卡尔曼滤波在变形监测数据处理中的应用

卡尔曼滤波在变形监测数据处理中的应用

目前，gps和地球仪等新技术不断被引用，数据收集多，数据大。数据需要及时有效地提取和解释。卡尔曼滤波是当前应用最广的一种动态数据处理方法,它具有最小无偏方差性。它通过建立状态方程和量测方程来描述系统的动态过程,依据滤波增益矩阵的变化,从测量数据中定量识别和提取有效信息,修正状态参量,无须存储各个不同时刻的观测数据,便于实时数据处理。然而文献、只是研究了传统卡尔曼滤波在GPS动态数据处理中的应用。如果卡尔曼滤波动态噪声不准或不容易确定就会影响结果的准确性。因此,在采用卡尔曼滤波处理动态测量数据时,一般都要考虑采取适当的自适应滤波方法来解决这一问题。如根据一定时间滤波结果对模型进行修正的方法;利用预报残差和滤波残差进行模型修正的自适应法。本文将探讨利用自适应卡尔曼滤波的方差补偿法来解决这一问题,该方法的基本思想是:在滤波过程中,利用已有的信息对动态噪声方差阵进行实时估计,从而补偿滤波中对动态噪声方差或协方差的不足。1构造状态向量并进行预测离散线性系统的卡尔曼滤波状态方程和观测方程可表示为{Xk+1=ϕk+1,kXk+ψk+1,kUk+Γk+1,kΩk‚Lk+1=Bk+1Xk+1+Ζk+1+Δk+1.(1){Xk+1=ϕk+1,kXk+ψk+1,kUk+Γk+1,kΩk‚Lk+1=Bk+1Xk+1+Zk+1+Δk+1.(1)式中:Zk+1=Gk+1Uk+1,Gk+1为控制向量系数阵。Xk、Xk+1分别为状态向量分别在tk、tk+1时刻的滤波值,Uk、Uk+1为控制向量,Ωk为动态噪声向量,Δk+1为观测噪声向量,ϕk+1,k为状态向量系数阵,ψk+1,k为控制向量系数阵,Γk+1,k为动态噪声向量的系数阵。如果不考虑系统具有确定性输入时,状态方程和观测方程即为{Xk+1=ϕk+1,kXk+Γk+1‚kΩk‚Lk+1=Bk+1Xk+1+Δk+1.(2){Xk+1=ϕk+1,kXk+Γk+1‚kΩk‚Lk+1=Bk+1Xk+1+Δk+1.(2)随机模型为其中:QΩk,QΔk分别为Ωk和Δk的协方差矩阵。卡尔曼滤波方程为其中:(5)式是利用ˆX(k-1/k-1)Xˆ(k−1/k−1)求ˆX的预测值ˆX(k/k-1)及其方差公式,也就是利用L1,L2,L3,…,Lk-1,k-1期观测值求tk时的状态向量ˆX的预测值的公式,称此式为一部预测公式;称ˆX(k/k-1)为一步预测值。(4)式的第一式表示滤波值ˆX(k/k)等于用Jk[Lk-BkˆX(k/k-1)]修正一步预测值ˆX(k/k-1)后的结果。通常称Jk为滤波增益矩阵。2方差补偿法所谓自适应滤波,就是在利用观测数据进行滤波时,不断地对未知的或不确定的模型参数以及噪声的统计性质进行估计和修正,以减少模型误差,使滤波结果更接近于实际。在变形监测中,根据观测经验的判断和测量条件的限制,一般认为是可以较好地确定观测噪声及其方差阵。如果可以在滤波过程中,利用已有的信息对动态嗓声方差阵进行实时估计,就可以补偿滤波中对动态噪声方差或协方差的不足,这种方法就称为自适应卡尔曼滤波的方差补偿法。该方法是通过利用预测残差对状态噪声协方差向量进行修正,计算出接近实际的状态向量。其基本思路如下:假定{Ωk}和{Δk}为正态序列,X0为正态向量。定义i步预测残差为其中:Lk+i、ˆLk+i/k分别为第k+i期观测值和它的最佳预测值,Vk+i为预测残差。而则Vk+i的方差阵记Bk+iϕk+i,rΓr,r-1=A(k+i,r)=[a(k+i,r)hj],式中:r=1,…,N;k=1,…,n;上标k+i,r表示与k+i,r有关。假定DΩr-1Ωr-1在观测时间段tk+1,tk+2,…,tk+N上为常值对角阵,并记diagDΩΩ=(σ211,σ222,…,σ2rr)T.根据E(VTk+1·Vk+1)=tr[E(Vk+1·VTk+1)]=trDvv,记(VTk+i·Vk+i)=trDvv+ηk+i,其中:ηk+i为零均值随机变量,i=1,…,N。令Ek+i=VTk+iVk+itr[Bk+iϕk+i,kDxkϕTk+i,kBTk+i]-trDΔk+iΔk+i.又记:η=[ηk+1,…,ηk+N]T,则有E=AdiagDΩΩ+η.(7)(7)式是关于diagDΨΨ的线形方程组。当N≥r时,有唯一解。记diagDΨΨ的LS估计为diagDΩΩ=(AΤA)-1AΤE.3监测点滤波与自适应卡尔曼滤波为验证本文算法,对某滑坡的GPS监测数据进行处理。该滑坡共观测了6期,观测时间从2006年10月到2007年4月,其中2007年2月未测量。该网有11个监测点,28到38点,首先采用经典最小二乘平差,加入两个基准点进行约束平差,求出各期点的坐标。然后分别采用卡尔曼滤波和自适应卡尔曼滤波对各监测点的坐标进行处理,分析实时观测值与预测值向量的一致性,本文采用前三期进行滤波,预测后两期。通过对一般卡尔曼滤波值与经过方差补偿的自适应滤波值的分析,研究自适应卡尔曼滤波在GPS变形监测中的除噪作用。滤波初始值的选取为E(X0)=X(0/0)‚X(0/0)=X0‚D(X0)=E‚D(Δ)=E‚D(Ω)=E.X0为初状态矢量,D(Δ)为观测噪声向量的方差矩阵,D(Ω)为动态噪声向量的方差矩阵。设监测点的三维位置(xi,yi,zi)及三维速度(vxi,vyi,vzi)为状态参数,三维加速度(ax,ay,az)为动态噪声。滤波过程分三步:①一般卡尔曼滤波的数据的获取,计算实测数据11月、12月与其滤波值之差。见表1和表3。②自适应卡尔曼滤波值的获取,计算实测数据11月、12月与其自适应滤波值之差。见表2和表4。③预测1月、3月的滤波值,计算实测数据与滤波值之差。见表5和表6。4卡尔曼滤波和自适应卡尔曼滤波对gps变形监测的实际应用效果分析通过前述的实例与分析,可以得出如下结论:1)从数据分析对比可以看出卡尔曼滤波与观测值之间除了34号点外都不超过3mm,且大多数情况下不超过1mm,自适应方法得到的第1期滤波值与实测值之差均小于1mm,这说明卡尔曼滤波及自适应卡尔曼滤波均能较好的反应GPS变形监测的实际情况,显示卡尔曼滤波法能真实体现变形体动态数据的实时性。2)从自适应滤波值及一般卡尔曼滤波值与实测值之差计算表中可以看出,采用方差补偿改正后,累计