电路的过渡过程及换路定律

第十八讲：第3章电路的过渡过程及换路定律本书此前所讨论的电路，不论是直流还是交流，电路的联接方式和参数值是不变的，电源的输出是恒定的或周期性变化的，电路中的各部分电压也是恒定的或周期性变化的。电路的这种状态称之为稳定状态，简称稳态。当电路接通、断开或电路各元件的参数变化时，电路中的电压、电流等都在发生改变，从原来的稳定状态变化到另一个新的稳定状态，这个过程称过渡过程。它不能瞬间完成，需要一定的时间（尽管往往是极短暂的），又称暂态过程。电路在过渡过程中的工作状态称暂态。3.1过渡过程的产生与换路定律3.1.1．电路中产生过渡过程的原因电路中之所以出现过渡过程，是因为电路中有电感、电容这类储能元件的存在。图3-1（a）中，当接通电源的瞬间，电容C两端的电压并不能即刻达到稳定值U，而是有一个从合闸前的uC=0逐渐增大到uC=U（见图3-1（b））的过渡过程。否则，合闸后到U/R,而是从iL=0逐渐增大到i=U/R（见图3-2（b））这样一个过渡过程。否则，电感

图3-2RL串联电路过渡过程产生的实质是由于电感、电容元件是储能元件，能量的变化是逐渐的，不能发生突变，需要一个过程。而电容元件储有的电场能WC=Cu2/2，电感元件储有的CC磁场能WL=Li2/2，所以电容两端电压uC和通过电感的电流iL只能是连续变化的。LL C L因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容或电感的电路存在过渡过程。产生过渡过程的内因：电路中存在储能元件u,i；CL外因：电路出现换路时，储能元件能量发生变化。3.1.2．换路定律电路工作状态的改变如电路的接通、断开、短路、改路及电路元件参数值发生变化等，称换路。由以上分析可知，换路瞬间，电容两端的电压uC不能跃变，流过电感的电流iL不能跃变，这即为换路定律。用t=0表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的L - +初始瞬间，则换路定律表示为(2-86)u（0）=u（0）(2-86)C+ C-i（0）二i（0）L+L-注意，换路定律只说明电容上电压和电感中的电流不能发生跃变，而流过电容的电流、电感上的电压以及电阻元件的电流和电压均可以发生跃变。换路定律得解释如下：＞自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。所以电容C存储的电场能量Wc=1Cu2不能突变使得u不能突变；同样，电感L储2C存的磁场能量W=1Li2不能突变使得i不能突变。TOC\o"1-5"\h\zL2L LA从电路关系分析（以图3-1为例）：du\o"CurrentDocument"E=iR+u=RC c+uC dtCdu若uc发生突变，方=831=8，这是不可能的。根据换路定律可以确定换路后过渡过程的初始值，其步骤如下：1） 分析换路前（t=0-）电路，求出电容电压、电感电流，即uC（0）、iL（0）。2） 由换路定律确定uC（0+）及iL（0+）。3） 进而计算出换路后（t=0+）电路的各参数即过渡过程的初始值。例图3-2（a）中，已知：R=1kQ,L=1H,E=20V，开关闭合前iL=OA，设t=0时开关闭合，求i(0),u(0)。L+L+解：根据换路定律i(0)=i(0)=0AL+L-换路时电压方程E二i(0)R+u(0)+ L+所以u(0)二20—0二20VL+小结：换路瞬间，u、i不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；CL换路瞬间，u(0-)二U丰0，电容相当于恒压源，其值等于U；u(0-)二0，电C00C容相当于短路。换路瞬间，i(0-)二I丰0，电感相当于恒流源，其值等于I；i(0-)二0，电感L 0 0L相当于断路。第十九讲：3・2•—阶RC、RL电路的过渡过程分析根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路(一阶电路中一般仅含一个储能元件)。电子电路中广泛应用由电阻R、电容C构成的电路，掌握RC电路过渡过程的规律,对分析这些电子电路很有帮助。3.2.1•RC电路的过渡过程分析图3-3RC放电电路1RC电路的零输入响应图3-3RC放电电路零输入是指无电源激励，输入信号为零。在零输入时，由电容的初始状态u(0)所产生C+的电路响应，称为零输入响应。分析RC电路的零输入响应实际上就是分析它的放电过程。以图3-3为例，换路前开关K在位置1，电源对电容充电。在t=0时将开关转到位置2，使电容脱离电源，电容器通过R放电。由于电容电压不能跃变，uC(0)=uC(0)=E，此时充电电流iC(0)=E/RO随着C+C- C+放电过程的进行，电容储存的电荷越来越少，电容两R端的电压uC越来越小，电路电流i=uC/R越来越小。电容两端的电压uC随时间的变化见图3-4。根据基尔霍夫电压定律：RCdUc+u=0dtC其通解形式为u二AeptC将其代入上式，得出特征方程RCp将其代入上式，得出特征方程RCp+1=0图3-4RC放电曲线从而方程的解为：u二Ae-忑C根据初始条件u(0)u(0=)EC+C-解得 u二Ee-忑二Ee-彳C式中t=RC称为RC电路的时间常数，表示电容放电的快慢。可以认为t=5t时,过渡过程结束。

2．RC电路的零状态响应零状态是指换路前电容元件没有储能，u(0)二0。在此条件下，由电源激励所产C-生的电路响应，称为零状态响应。（头cRC电路的零状态响应实际上就是它的充电过程。图3-5为RC充电电路。设开关K合上前，电路处于稳态，电容两端电压uC(0-)=0，电容元件的两极板上无电荷。在t=0时刻合上开关K电源经电阻R对电容充电，由于电容两端电压不能突变，uC(0+)=0，此时电路中的充电电流iC(0+)=E/Ro（头c图3-5RC充电电路E 随着电容积累的电荷逐渐增多，电容两端的电压uC也随之升高。电阻分压uR减少，电路充电电流ic=UR/R=(E-uC)/R也不断下降，充电速度越来越慢。经过一段时间后，电容两端电压uC=E，电路中电流iC=0，充电的过渡过程结束，电路处于新的稳态。电容两端的电压uc图3-5RC充电电路E 根据基尔霍夫电压定律：RC竺+u=EdtC其特解即电路的稳态分量为uf=E而其通解即电路的暂态分量为u"——而其通解即电路的暂态分量为u"——Ee-rC——Ee飞C RC图3-6RC充电曲线解得u—u+u‘—E—"彩)CCC式中t—RC称为RC电路的时间常数，表示电容充电的快慢。时间常数t=RC越大,充电时间越长。这是因为，C越大，一定电压U之下电容储能越大，电荷越多；而R越大，则充电电流越小，所以需要更长的充电时间。3．RC电路的全响应

图3-7图3-7RC电路的全响应图3-8RC电路的全响应曲线RC电路的全响应是指电源激励E、电容元件的初始状态u(0)均不为零时电路的C+响应，也就是零输入响应和零状态响应的叠加。图3-7所示电路中，在t=0时刻，开关K由位置1扳向位置2。此过渡过程中，电容初始电压uC(0+)不为0,输入信号也不为0,此时的电路响应，称全响应。在&0时，电路方程为：E=Ri+u=RCdUc+u2 C dtC它的解为：u(t)二Ee[+E(1-e订)C12我们可以看出：全响应=零输入响应+零状态响应，这也是叠加定理在电路过渡过程中的体现和运用。RC电路的全响应过程，电容两端的电压uC随时间的变化见图3-8。例已知：开关K原处于闭合状态，t=0时打开。求u(t)C2kO 3kOR解：u(0-)= 2E=6VCR+R12零状态解和零输入解迭加①零状态解u'(t)=10+(0—10)-e-WC②零输入解=10—10-e-tT②零输入解fu(0)二0Vc+

ffuffu(0)=6VC+u"(t)二6-e-qVCu(t)=u'(t)+u"C C C全解为：二10+—10•e-f；+6e丿;二10—4e-t；V第二十讲：3.2.1．RL串联电路的过渡过程对于RL串联电路，其过渡过程分析与RC串联电路类似，只不过电感元件中电流不能跃变，一阶电路的分析方法同样适用于RL串联电路。1．RL零状态响应图3-9图3-9中，换路前，电感中无电流通过，i(0)二0，没有储能，为零状态;换路后,L—i(0)=i(0)=0，但此时，电流相对时l+L一间变化率最大，电感中产生感生电动势最大。随时间的推移，电流越来越大，电感储存的磁场能越来越大，但电流变化越来越慢，电感分压逐渐减小。Z/YYY_根据基尔霍夫定律，列出t^O时的电路()丑Z/YYY_方程 J丿diRi+L—=Edt图3-9RL图3-9RL零状态响应电路Ei(t)=-(1—e%)R

式中，工=LR为时间常数。L越大，电感储有磁场能越多，产生阻碍电流变化的感生电动势越来越大，阻碍作用越强；R越小，在同样电压下电感所得电流U/R越大，储能越多，所以过渡过程时间越长.变化越缓慢。2．RL零输入响应图3-10中，换路前，电感中有电流通过i(0)二I二ER;换路后，L- 0i(0)二i(0)二I，此时，电流相对时间l+L- 0变化率最大，电感中产生感生电动势最大。随时间的推移，电流越来越小，电感储存的磁场能越来越少。根据基尔霍夫定律，列出&0时的电路方程 图3-10