二轮专题复习专题141等差数列与等比数列

专题四数列第1讲等差数列与等比数列[思考1]

等差数列中的公式及性质有哪些？[思考2]

等比数列中的公式及性质有哪些？[思考3]

已知数列的前n项和Sn，如何求通项an？需要注意什么问题？真题感悟考向一等差、等比数列基本运算的考查高考经常考查等差(等比)中a1、n、d(q)、an与Sn的基本运算，或考查等差、等比数列的交汇计算．求解这类问题要重视方程思想与整体思想的应用，难度中档．【例1】

(2013·武汉调研)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和． [思路点拨](1)列出关于a1、d的方程组求解； (2)根据a2，a3，a1成等比数列确定数列{an}，求数列{|an|}的通项公式，最后求数列{|an|}的前n项和．[探究提升]

1.涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列前n项和公式时，若公比q不能确定是否为1，应分q＝1和q≠1两种情况讨论．【变式训练1】(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________. (2)(2013·福建高考)已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn. ①若1，a1，a3成等比数列，求a1； ②若S5>a1a9，求a1的取值范围．答案－2考向二考查等差、等比数列的判断与证明高考对该内容的考查主要是等差、等比数列的定义，常与递推数列相结合考查．常作为数列解答题的第一问，为求数列的通项公式做准备，属于中档题．【例2】

(2013·湖南高考改编)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*. (1)判定数列{an}是否为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n项和．

[思路点拨](1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)将2an－a1＝S1·Sn转化为an与an－1的关系，从而利用定义证明． (2)用错位相减法求和．(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，

①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n. ②①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.【变式训练2】

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5， ∴b1＝a2－2a1＝3，由Sn＋1＝4an＋2，

① 则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2. ② ①－②得an＋1＝4an－4an－1. ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)． 又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1， ∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.考向三等差、等比数列的综合应用常综合考查等差、等比数列的通项、前n项和的有关计算，求解这类试题关键是根据条件灵活进行转化，难度中档．【例3】

(2013·济南三模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S1,2S2,3S3成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn－an}是首项为－6，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和．

[思路点拨](1)列出关于公比q的方程，求q；(2)先求出bn后，再根据公式求和．[探究提升]

1.(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是破解问题的关键．2．解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式．【变式训练3】

(2013·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．分类转化在数列计算中的应用等差、等比数列是高考中常考的重点和热点．题型全面，难度适中，客观题突出“小而巧”，主要考查性质的灵活运用及对概念的理解；主观题多为“大而全”，重点考查数列的通项公式与求和，不仅考查分类讨论思想，而且突出推理和化归思想的考查．【典例】

(满分12分)在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818[规范解答](1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.故an＝2·3n－1. (4分)【阅卷现场】

1.失分点：(1)在确定a1，a2，a3的值时，不会分类讨论导致求解思维受阻． (2)在求数列{bn}的前n项和Sn时，不会把Sn拆分成几个可求和的数列的和的形式，从而无法求解． (3)在求数列{bn}的前n项和Sn时，对n没分偶数和奇数两种情况求解导致答案错误．