节变化率及相对变化率在经济中的应用-边际分析与弹性分析介绍课件

微积分讲义设计制作王新心9/6/2023微积分讲义设计制作王新心8/3/2023§4.8变化率及相对变化率（一）函数变化率——边际函数

（二）成本在经济中的应用

（三）收益

（四）函数的相对变化率——函数的弹性

（五）需求函数与供给函数

（六）需求弹性与供给弹性

（七）用需求弹性分析总收益的变化9/6/2023§4.8变化率及相对变化率（一）函数变化率——边际函（一）函数变化率——边际函数第四章中值定理与导数的应用设函数可导，导函数也称为边际函数。称为在内的平均变化率，它表示在内的平均变化速度。9/6/2023（一）函数变化率——边际函数第四章中值定理与导数的应第四章中值定理与导数的应用际函数值，相应改变的真值应为。在点处，从改变一个单位，在处的导数称为在点处的变化率，也称为在点处的边它表示在点处的变化速度。单位很小时，但当改变的或的“一个单位”与值相对来说很小时，则有9/6/2023第四章中值定理与导数的应用际函数值，相应改变的真值应为第四章中值定理与导数的应用的改变时，当产生一个单位这说明在处，在应用问题中解释边际函数值的具体意义近似改变个单位。时一般略去“近似”二字。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用的改变时，当产生一个单位第四章中值定理与导数的应用

例1函数在点处边际函数值为它表示当时，改变一个单位，（近似）改变个单位。

例2设某产品成本函数（为总成本，为产量），其变化率称为边际成本。本。称为当产量为时的边际成西方经济学家的解释是：生产前最后一个单位产品所增添的成本。当产量达到时，9/6/2023第四章中值定理与导数的应用例1函数在点处边际第四章中值定理与导数的应用

（二）成本某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设备等）的价格或费用总额。它由固定资本与可变资本组成。

平均成本是生产一定量的产品，平均每单位产品的成本。

边际成本是总成本的变化率。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用（二）成本某产品的总成第四章中值定理与导数的应用在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数。设为总成本，为固定成本，为可变成本，为平均成本，为边际成本，为产量则有总成本函数平均成本函数9/6/2023第四章中值定理与导数的应用在生产技术水平和生产要素的第四章中值定理与导数的应用

例3已知某商品的成本函数为边际成本函数本。

解由求：当时的总成本、平均成本及边际成有9/6/2023第四章中值定理与导数的应用例3已知某商品的成本函数第四章中值定理与导数的应用平均成本最小？平均成本

解由总成本当时，边际成本

例4例3中的商品当产量为多少时，令得又所以时，平均成本最小。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用平均成本最小？平均成本解第四章中值定理与导数的应用

（三）收益

收益是生产者出售一定量产品时所得到的全部收入。

平均收益是生产者出售一定量的产品，平均每出售单位产品所得到的收入，

边际收益是总收益的变化率。即单位产品的售价。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用（三）收益收益是生产者第四章中值定理与导数的应用设为商品价格，为商品数量，益，为平均收益，为边际收益，为总收则有需求（价格）函数总收益函数平均收益函数边际收益函数9/6/2023第四章中值定理与导数的应用设为商品价格，为商品数第四章中值定理与导数的应用需求与收益的关系总收益与平均收益的关系9/6/2023第四章中值定理与导数的应用需求与收益的关系总收益第四章中值定理与导数的应用总收益与边际收益的关系（参见第六章）9/6/2023第四章中值定理与导数的应用总收益与边际收益的关系（参第四章中值定理与导数的应用

例5设某产品的价格与销售量的关系为收益。求销售量为时的总收益、平均收益的与边际

解9/6/2023第四章中值定理与导数的应用例5设某产品的价格与销售第四章中值定理与导数的应用

下面讨论最大利润原则：取得最大值的必有条件为即取得最大利润的必有条件：设总利润为边际收益边际成本9/6/2023第四章中值定理与导数的应用下面讨论最大利润原则：第四章中值定理与导数的应用取得最大值的充分条件为即取得最大利润的充分条件：边际收益的变化率边际成本的变化率9/6/2023第四章中值定理与导数的应用取得最大值的充分条件为第四章中值定理与导数的应用

例6已知某产品的需求函数为成本函数为求产量为多少时总利润

解由并验证是否符合最大利润原则。最大？有9/6/2023第四章中值定理与导数的应用例6已知某产品的需求函数第四章中值定理与导数的应用令，得所以当时，总利润最大。此时有有所以符合最大利润原则。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用令，得所以当时，第四章中值定理与导数的应用

例7某工厂生产某种产品，每生产一单位产品，元，问每年生产多少产品时，元，总利润最大？固定成本成本增加已知总收益是年产量的函数此时总利润是多少？9/6/2023第四章中值定理与导数的应用例7某工厂生产某种产品，第四章中值定理与导数的应用得总利润函数为总成本函数为

解由题意知，9/6/2023第四章中值定理与导数的应用得总利润函数为总成本函数为第四章中值定理与导数的应用令，得所以时最大。此时即当年产量为个单位时，总利润最大，此时总利润为元。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用令，得所以时最第四章中值定理与导数的应用

（四）函数的相对变化率——函数的弹性前面谈到的函数的改变量与函数的变化率是绝对改变量与绝对变化率，到，仅仅研究函数的绝对改变量和变化率是不够的。商品乙每单位价格1000元，例如，商品甲每单位价格10元，品的绝对改变量都是1元，从实践中我们体会涨价1元；也涨价1元。两种商但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大不同，商品甲涨了9/6/2023第四章中值定理与导数的应用（四）函数的相对变化率——第四章中值定理与导数的应用10%，因此我们有必要研究函数的相对改变量和变化率。此时自变量与因变量的绝对改例如，而商品乙只涨了0.1%。100改变到144，而当由10改变到12时，由变量分别为这表明当改变到时，的改变量，产生了产生了的改变。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用10%，因此我们有必要研究函数第四章中值定理与导数的应用这就是相对改变量。函数的平均相对变化率。这表明在内，从，改变时，平均改变，称它为从到，9/6/2023第四章中值定理与导数的应用这就是相对改变量。函数的第四章中值定理与导数的应用函数的相对改变量

【定义4.5】设函数在点称为与自变量的相对改变量之比，处可导，函数从到两点间的相对变化率，或称为两点间的弹性。当时，9/6/2023第四章中值定理与导数的应用函数的相对改变量【定义4.第四章中值定理与导数的应用即的极限称为

在处的相对变化率（或弹性），记作或当为定值时，为定值。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用即的极限称为在第四章中值定理与导数的应用则对一般的，若可导，称为的弹性函数。的变化反应的强烈程度或灵敏度。是的函数，函数在点的弹性反映了随着的变化变化的幅度的大小，即对9/6/2023第四章中值定理与导数的应用则对一般的，若可导，第四章中值定理与导数的应用的改变时，在应用问题中解释弹性的具体意义时，“相对性”是相对初始值而言的。表示在点处，

说明两点间的弹性是有方向的，因为当产生1%近似地改变。经常略去“近似”二字。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用的改变时，在应用问题中解释第四章中值定理与导数的应用

解

例8求函数在处的弹性9/6/2023第四章中值定理与导数的应用解例8求函数第四章中值定理与导数的应用

解

例9求函数的弹性函数及函数在点的弹性9/6/2023第四章中值定理与导数的应用解例9求函数第四章中值定理与导数的应用

解函数

例10求幂函数（为常数）的弹性

说明幂函数的弹性函数为常数，即在任意点处弹性不变，称其为不变弹性函数。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用解函数例10求幂函数第四章中值定理与导数的应用

（五）需求函数与供给函数

（1）需求函数“需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。现在不考虑价格以外的因素，只研究需求与价格的关系。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用（五）需求函数与供给函数第四章中值定理与导数的应用设表示商品价格，则有称为需求函数。（为自变量，为因变量）表示需求量，一般而言，商品价格低，需求大；格高，需求小。商品价因此，一般需求函数是单调减少函数。求函数。其反函数也称为需9/6/2023第四章中值定理与导数的应用设表示商品价格，则有称为第四章中值定理与导数的应用经济学中用表示需求曲线，如图所示常用下列一些初等函数来拟合需求函数，建立经验曲线：9/6/2023第四章中值定理与导数的应用经济学中用表示需求曲线，第四章中值定理与导数的应用线性函数反比函数幂函数指数函数称为边际需求。需求函数的边际函数9/6/2023第四章中值定理与导数的应用线性函数反比函数幂第四章中值定理与导数的应用

例如若已知需求函数为则边际函数当时，称为时的边际需求它表示：当时，价格上涨（下跌）1个单位需求将减少（增加）4个单位。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用例如若已知需求函数为则边第四章中值定理与导数的应用

（2）供给函数“供给”是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。现在不考虑价格以外的因素，只研究供给与价格的关系。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用（2）供给函数“供给”第四章中值定理与导数的应用设表示商品价格，则有称为供给函数。（为自变量，为因变量）表示供给量，一般而言，商品价格低，供给少；格高，供给多。商品价因此，一般供给函数是单调增加函数。给函数。其反函数也称为供9/6/2023第四章中值定理与导数的应用设表示商品价格，则有称为第四章中值定理与导数的应用经济学中用表示供给曲线，如图所示需求曲线供给曲线9/6/2023第四章中值定理与导数的应用经济学中用表示供给曲线，第四章中值定理与导数的应用线性函数幂函数指数函数常用下列一些初等函数来拟合供给函数，建立经验曲线：9/6/2023第四章中值定理与导数的应用线性函数幂函数指数第四章中值定理与导数的应用

（3）均衡价格均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格，如图所示需求曲线供给曲线是在需求曲线与供给横坐标。曲线相交的点处的9/6/2023第四章中值定理与导数的应用（3）均衡价格均衡价格第四章中值定理与导数的应用当时，消费者希望购买的商品量为，市场上出现“供不应求”，生产者愿意出售的商品量为，商品短缺，会形成抢购、黑市等情况。这种情况不会持久，必然会导致价格上涨，增大。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用当时，消费者希望购买第四章中值定理与导数的应用当时，消费者希望购买的商品量为，市场上出现“供过于求”，生产者愿意出售的商品量为，商品滞销。这种情况也不会持久，必然会导致价格下跌，减小。市场上的商品价格将围绕均衡价格波动9/6/2023第四章中值定理与导数的应用当时，消费者希望购买第四章中值定理与导数的应用

例11设某商品的需求函数和供给函数

解分别为求均衡价格得均衡价格9/6/2023第四章中值定理与导数的应用例11设某商品的需求函数第四章中值定理与导数的应用

（六）需求弹性与供给弹性函数，为正数，只讨论需求与供给对价格的弹性性，为了用正数表示需求弹采用需求函数相对变化率的相反数（绝对需求弹性是刻画当商品价格变动时需求变动的强弱。由于需求函数为单调减少与异号，于是及皆为负数。值）来定义需求弹性。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用（六）需求弹性与供给弹性函第四章中值定理与导数的应用

【定义4.6】某商品需求函数在记为处可导，两点间的需求弹性，称为该商品在与9/6/2023第四章中值定理与导数的应用【定义4.6】某商品需求函第四章中值定理与导数的应用记作称为该商品在处的需求弹性，9/6/2023第四章中值定理与导数的应用记作称为该商品在处的需求第四章中值定理与导数的应用

例12已知某商品的需求函数为求（1）从到各点间的需求弹性；（2）时的需求弹性

解（1）列表如下9/6/2023第四章中值定理与导数的应用例12已知某商品的需求函第四章中值定理与导数的应用9/6/2023第四章中值定理与导数的应用8/3/2023第四章中值定理与导数的应用举两个例子说明其经济意义时，在区间内，说明当商品价格从降至从每降低1%，需求从平均增加1.5%。时，在区间内，说明当商品价格从涨至从每上涨1%，需求从平均减少0.6%。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用举两个例子说明其经济意义时第四章中值定理与导数的应用

（2）减少1%；价格上涨1%，这说明在时，需求则价格下跌1%，需求则增加1%。此需求函数为幂函数，是不变弹性函数，即为任何值时均有。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用（2）减少1%；价格上涨1第四章中值定理与导数的应用

例13设某商品的需求函数为，求（1）需求弹性函数；（2）时的需求弹性

解（1）（2）9/6/2023第四章中值定理与导数的应用例13设某商品的需求函数第四章中值定理与导数的应用说明当时，价格与需求变动的的幅度相同；说明当时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，价格上涨1%即时，需求只减少0.6%；说明当时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，价格上涨1%即时，需求减少1.2%。9/6/2023第四章中值定理与导数的应用说明当时，价格与需求变动的第四章中值定理与导数的应用

【定义4.7】某商品供给函数在记为处可导，两点间的供给弹性，称为该商品在与由于供给函数是单调增加的，所以与同号，给出下列供给弹性定义：9/6/2023第四章中值定理与导数的应用【定义4.7】某商品供给函第四章中值定理与导数的应用记作称为该商品在处的供给弹性，9/6/2023第四章中值定理与导数的应用记作称为该商品在处的供给第四章中值定理与导数的应用

（七）用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化即需求变动的幅度小于价格变总收益是商品价格与销售量的乘积（1）若，动的幅度，此时，递增，即价格上涨，9/6/2023第四章中值定理与导数的应用（七）用需求弹性分析总收益第四章中值定理与导数的应用需求变动的幅度大于价格变（2）若，总收益增加；此时，递减，即价格上涨，价格下跌，总收益减少。动的幅度，总收益减少；价格下跌，总收益增加。需求变动的幅度等于价格变（3）若，此时，取得最大值。动的幅度，总之，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品价格的变化而变化，其关系如图所示9/6/2023第四章中值定理与导数的应用需求变动的幅度大于价格变（第四章中值定理与导数的应用

例14设某商品的需求函数为（1）求需求弹性函数；（2）求时的需求弹性；（3）在时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化百分之几？（4）为何值时，总收益最大？最大总收益是多少？9/6/2023第四章中值定理与导数的应用例14设某商品的需求函数第四章中值定理与导数的应用

解