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，起示意图如图2.当伞收紧时，点P与点A重合；当三慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开。已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=分米，CE=CF=分米．BC=分米。设AP=ｘ分米.（1）求ｘ的取值范围；（2）若∠CPN=60度，求ｘ的值；（3）设阳光直射下伞的阴影（假定为圆面）面积为ｙ，求ｙ与ｘ的关系式（结构保留派）【答案】23.解（1）因为BC=2，AC=CN+PN=12，所以AB=12-2=10所以ｘ的取值范围是因为CN=PN，∠CPN=60°，所以三角形PCN是等边三角形．所以CP=6所以AP=AC-PC=12-6=6即当∠CPN=60°时，ｘ=6分米连接MN、EF，分别交AC与0、H，因为PM=PN=CM=CN，所以四边形PNCM是菱形。所以MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线在中，PM=6，又因为CE=CF，AC是∠ECF的平分线，所以EH=HF，EF垂直AC。因为∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，所以，所以MO/EH=CM/CE所以所以所以15．（2022湖北武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（解：（1）y=50-（0≤x＜160）；（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-）=；（3）因为w=，所以当x=，即x=170时，利润最大，此时订房数y=50-=33．此时的利润是5110元．16．（2022江苏淮安）红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y1(万千克)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)满足函数关系式y1=+11．经市场调查发现：该食品市场需求量y2(万千克)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)的关系如图所示．当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁．(1)求y2与x的函数关系式；(2)当销售价格为多少时，产量等于市场需求量?(3)若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W(万元)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)之间的函数关系式．题27图【答案】解：（1）设函数的解析式为y2=kx+b，把（2，12）和（10，4）代入函数的解析式可得：，解得，所以函数的解析式为y2=-x+14.（2）由题意可得：+11=-x+14，所以x=2，所以当销售价格为2元时，产量等于市场需求量.（3）设当销售单价为x时，产量为y，则由题意得：W=(x-2)y=(x-2)+11)=+10x-22=(2≤x≤10)17．（2022湖北荆门）某商店经营一种小商品，进价为元，据市场调查，销售单价是元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x的之间的函数关系式，并注明x的取值范围；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）【答案】解：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）,y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）（2）y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）配方得y=－100（x－3）2+6400当x=3时，y的最大值是6400元。即降价为3元时，利润最大。所以销售单价为元时，最大利润为6400元。答：销售单价为元时，最大利润为6400元。18．（2022湖南株洲）（本题满分8分）如图，是的直径，为圆周上一点，，过点的切线与的延长线交于点．求证：（1）；（2）≌．【答案】（1）∵是的直径，∴，由，∴又，∴∴，∴．（2）在中，，得，又，∴．由切于点，得．在和中，∴≌22．（2022湖南株洲）（本题满分8分）如图，直角中，，，，点为边上一动点，∥，交于点，连结．（1）求、的长；（2）设的长为，的面积为．当为何值时，最大，并求出最大值．【答案】（1）在中，，，得，∴，根据勾股定理得：．（2）∵∥，∴∽，∴设，则，∴∴当时，的最大值是1．19．（2022山东潍坊）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平米30米，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？【答案】解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意，得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5200，整理得，x2－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]，即是y＝80x2－3600x＋240000，配方得y＝80（x－22．5）2＋199500，当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，所铺设设铺设矩形广场地面的总费最小，最少费用为199500米．20．（2022湖南郴州）如图，已知∆ABC中，，，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形，与AB、AC分别交于点M、N.（1）证明：∆ADE；（2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式.当x为何值时y有最大值？第25题第25题【答案】（1）证明：因为DE∥BC，所以，所以∆ADE.（2）因为，∆ADE，相似比为，所以，所以v因为所以所以又，所以所以.同理，,所以.配方得所以当时，y有最大值.21．（2022湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量x（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）（2）依题意得：解得：25≤x≤40（3）∵∴而25<35<40,∴当x=35时，即，月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．22．（2022江苏扬州）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．AABCDABCD备用图【答案】解：（1）∵AC=3，BC=4∴AB=5∵AC·BC=AB·CD，∴CD=，AD=（2）①当0＜x≤时∵EF∥CD∴△AEF∽△ADC∴即EF=x∴y=·x·x=当＜x≤5时易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5—x）∴y=·x·（5—x）=≤②当0＜x≤时，y随x的增大而增大.y=≤,即当x=时，y最大值为当＜x≤5时，∵∴当时，y的最大值为∵＜∴当时，y的最大值为（3）假设存在当0＜x≤5时，AF=6—x∴0＜6—x＜3∴3＜x＜6∴3＜x≤5作FG⊥AB与点G由△AFG∽△ACD可得∴，即FG=∴x·=∴=3，即2x2-12x+5=0解之得x1=，x2=∵3＜x1≤5∴x1=符合题意∵x2=＜3∴x2不合题意，应舍去∴存在这样的直线EF，此时，x=23．（2022湖北恩施自治州）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】解：（1）由题意得与之间的函数关系式为＝=（≤≤110，且为整数） （不写取值范围不扣分）（2）由题意得：-10×2000-340=22500 解方程得：=50=150（不合题意，舍去）李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售。 （2）设最大利润为，由题意得=-10×2000-340当时，100天＜110天存放100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元．24.（2022黑龙江哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD。设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB<AD，请求出此时AB的长。【答案】解：（1）根据题意 （2）当S=50时整理得解得 当AB=5时，AD=10；当AB=10时，AD=5，∴AB=5 答：当矩形ABCD的面积为50平方米且时，AB的长为5米 25．（2022山东东营）如图，在锐角三角形ABC中，，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与，重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点的异侧作正方形DEFG.（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；B（第24题图）ADEFGCB（备用图（1））ACB（备用图（2））AC（2）设DEB（第24题图）ADEFGCB（备用图（1））ACB（备用图（2））AC【答案】解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.B（第24题图(1)）ADEFGCMN∵S△ABCB（第24题图(1)）ADEFGCMN∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,………1分∴，而AN=AM－MN=AM－DE，∴.……2分解之得.∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为.…3分B（第24题图（2））B（第24题图（2））ADEFGC①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，∵DE=x，∴，此时x的范围是≤…4分②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，MB（第24题图(3)）ADEFGCNMB（第24题图(3)）ADEFGCNPQ∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,…………5分即，而AN=AM－MN=AM－EP,∴，解得.………6分所以,即.………7分由题意，x>，x<12,所以.因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为(0<x≤(0<x≤当≤时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为=当时，因为，所以当时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.因为24>，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.…10分26.（2022四川绵阳）如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200m、120m，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3xm、2xm．（1）用代数式表示三条通道的总面积S；当通道总面积为花坛总面积的时，求横、纵通道的宽分别是多少？（2）如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168x元，那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价．（以下数据可供参考：852=7225，862=7396，872=7569）【答案】（1）由题意得S=3x·200+2x·120×2－2×6x2=－12x2+1080x．由S=×200×120，得x2－90x+176=0，解得x=2或x=88．又x＞0，4x＜200，3x＜120，解得0＜x＜40，所以x=2，得横、纵通道的宽分别是6m、4m．（2）设花坛总造价为y元．则y=3168x+（200×120－S）×3=3168x+（24000+12x2－1080x）×3=36x2－72x+72000=36（x－1）2+71964，当x=1，即纵、横通道的宽分别为3m、2m时，花坛总造价量低，最低总造价为71964元．27.（2022湖北孝感）X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中，在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：车厢节数n4710往返次数m16104（1）请你根据上表数据，在三个函数模型：①；②；③中，选取一个合适的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是m=（不写n的范围）；（4分）（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载客量设定为常数p）。（6分）【答案】解：（1）； …………4分（2） …………6分 …………7分此时， …………9分∴一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时，一天的设计运营人数最多。28．（2022内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．【答案】解：（1）根据题意得解得．所求一次函数的表达式为． （2分）（2）， （4分）抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，当时，．当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． （6分）（3）由，得，整理得，，解得，． （7分）由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是． （10分）29．（2022湖南湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．25题图25题图【答案】解：（1）∵CD∥AB,∴∠BAC=∠DCA……1分又AC⊥BC,∠ACB=90o∴∠D=∠ACB=90o……2分∴△ACD∽△BAC……3分（2）……4分∵△ACD∽△BAC∴……5分即解得： ……6分过点E作AB的垂线，垂足为G，∴△ACB∽△EGB……7分

∴即故 …8分=……9分= 故当t=时，y的最小值为19………………10分30．（2022贵州贵阳）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图10所示.(1)每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式是．（3分）(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x（元）之间的函数表达式；（4分）(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?（3分）OO100100销售数量（m）件销售价格（x）元（图10）【答案】（1）（0≤x≤100）………………3分（2）每件商品的利润为x－50，所以每天的利润为：y＝（x－50）（－x＋100）…………………6分∴函数解析式为y＝－x＋150x－5000………7分（3）∵x＝－＝75………………9分在50＜x＜75元时，每天的销售利润随着x的增大而增大………………10分31．（2022福建泉州南安）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点C（0，5）（长度单位：m）（1）直接写出c的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/,求购买地毯需多少元？（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG.已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数.（精确到°）【答案】解(1)c=5．……………3分（2）由（1）知，OC=5，…………4分令，即，解得．…………5分∴地毯的总长度为：，………………6分∴（元）．答：购买地毯需要900元．……7分(3)可设G的坐标为,其中，则．………8分由已知得：，即，………9分解得：（不合题意，舍去）．………10分把代入．∴点G的坐标是（5，）．…………11分∴．在Rt△EFG中，，……………12分∴．…13分32．（2022吉林长春）如图、梯形ABCD中，AB∥DC,∠ABC=90°,∠A=45°，AB=30,BC=x，其中15＜x＜30。作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G。（1）用含有x的代数式表示BF的长。（2分）(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式。（3分）（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值。（2分）【参考公式：二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为】【答案】33．（2022新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如图（1），某灌溉设备的喷头B高出地面1.25m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1m处达到距地面最大高度2.25m，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式。学生小龙在解答图（1）所示的问题时，具体解答如下：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图（2）所示的平面直角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y=ax2；③根据题意可得B点与x轴的距离为1m，故B点的坐标为（-1，1）；④代入y=ax2得-1=a·1，所以a=-1；⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y=-x2.数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的”。（1）请指出小龙的解题从第______步开始出现错误，错误的原因是什么？（2）请你写出完整的正确解答过程。【答案】解：（1）③原因：B点的坐标写错了，应是（-1，-1）（2）正确解答：如图（2）建立平面直角坐标系，设水流的函数关系式为y=ax2由题意可知B（-1，-1）代人y=ax2得-1=a（-1）2a即抛物线水流对应的二次函数关系式为y=-x234．（2022广东深圳）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%。商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价元销售，已知每天销售数量（件）与降价（元）之间的函数关系式为（）。（1）求M型服装的进价；（3分）（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。（5分）【答案】（1）设进价为元，依题意有：，解之得：（元）（2）依题意，故当（元）时，（元）35．（2022辽宁沈阳）某公司有甲、乙两个绿色农场品种植基地，在收获期这两个基地当天收获的某种农场品，一部分存入仓库，另一部分运往外地销售。根据经验，该农场品在收获过程中两个种植基地累积总产量y（吨）与收获天数x（天）满足函数关系y=2x+3（1≤x≤10且x为整数）。该农场品在收获过程中甲、乙两基地的累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲、乙两基地累积存入仓库的量分别占甲、乙两基地的累积产量的百分比如下表：百分比种植基地该基地的累积产量占两基地累积总产量的百分比该基地累积存入仓库的量占该基地的累积产量的百分比甲60%85%乙40%%（1）请用含y的代数式分别表示在收获过程中甲、乙两个基地累积存入仓库的量