圆与正多边形

正多边形和圆【内容概述】正多边形的定义、正多边形的相关概念、正多边形的性质、正多边形的有关计算、正多边形与圆【知识透析】知识点1:正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.知识点2：正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心角；（2）正多边形的中心o；（3）正多边形的半径R；（4）正多边形的边心距r知识点3：正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形；（2）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.知识点4：正多边形的有关计算（n—2）-180°（1）正n边形的每个内角都等于1n27180；n（2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360°.n例1.如果一个正多边形的一个内角是135°,则这个多边形是边形例2.一个正多边形绕它的中心旋转60°和原来的图形重合，那么这个正多边形是知识点5：正多边形的画法

(1)用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆；(2)用尺规等分圆对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图.例1：画一个边长为2cm的正六边形。如图1,2,以2cm为半径作一个。O，用量角器画一个等于竺二60。的圆心角它对着一段弧，然后在圆上6(1)正多边形的外接圆以及相关要素;(2)正多边形的内切圆以及相关要素.【典型例题】.填写下列表中的空格错误！未指定书签。正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积32拒4162n.有一边长为4的正n边形，它的一个内角是120°,则其外接圆的半径为.正六边形一组对边间的距离为6,那么这个正六边形的半径是.同圆中，内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形中周长最大的是 .正九边形的半径为R，则它的边长是1.一个正n边形的中心角是它的一个内角的5，则n=..如图，已知。。和。。上一点八

①用尺规作正六边形，使得。。是这个证六边形的外接圆，且点八是正六边形的一个顶点cm2②若这个证六边形的边长为2cm，cm2.已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）4八边形 B.十二边形 C.十边形 D.九边形.正n边形的一个外角等于20°,则n..点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM=BN,点。是正八边形的中心，则NMON=1.已知圆内接正六边形面积为3a，求该圆外切正方形边长..已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的边长..如图，正六边形内接于圆。，圆。的半径为10,则圆中阴影部分的面积为 .已知正六边形ABCDEF,如图所示，其外接圆的半径是。,求正六边形的周长和面积..已知4B、C、D是。。上的四点，CD=BD,AC是四边形ABCD的对角线。(1)如图3,连结BD，若/CDB=60°,求证：AC是NDAB的平分线；(2)如图4,过点D作DE±AC,垂足为E,若AC=7,AB=5,求线段AE的长度.【课堂练习】1.边长为Q的正六边形的面积等于( )2.已知正三角形的边长为a2.已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r,C.一、J3a22外接圆的半径为R则r：a：R等于（）C.1：2：<33.如图，。3.如图，。。的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为（C.C.2<3一I2V3——n3A BA B.如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若八ADE的面积为10,则正八边形ABCDEFGH的面积为何（ ）.下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形； ②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形； ④各角均为120。的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形.其中，错误的命题是..（1）正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为2R2,则n等于.（2）正八边形每一个外角度数等于；n边形每一个内角等于..如图，正六边形ABCDEF内接于。。，若。。的内接正^ACF的面积为48K3。试求正六边形的周长.DD8、⑴如图（1）,等边八^。内接于。O,点P为弧BC上一动点，连接PA、PB、PC,那么PA、PB、PC之间的数量关系是 .（不必证明）（2）如图（2）,正方形ABCD内接于。O,点P为弧BC上一动点，连接PA、PB、PC,若PA=7,PC=2,请求出PB的长.图⑵图⑴图⑵【综合提高】.如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A'B'C'的位置5所转过的度数是（A.60° B.72° Ci108° D.120°

.如图，正六边形ABCDEF中，阴影部分面积为12。3cm2,则此正六边形的边长为（.已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是。，求正六边形的周长和面积..等边三角形的面积为48<3，求等边三角形外接圆的面积。.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形.乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1,AABC是正三角形，=BE=CF，证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形.丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想…，边数是7时，它可能也是正多边形.（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形；（不必写已知，求证）（3）根据以上探索过程，提出你的猜想.（不必证明）图1 图2【课后练习】.已知正六边形的边心距为、；3，则它的周长是（ ）A66 B112° C66<3 D.12<3.。。的内接多边形周长为3,。。的外切多边形周长为3.4,则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A.<6 B.<8 C.V10 D.*17

.如图，已知A,B,C,D是。。上的四点，延长DC,AB相交于点E,若BC=BE.求证：△ADE是等腰三角形..如图，AB是。。的直径，BD是。。的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连结AC,过点D作DE±AC,垂足为E.(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为。。的切线；(3)若。。的半径为5,ZBAC=60°,求DE的长.OCDB.(1)如图1,四边形ABCD是。。的内接正方形，点P为弧BC上一动点，你认为PD=PA+PC正确吗？若正确说明理由：若不正确，请举一个反例说明；(2)如图2,六边形ABCDEF是。。的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+於PB.

C图2C图27.阅读下面材料：对于平面图形4如果存在一个圆，使图形力上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形八被这个圆所覆盖.对于平面图形4如果存在两个或两个以上的圆，使图形4上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形4被这些圆所覆盖.例如：图中①的三角形被一个圆