决胜中考数学压轴题存在性问题

《中考压轴题全揭秘》三年经典中考压轴题专题26存在性问题一、选择题二、填空题三、解答题(2017山东省淄博市，第24题，9分)如图1,经过原点O的抛物线J=ax2+bx(aW0)与％轴交于「 「 3另一点A(万，0),在第一象限内与直线j=x交于点B(2,t).(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标；(3)如图2,若点M在这条抛物线上，且NMBO=ZABO,在(2)的条件下，是否存在点P,使得△POC-△MOB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2017山东省潍坊市，第25题，13分)如图1,抛物线J=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(-1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为£.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点E点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使4PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.(2017山东省烟台市，第25题，13分)如图1,抛物线J=ax2+bx+2与％轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4,矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH±EO,垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围)，并求出l的最大值；(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.(2017山东省青岛市，第24题，12分)已知：RtAEFP和矩形ABCD如图①摆放(点P与点B重合)，点F,B(P),C在同一直线上，AB=EF=6cm,BC=FP=8cm，/EFP=90°,如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s,EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s.过点Q作QM±BD,垂足为H，交AD于点M,连接AF,FQ,当点Q停止运动时，△EFQ也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ//BD?(2)设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使S五边形afpqm：S矩形abcd=9:8?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻K使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.图①圄②(2017山西省，第23题，14分)综合与探究<3 2<3如图，抛物线y=--X2+口一x+3<3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,连接AC、BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ,过点Q作QD±x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点£.连接PD，与BC交于点E设点P的运动时间为t秒(t>0)./A0Q(1)求直线BC的函数表达式.(2)①直接写出P、D两点的坐标(用含t的代数式表示，结果需化简).②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值.(3)试探究在点P、Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点.若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由.(2017广东省，第25题，9分)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2<3,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合)，连结BD，作DE±DB，交x轴于点E，以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.(1)填空：点B的坐标为；(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；(3)①求证:②设AD=x，矩形BDEF的面积为h求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值.图（1） 图。）（2017江苏省盐城市，第27题，14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C抛物线y=2x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；S①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S,△BCE的面积为S,求-1的最大值;1 2 -2②过点D作DF±AC,垂足为点F,连接CD，是否存在点D，使得4CDF中的某个角恰好等于NBAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.备用图（2016四川省内江市）已知抛物线C：y=x2-3x+m，直线I：y=kx（k〉0）,当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点.（1）求m的值；1 1 2（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,直线l与直线11：y=-3x+b交于点P,且大彳+—=—,OAOBOP求b的值；（3）在（2）的条件下，设直线11与y轴交于点。，问：是否在实数k使-△APq=-△BPQ?若存在，求k的值,若不存在，说明理由.(2016四川省攀枝花市)如图，抛物线J=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3)(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.(3)直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点。，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由.(2016四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,3V;3),b(4,0)两点.(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)点P是线段AB上一动点，(点P不与点A、B重合)，过点P作PM//0A,交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC±x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面

求出MNN的值,并求出此时点M求出MNN的值,并求出此时点M的坐标.积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN(2016四川省甘孜州)如图，顶点为M的抛物线J=a(x+1)2-4分别与％轴相交于点A,B(点A在点B的右侧)，与j轴相交于点C(0,-3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由.(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合)，使得以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.(2016四川省眉山市)已知如图，在平面直角坐标系xQy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1,OB=3,OC=4.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系xOj中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM-AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值.(2016山东省临沂市)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2%+10与％轴，y轴相交于A,B两点，点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式，并判断1BC的形状；(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.3一2 、(2016山东省日照市)如图1,抛物线y=-§[(%—2)2+n]与％轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,连结BC.(1)求m、n的值；(2)如图2,点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BM求△NBC面积的最大值；(3)如图3,点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC,是否存在这样的点P,使^PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.1 ,(2016山东省潍坊市)如图，已知抛物线y=3X2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1),点B(-9,10),AC//x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、R当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点。，使得以C、P、Q为顶点的三角形与“BC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.(2016山东省青岛市)已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点0.点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF/AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题：(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形？(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使S五边形S.铲…:5A“『9：16?若存在，求出t的值；五边形OECQF△ACD若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OD平分NCOP?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.月—pB EC(2016广东省梅州市)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线J=x2+bx+c过A,B,C三点，点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,-3),动点P在抛物线上.b=,c=，点B的坐标为；(直接填写结果)(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直j轴于点E，交直线AC于点。，过点D作x轴的垂线.垂足为R连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.(2016广东省深圳市)如图，抛物线J=ax2+2x—3与x轴交于A、B两点，且B(1,0)(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图1,点P是直线j=x上的动点，当直线j=x平分/APB时，求点P的坐标；2 4(3)如图2,已知直线J=3x-§分别与x轴、j轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作J轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE.问：以QD为腰的等腰4QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

(2015龙东，第23题，6分)如图，抛物线J=X2—bx+。交％轴于点A(1,0),交y轴于点B，对称轴是x=2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使^PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标;(2015北海，第26题，12分)如图1所示，已知抛物线J=-x2+4x+5的顶点为D,与x轴交于A、B两点，与y轴交于。点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C,恰好落在y轴上.(1)直接写出D点和E点的坐标；(2)点F为直线CE与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线CE交于点G,设点H的横坐标为m(0<m<4),那么当m为何值时，SAHGF：Sabgf=5：6?(3)图2所示的抛物线是由J=—x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T⑸y)在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点。，使&QT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.(2015崇左，第26题，12分)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5,4),0M与y轴相切于点。，与x轴相交于A、B两点.(1)则点A、B、C的坐标分别是A(__,__),B(__,__),C(__,__)；1， …，(2)设经过A、B两点的抛物线解析式为y=7(x-5)2+k，它的顶点为「求证：直线FA与OM相切；4(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.(2015河池，第26题，12分)如图1,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B，与y轴交于C,抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E(4,0).(1)写出D的坐标和直线l的解析式；(2)P(x,y)是线段BD上的动点(不与B,D重合)，PF±x轴于F,设四边形OFPC的面积为S,求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M,交抛物线于N,连接CN,将^CMN沿CN翻转，M的对应点为M,.在图2中探究：是否存在点Q,使得M,恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.

(2015百色，第26题，12分)抛物线J=x2+bx+c经过A(0,2),B(3,2)两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、j轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度.(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D,使A、B、。、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？(2015常州，第27题，10分)如图，一次函数J=-x+4的图象与x轴、j轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与4OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合.(1)写出点A的坐标；(2)当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与^APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.1 1(3)若点M在直线l上，且NPOM=90°,记4OAP外接圆和4OAM外接圆的面积分别是［、S2,求—+—1 2的值.(2015苏州，第28题，10分)如图，在矩形ABCD中，AD=acm,AB=bcm(a>b>4),半径为2cm的。O在矩形内且与AB、AD均相切，现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A_B-C-D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动.。0在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当。0回到出发时的位置(即再次与AB相切)时停止移动，已知点P与。0同时开始移动，同时停止移动(即同时到达各自的终止位置).(1)如图①，点P从A-B-C-D，全程共移动了cm(用含a、b的代数式表示)；(2)如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点，若点P与。0的移动速度相等，求在这5s时间内圆心0移动的距离；(3)如图②，已知a=20,b=10,是否存在如下情形：当。0到达。01的位置时(此时圆心01在矩形对角线BD上)，DP与。01恰好相切？请说明理由.(2015毕节，第27题，16分)如图，抛物线J=x2+bx+c与％轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M,.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线AM,与此抛物线的另一个交点为。，求4CAB的面积；(3)是否存在过A,B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为。，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物