初中数学中有关图形的折叠问题

专题复习图形的折叠问题折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用.解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.类型1三角形中的折叠问题.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A,重合，若NA=75°,则N1+N2=【 】A.150° B.210° C.105° D.75°.已知，如图,Rt^ABC中，NC=90°,沿过点B的一条直线BE折叠^ABC,使C恰好落在AB边的中点D处，则NA=..（2014•德阳）如图，4ABC中，NA=60°,将4ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A,处.如果NA/EC=70°,那么NA/DE的度数为..如图，在Rt^ABC中，NB=90°,AB=3,BC=4,将^ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B/重合，AE为折痕，则EB,=..如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10,8）,则点E的坐标为.TOC\o"1-5"\h\z.如图，在等腰^ABC中，AB=AC,ZBAC=50°.ZBAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合，则NCEF的度数是 ..如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A,处，连接A,C,则NB—..如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,将4AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C（3/2,v3/2）,则该一次函数的解析式为 ..如图，D是等边4ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2,现将4ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上，则CE：CF=（）A.3/4 B.4/5 C.5/6 D.6/7.如图，将4ABC纸片的一角沿DE向下翻折，使点A落在BC边上的A,点处，且DE〃BC,下列结论：①NAED=ZC；②A1D/DB=A1E/EC；③BC=2DE；④S四边形ADAE—SABDA，+SAEA，C。其中正确结论的个数是 个。.如图，在Rt△ABC中，ZC=900,ZB=300,BC=3,点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DELBC交AB边于点E,将ZB沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为.

类型2四边形中的折叠问题一.求角.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B,M或BM的延长线上，那么NEMF的度数是（ ）A、85°B、90°C、95°D、100°.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C,处，BC,交AD于E,若/DBC=22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）A.6个 B.5个 C.4个 D.3个3/如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点恰好落在BC边上的F处，如果NBAF=70°,那么/DAE=.4.如图2,将正方形纸片ABCD折叠，使边AB,CB均落在对角线BD上,得折痕BE,BF,^ZEBF=5.如图3,把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或606.如图7,将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A1处，连接A1c，则NBA1C=二.求边1.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在TOC\o"1-5"\h\z边BC的点F处.若AE=5,BF=3,则CD的长是【 】A.7 B.8 C.9 D.10.如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为【 】A.25/8B.25/4C.25/2D.8.如图，正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1,则EF的长为【 】A.3/2B.5/2 C.9/4D.3.如图，沿AE折叠长方形，使D点落在BC边上的F处，已知AB=8,BC=10.求CE的长.

.如图，矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿AE对折，使得B点落在AD上的点B1处，折痕与BC交于点E,则CE=..如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12cm,EF=16cm,求AD的长..如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在E的位置上，AE交DC于点日已知AB=8cm,BC=4cm,求线段CF的长..如图，点O是矩形ABCD的中心》是AB上的点，沿CE折叠，点B恰好与点O重合，若BC=3,则折痕CE=..如图2,正方形ABCD的边长为6cm,M,N分别为AD,BC边的中点，将点C折至MN上，落在点P处，折痕BQ交MN于点E,则BE的长等于..如图，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E是BC边上一点，连接AE,ZB沿AE折叠，使点B落在点B1处.当^CEB1为直角三角形时，BE=.ABAB.将一张矩形纸片ABCD按如图4的方式折起，使顶点C落在点F处，其中AB=4,若NFED=30°,则折痕ED的长为（）A.4B.4<3 C.8 D.4.5.如图3,在Rt^ABC中，NC=90°,D为AC上一点，且DA=DB=5,又aDAB的面积为10,那么DC的长是（）A.4B.3C.5D.3.5.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F点，若CF=1,FD=2,则BC的长为（ ）A.3<2B.2<6C.2<5D.2<3.如图，四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=6,则AF等于（ ）A.4白B.3<3C.4<2D.8

.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,NC=90°,E为CD上一点，分别以EA,EB为折痕将两个角（ND,NC）向内折叠，点C,D恰好落在AB边的点F处.若AD=2,BC=3,则EF的长为..如图，有一矩形纸片ABCD,AB=8,AD=17,将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A,处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA=x,则x的取值范围是一17.如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果AB/BC=2/3,那么tanZDCF的值是 .三.求周长.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为TOC\o"1-5"\h\z【 】A.15 B.20 C.25 D.30.如图，已知正方形ABCD的对角线长为2V2,将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 ..如图，把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠，B,C两点恰好落在AD边的P点处，若NFPH=90°,PF=8,PH=6,则矩形ABCD的边BC长为（ ）A.20B.22C.24D.304 BC4 BC 第逾四.求面积.如图，沿对角线BD折叠矩形ABCD,使得点A落在点E处，DE交BC于点F.若AD=8,AB=4,求4DBF的面积。.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片，使AD边与对角线BD重合，折痕为DG,则AA/G的面积与该矩形的面积比为。.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图所示方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm.则重叠部分ADEF的面积是cm2.

.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，乙EBC的平分线交CD于点尸，将4DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N.有下列四个结论:①DF=CF；@BF±EN；③、BEN是等边三角形；@S^BEF=3S4DEF.其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A①②③B①②④C②③④D①②③④.如图5,在一矩形ABCD中,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB上，折痕为AE,再将4AED以ED为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,则4CEF的面积为（）A.4 B.6 C.8D.10A.4 B.6 C.8D.10.如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF,若EB为NAEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H.下列结论中：①NBEF=90°②DE=CH；③BE=EF；@ABEG和^HEG的面积相等；⑤若AD/CD=2,则BG/BC=5/6.以上命题，正确的有（ ）A.2 B.3 C.4 D.5AB点B恰好落在AD边的B,,AB点B恰好落在AD边的B,,.如图，把矩形ABCD沿EF翻折

=60°,则矩形ABCD的面积是（)A.12处，若AE=2,DE=6,ZEFB.24C.12\'3D.16--；3.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2,BC=3,则4FCB,与八B’DG的面积之比为（ ）A.9：4 B.3：2C.4：3D.16：9.如图，在矩形ABCD中，AD>AB,将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN,连结CN.若△CDN的面积与^CMN的面积比为1：4,则MN/BM的值为（ ）A.A.2B.4C.2弋5 D.2#.（2015•泸州）如图，在^ABC中，AB=AC,BC=24,tanC=2,如果将4ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D,那么BD的长为（）A.13 B.15/2 C.27/2D.12类型3圆与折叠.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为（ ）A.2cmB.2<5 C.<3 D.2<3.如图，AB、CD是半径为5的。O的两条弦，AB=8,CD=6,MN是直径，ABXMN于点E,CDXMN于点F,P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ..如图，在。O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD.如果NBAC=20°,则NBDC=（ ）A.80°B.70°C.60°D.50°.如图，将。O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心。，点P是优弧AMB上一点，则NAPB的度数为（ ）A.45°B.30° C.75°D.60°类型4函数与折叠.（2015•德阳）将抛物线y=—x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线丫=乂+匕与此新图象的交点个数的情况有（） A.6种B.5种C.4种D.3种.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-3（m丰0）与x轴交于A（3,0）,B两点.（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）当—2<x<3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若经过点C（4,2）的直线y=kx+b（k丰0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围..如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（-1,0）,B（4,0）两点，交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）若P点只在y轴右侧，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q,若将ACPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q'.是否存在点P,使Q'恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由.类型5折叠解答题.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，连接AE,求证:AE〃BD..如图5,把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的(^处(不与A,B重合)，点D落在D1处，此时，C1D1交AD于E,折痕为MN.(1)如果AB=1,BC=4，当C1在什么位置时，可使△NBC104C1AE?⑵如果AB=BC=1,使△NBC104C1AE的C1还存在吗？若存在，请求出C1的位置，若不存在，请说明理由..如图15,把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点七处，册-与-AD■相交于点F.(1)线段BF与DF相等吗？请说明理由。(2)若将折叠的图形恢复原状图5点F与BC边上的点G正好重合，连接DG,试判断四边形BGDF的形状，并说明理由。(3)若AB=4,AD=8,在(1)(2)的条件下，求线段DG的长。.如图，矩形ABCD,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的F处，已知折痕AE=5v5,且EC/FC=3/4。(1)求证：△AFBs^FEC；(2)求矩形的周长。.(2014•绵阳)如图1,在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F,连接DE.(1)求证：△DEC/^EDA；(2)求DF的值；(3)如图2,若P为线段EC上一动点，过点P作4AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值.E.如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F,连接AF、CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE=a,ED=b,DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式..如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC,交AD于点G；E、F分别是C’D和BD上的点，线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠，使点D落在D'处，点D'恰好与点A重合.(1)求证：△ABG/^C'DG；(2).已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合)，经过点O、P折叠该纸片，得点B’和折痕OP.设BP=t.(I)如图①，当NBOP=300时，求点P的坐标；(II)如图②，经