浅介数学解题课件

淺介數學解題

左太政/高雄師範大學數學系淺介數學解題左太政1數學中的問題解決問題,是數學的核心,學習數學就是學習如何解決問題,包括那些可以轉換成數學題的各類問題(即外在連結)。由於解題的態度和學習方法的不同,將影響其學習成效。數學中的問題解決問題,是數學的核心,2

解題的各種歷程

觀察與發現臆測與歸納其規律性檢驗驗證解題的各種歷程觀察與發現3解題的各種方法

歸納演繹推理類比轉化一般化、特殊化模型化。解題的各種方法歸納4解題後的反思一題多解引申與題組(改變條件)縱向及橫向的推廣解題後的反思一題多解5據媒體報導有關數學難題:

已知正方形邊長為1，試求圖形EFMN的面積。據媒體報導有關數學難題:

已知正方形邊長為1，試求圖形EFM6參考解法參考解法7媒體報導某校國小六年級段考題已知ABCD是一個長4公尺，寬2公尺的長方形，以B為圓心，為半徑畫一扇形ABE，以D為圓心，為半徑畫一扇形ADF，試求塗色部分面積。媒體報導某校國小六年級段考題已知ABCD是一個長4公尺，寬28國小六年級段考題在圓中畫一最大正方形（如圖示），正方形的面積是50平方公分，求圓面積。國小六年級段考題在圓中畫一最大正方形（如圖示），正方形的面積9實作範例

試將下列表格分割成相同的四個部分，且使各部分空格內的整數之和都是34。19167125411815102136314實作範例試將下列表格分割成相同的四個部分，且使各部分空格內10實作範例

下圖為一個直角梯形，試在此梯形的內部劃一條直線將此梯形分割成二個形狀相同且面積相等的圖形。實作範例下圖為一個直角梯形，試在此梯形的內部劃一條直線將此11實作範例下圖為一個正六邊形，試過一頂點再此正六邊形的內部化二條直線，將此正六邊形分割成三個面積相等的圖形並說明理由。實作範例下圖為一個正六邊形，試過一頂點再此正六邊形的內部化二12數學解題策略

瞭解問題-審查題意,發掘概念內涵;若題意不了解,不妨再閱讀二至三次,直至了解題意。數學解題策略瞭解問題-審查題意,發掘概念內涵;若題意不了解13數學解題策略擬定計畫-分析問題及產生聯想,尋求解題途徑

(1)儘可能畫出圖形或表格

(2)檢查特例如令問題中整數取1,2,3,4,5等代入,看看是否可歸納出規律來。

(3)嘗試簡化問題如利用對稱性、採用『不妨假設』而不失問題的一般討論方式。

(4)保留任何解題的紀錄,以便先做別題後再回頭解本題時參考使用。

(5)將一個問題分成一系列子問題數學解題策略擬定計畫-分析問題及產生聯想,尋求14數學解題策略實行計畫-

選擇策略及綜合運用知識去進行推理計算解決問題。數學解題策略實行計畫-15

數學解題策略

回顧解答-

驗證答案是否合理及思考結果或方法能否用於解其他問題,

自己修改原問題或推廣其結論,形成另一個問題,亦可考慮作為專題研究之題目。數學解題策略回顧解答-16

3R解題策略(倒推法)解題活動先從題目待答或待證明的地方著手(Request),適時引進題目的已知條件及潛在的性質(Response),最後導出結果(Result).這是所謂的「3R」策略。3R解題策略(倒推法)解題活動先從題目待答或17正整數與其數字之間的關係正整數與其數字之間的關係18應用問題設a,b,c均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是3185,試問這六個三位數中最大的是多少?(Ans:763)應用問題設a,b,c均為異於零的三個不同的數字，共可19正整數與其數字的關係

設a,b,c為三個都不是零的數字,試問用a,b,c三個數字能組成若干個三位數？並說明這些三位數的和與a,b,c的關係。正整數與其數字的關係設a,b,c為三個都不是零的數20參考解答參考解答21參考解答設此三位數為由上題及題意知，

故滿足題意參考解答設此三位數為22練習題設a,b,c均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是3194,試問這六個三位數中最大的是多少?(Ans:853)練習題設a,b,c均為異於零的三個不同的數字，共可組23類題114這個數有一特點:將114的各位數字的數字和乘以19就得到114.試問是否還有這樣的三位數嗎?如果有,請找出所有這樣的三位數。你能否觀察出本問題何以需乘以19?是否可以改為乘以其他數而有類似結果呢?

類題114這個數有一特點:將114的各位數字的數字和乘以24參考解答設此三位數為由上題及題意知，

參考解答設此三位數為25整數與其數字的關係試找出所有正整數a使得a恰好等於它的所有數字的平方和加上1,例如及等,是否還有其它解?只有此二解35,75整數與其數字的關係試找出所有正整數a使得a恰好26整數與其數字的關係試找出所有正整數a使得a恰好等於它的所有數字的三次方的和，例如1=1,153=,370,371,407等五個數,是否還有其它解?試說明理由。（難題）整數與其數字的關係試找出所有正整數a使得a恰好27數論:卡布列克怪數卡布列克(L.D.Kaprekar,印度數學家)怪數是類似(30+25)=3025這樣的數:即一個2n位數,把前n位數當作一個數加上這個數的後n位數,它們之和的平方正好等於這個2n位數。試問四位數中有那些卡布列克怪數?類題:能否找出所有卡布列克怪數?數論:卡布列克怪數卡布列克(L.D.Kaprekar,28數論:卡布列克怪數提示:四位數中共有三組解-即2025,3025,9801,巴納德找出:1,81,52881984,60481729,試問如何求出其他位數?例如:六位數只有兩個數:494209,998001.數論:卡布列克怪數提示:四位數中共有三組解-即29卡布列克怪數由題意知:引進未知數:(提示:共有三組解-2025,3025,9801)卡布列克怪數由題意知:30猜年齡小明今年的年齡的三次方是一個四位數,而四次方正好是一個六位數,又這兩個數的所有數字正好是0,1,2,3,…,8,9這十個數字組成,試問小明今年幾歲?(提示:設今年年齡為x歲,則可求得x=18,19,20,21,再求得x=18.)猜年齡31邏輯思考試問是否存在正整數n，使得n的每個位數的數字都相異，的每個位數的數字都相異，的每個位數的數字都相異，且所有數的數字正好是由這十個數字所組成？試說明理由。提示:不可能邏輯思考試問是否存在正整數n，使得n的每個位數的數字都相異，32趣味數論已知=0.1666…,試求滿足條件

=0.…的所有異於零的數字與的值。答:趣味數論已知=0.1666…,試求滿足條件33AMC數學競賽範例一個正整數正好等於其四個最小正因數的平方和。試問可以整除該正整數的最大質數為何？答:13AMC數學競賽範例一個正整數正好等於其四個最小正因數的平方34浅介数学解题课件35台南市國中數學競賽設為正整數且滿足下列兩個條件：(1)恰有6個相異的正因數：(2)；試詳列出所有可能的值。台南市國中數學競賽設為正整數且滿足下列兩個條件：36趣味數論能否將1到27這27個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?答:不可能;為什麼?趣味數論能否將1到27這27個正整數,填寫在一圓周上37趣味數論類題:

能否將1到20這20個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?(適合學生共同討論解題)提示:可以辦到，是否有解題策略?

能否推廣?趣味數論類題:38從一道競賽題談起問題：三角形之三邊長為，其中.給定值，試求滿足所有條件之所有可能的這樣之三角形個數，並求其規律。從一道競賽題談起問題：39ㄧ般特殊化

:1,2,3,4,5,6,7,8,9↓↓↓↓↓↓↓↓↓:1,2,4,6,9,12,16,20,25其中表示最大邊長為的相異三角形(全等三角型不計)個數ㄧ般特殊化:1,2,3,4,40可歸納為：（1）（2）的公式為可歸納為：41操作題已知三個數,進行下面一次的操作:首先任取其中的二個數求其和，再除以；另外，求這二數的差再除以，而得到新的二個數。試問：能否經過若干次上述的操作，最後得到？試說明理由。操作題已知三個數,進行下面一次的操作:首先任取42參考解答設三數分別為,經過一次操作後得到新的三數:因為

即每操作一次，仍保持此三數的平方和不變。但，故不可能辦到。參考解答設三數分別為,經過一次操作後得到新的三數43代數題已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是637,669,794,915,919,951,1040,1072,1197,試求原來的五個數。代數題已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,44代數題已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是637,669,794,915,919,951,1040,1072,1197,試求原來的五個數。(提示:這五個數中任意相異的二數相加的結果可能有十個數,由題意知有9種可能的和,因此這五個數必相異且有三個奇偶性質相同。由此可解得這五個數分別是256,538,381,413,659)代數題已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,45質數問題對任意正整數，令表示所有小於或等於的質數中最大者，且表示所有大於的質數中最小者，試求:

的值。質數問題對任意正整數，令表示所有小於或等於的質數46參考解答設p,q為二連續質數，且p<q.

又2003與2011為二連續質數，因此參考解答設p,q為二連續質數，且p<q.47翻杯子或硬幣問題(專題研究題材)翻杯子或硬幣問題48

主題:翻杯子問題有7個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。

(1)規定每一次運動時，正好翻動其中任意四個，試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下?(2)同上，規定每一次運動時，正好翻動其中任意六個，試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下?主題:翻杯子問題有7個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。49主題:翻杯子問題有8個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意七個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?如何推廣上述問題?即什麼情形下可以做到,什麼情形下不可以做到?主題:翻杯子問題有8個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次50翻動紙杯(硬幣)問題推廣:如果有n個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意k個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?翻動紙杯(硬幣)問題推廣:51翻動紙杯(硬幣)問題如果有n個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意k個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?除了n為奇數，k為偶數外其餘皆可辦到。提問:如果可以完成，試問至少翻動幾次?。翻動紙杯(硬幣)問題。52由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?53組合題型分油問題組合題型54範例:日本分油的問題1628年首次在毛利重能的割算書中提出分油問題:油桶中裝滿油一斗(十公升)，今另有七公升及三公升的容器二個，試問如何使用此三個容器將十公升的油平分成各五公升?範例:日本分油的問題1628年首次在毛利重能的割算書中提出分55參考解法

1073(1)1000(2)703(3)730(4)433(5)460(6)163(7)172(8)802(9)820(10)523(11)550參考解法10756提問是否有其他倒法?至少需幾個步驟可完成?能否到出容量分別為1,2,3,…,9公升的油?提問是否有其他倒法?57三容器問題:

1612年Bachet的著作設有三個沒有刻度的容器,其容量分別為3公升,5公升,及8公升,現在只有8公升容器中已裝滿了純水,請利用這三個容器進行操作(可以將一個容器中的純水倒到另一個或二個容器中),是否可以使得其中某一個容器中的純水恰為4公升?如果可以,請列出操作過程並說明之。如果不可以,請說明理由。三容器問題:

1612年Bachet的著作設有三個沒有刻度58參考解法

853(1)503(2)530(3)233(4)251(5)701(6)710(7)413(8)440參考解法8559容量問題承上題(只有8公升容器中裝滿了水),試利用上述三個容器能否量出1至7公升的各個容量,請分別寫出可以量出和無法量出的容量。承上題，三個沒有刻度的容器,其容量分別為a公升,b公升,及c公升(只有a公升容器中裝滿了水),，請討論可能量出的情形。參考網站:"/content.html"容量問題承上題(只有8公升容器中裝滿了水),試利用上述三60由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?即藉由a,b,c之關係討論如何做平分a的容量?由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?61範例、分組問題範例、62從鐘面數談起-將整數分組的概念問題：

已知鐘面上有12個數分別為1,2,3,…,12.今將這些數中間用加號或減號連起來，使結果為零，試問應如何填法？共有幾種不同填法？思考:可先考慮正負號個數相同。提問:是否一定要正負號個數一樣?從鐘面數談起-將整數分組的概念問題：63從鐘面數談起-將整數分組的概念問題：

試求所有可能正整數n使得1,…,n能被分成三組且每組之數的和相同?思考:可先考慮三組個數相同。從鐘面數談起-將整數分組的概念問題：64問題之延伸如何推廣上述問題?問題之延伸如何推廣上述問題?65從鐘面數談起-將整數分組的概念

將這些數中間用加號或減號連起來，試問其結果為最小的非負正整數為多少？Ans:1,利用平方差公式從鐘面數談起-將整數分組的概念將這66分析如若將連續兩數之平方相減，則可得到差為兩數之和，其與下一組的差為4，如此一來，共可得到4,4,4,4,4,4,……,4,1，共501個4，和1個1，使其兩兩為一組，其差為0，而最後相減之後可得到一數為3，但此並非最小，故需將最後10組中的4提出來，使之變成4+4+4+4-9-5-1

分析如若將連續兩數之平方相減，則可得到差為兩數之和，其與下一67類題

將這些數中間用加號或減號連起來，試問其結果為最小的非負正整數為多少？類題68從鐘面數談起-將整數分組的概念已知有128個數分別為今將這些數分為四組,使每組皆有32個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?從鐘面數談起-將整數分組的概念已知有128個數分別為69參考解法(分組方式)ABCD參考解法(分組方式)AB70設四個常數項分別為a,b,c,dA組

B組C組D組::::abcddabccdabbcda至少需64個數即可完成要求設四個常數項分別為a,b,c,dA組B71從鐘面數談起-將整數分組的概念類題:已知有81個數分別為今將這些數分為三組,使每組皆有27個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?從鐘面數談起-將整數分組的概念類題:72從鐘面數談起-將整數分組的概念推廣已知有m個數分別為今將這m些數分為n組,其中n為m之因數,使每組皆有個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法？從鐘面數談起-將整數分組的概念推廣73分組類題設Ａ、Ｂ為互斥的二集合，使得{1,2,3…,10}且Ｂ中所有數之乘積，正好等於Ａ中所有數之和，試求Ａ、Ｂ。分組類題設Ａ、Ｂ為互斥的二集合，74參考解答

A,B共有三種情形:A={1,2,3,4,5,7,8,9,10}，B={6,7}A={1,2,3,5,6,7,8,9}、B={1,4,10}A={4,5,6,8,9,10}，B={1,2,3,7}參考解答A,B共有三種情形:75由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?76圖解法(proofwithoutwords)圖解法77一題多解如圖，試求的度數。一題多解如圖，試求的度數78參考解答一(利用三角函數)參考解答一(利用三角函數)79參考解答二參考解答二80有趣的問題在正方形中，為內部一點，使得，

試求及。有趣的問題在正方形中，為內部81參考解法參考解法82創意思考題:綁鞋帶問題創意思考題:83下列三個圖形表示不同的綁鞋方式，如果前端二孔突出的鞋帶長不計，試問何種綁法需要最長的鞋帶?何者最短呢?下列三個圖形表示不同的綁鞋方式，如果前端二孔突出的鞋帶長不計84參考解法:利用勾股定理及鏡射參考解法:利用勾股定理及鏡射85結論:如果時，American型最短，European型次之,shoestore型最長。如果時,American型最短，但European型和shoe-store型等長結論:如果時，American型最短，Euro86問題:如果一隻鞋子上有n對孔，且上下相鄰二孔距離為d單位，左右相鄰二孔距離為g單位，試分別求此三種綁法所需鞋帶長。提示:American:European:Shoestore:問題:如果一隻鞋子上有n對孔，且上下相鄰二孔距離為d單位，左87類題:類題:88三角板趣題一套三角板裡有二個不同度數的三角板:一個三角板的三內角分別是另一個三角板的三內角分別是試問使用此二個三角板上的內角能畫出多少個不同角度的角來?三角板趣題一套三角板裡有二個不同度數的三角板:一個三角板的三89三角板趣題試問如何作一個正方形使其面積正好等於此二個三角板的面積和？如何用一付三角板求和的三角函數值？註：如何發展成獨立研究題材﹖三角板趣題試問如何作一個正方形使其面積正好等於此二個三角板的90轉化範例設都是正數，試證：必存在以三數

,,為三角形的三邊長，並求此三角形的面積。轉化範例設都是正數，試證91思考策略轉化成幾何問題構造以a+b及c+d為邊長的長方形觀察此三數所代表的長度思考策略轉化成幾何問題92如圖，三角形的三邊長為如圖，三角形的三邊長為93範例:數學歸納法之應用

試証：任意個正方形，經過適當的切割（只能用圓規、直尺和剪刀）後，必可重拼成一個大正方形。（參考解答）利用數學歸納法，

範例:數學歸納法之應用試証：任意個正方形，經過適當的94(1)若二個正方形大小相同：(1)若二個正方形大小相同：95(2)若二個正方形大小不同：Ⅰ.(2)若二個正方形大小不同：Ⅰ.96浅介数学解题课件97

（逆命題）一個大正方形是否可切成個小正方形？（不能拼）才可以←Prove!

多3個

解：回目錄（逆命題）一個大正方形是否可切成個小正方形？（不能拼）解98

99費伯納希數列費伯納希數列100從一則題目談數列一個2×1的長方形骨牌是將兩個正方形以邊對邊的方式相連接。我們打算用八片骨牌舖滿2×8的棋盤，每片骨牌可以水平或垂直的方式放置，如圖:試問共有多少種不同的舖蓋方式？

從一則題目談數列一個2×1的長方形骨牌是將兩個正方形以邊對邊101費伯納希數列費伯納希（Fibonacci,1170-1250,Italy）於1202年提出此數列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,問題:設有十級階梯(自樓板面算起),今要求上樓時每一步走一階或二階,試問共有少種不同的上樓方式?如何推廣其結果?費伯納希數列費伯納希（Fibonacci,1170-1250102費伯納希數列設有大小形狀都相同的一堆硬幣,今打算將這些硬幣依下列規則來排列成若干橫排:(1)每一橫排中的所有硬幣必須彼此相切(即外切);(2)除最底部的一列外,每一橫排中的任何一個硬幣必須與下一排的兩個硬幣相切(即上一排中硬幣的個數少於下一排硬幣的個數)。設表示個硬幣所有可能排法的個數,試求.並問如何推廣上述結果?費伯納希數列設有大小形狀都相同的一堆硬幣,今打算將這些硬幣依103費伯納希數列同上題,設表示將若干個硬幣依上題規則排列之所有可能排法的個數,但最底部的一列必須是個硬幣,試求;並觀察與的關係。如何推廣上述結果?費伯納希數列同上題,設表示將若干個硬幣依上題規則104推廣試找出所有可能實數數列使其滿足遞迴關係式：其中…這是一個極複雜的問題。推廣試找出所有可能實數數列使其滿足遞迴關係式：105費伯納希數列的一般項Fibonacci數列的第項為:….(本公式最早由Euler在1765年發表，其後在1843年由Binet再重整理發表。)試證:為正整數,….同時,試證：….費伯納希數列的一般項Fibonacci數列的第項為106Lucas數列Lucas數列的第項為:….試證:為正整數,….Lucas數列Lucas數列的第項為:107填數遊戲將1.2……9這9個數，填入三階魔方陣的九個空格內；每個空格只能填一個數(不能重覆)，使得每一橫列、每一直行上的數相加，其和為質數。試找出滿足這樣條件的所有可能的不同填法。填數遊戲將1.2……9這9個數，填入三階魔方陣的九個空格內；108參考解法參考解法109類題

(承上題)試證：不可能有三階魔方陣滿足每一橫列、每一直行及二條對角線上的數相加，其和都為質數。類題(承上題)試證：不可能有三階魔方陣滿足每一橫列、每一直110填充題(96年城市盃初賽)設為正整數，

且，若，則=_____填充題(96年城市盃初賽)設為正整數，111參考解法解法一:

利用因式分解法，化簡得

參考解法解法一:112參考解法解法二:

利用單位分數的分解，化簡得

參考解法解法二:113填充題2.計算:

之值(請將結果化成最簡分數)=___________________

填充題2.計算:114參考解法特殊一般化，令參考解法特殊一般化，令115填充題3.明華用計算器求三個正整數a,b,c的運算式。他依次按了a,×,b,＋,c,=，得到數值11。而當他依次按a,×,c,+,b,=時，驚訝地發現得到數值是13。這時他才明白計算器是先做乘法再做加法的，於是他依次按a,×,(,b,＋,c,),=而得到了正確的結果。這個正確結果是______________填充題3.明華用計算器求三個正整數a,b,c的運算式116參考解法由題意知欲求之值，可將上二是相加得解之得註:亦可求出之值參考解法由題意知117填充題4.右圖中，，，

若P在BC邊上，且，則(斜線部分面積):(面積)=__________

B

P

CNMA填充題4.右圖中，，，CN118填充題5.已知正整數n恰好是二個連續正整數之和，且正好也是三個連續正整數之和。試問自1至2007這2007個數中滿足這樣條件的n值共有___________個。填充題5.已知正整數n恰好是二個連續正整數之和，且正好也是三119參考解法由於是二個連續正整數之和，所以必為奇數。又也是三個連續正整數之和，所以必為3的倍數；因此必為6k+3的形式。故共有334個正整數滿足。參考解法由於是二個連續正整數之和，所以必為奇數。又120填充題6.如圖，半徑為3的大圓內部正好放置七個大小都相等的小圓，彼此相切，則陰影部份的面積等於________。填充題6.如圖，半徑為3的大圓內部正好放置七個大小都相等的小121參考解法先求出三個小圓相切之一空隙的面積，即

因此陰影部份的面積為參考解法先求出三個小圓相切之一空隙的面積，即122填充題7.設為整數使得是的倍數，則滿足這樣條件的值共有_____個填充題7.設為整數使得是的倍數，則123參考解法因為

所以

必整除19，

故n=-22,-4,-2,16共四個數。註:部分同學只做n為正整數參考解法因為124填充題8.已知則=________。填充題8.已知125填充題9.如下圖所示，正方形ABCD的邊長為10，點E、F分別為邊AB、AD的中點，點G是CF上的一點，使得7CG＝3GF，則面積等於________。填充題9.如下圖所示，正方形ABCD的邊長為10，點E、F分126填充題10.已知實數x，y滿足，則的值等於________。填充題10.已知實數x，y滿足，則127填充題11.如圖，為正三角形，其內切圓(即最小圓)的半徑為1公分，點為的中點，且為長方形，那麼長方形的外接圓之面積為_________平方公分。

填充題11.如圖，為正三角形，其內切圓(即最小圓)128參考解法所以外接圓的半徑為故面積為參考解法129填充題12.如果邊長分別為25,39,52及60的四邊形內接於一圓，則此圓的圓周長為___________。填充題12.如果邊長分別為25,39,52及60的四邊形130參考解法設此四邊形中，因為

所以為此圓的直徑，且，

故圓的周長為。參考解法設此四邊形中，131計算證明題一、現有四種郵票，面值分別為1元、2元、3元、5元，已知這些郵票總值為

400元；試問可不可以用這些郵票去湊出總值為300元的郵票？如果可以，則請證明之，如果不可以，則請說明之。計算證明題一、現有四種郵票，面值分別為1元、2元、3元、5元132參考解法

將所有郵票分成四組：

令A組為1元的郵票

B組為2元的郵票

C組為3元的郵票

D組為5元的郵票這四組中一定有一組的郵票總值為最多，由於共有400元，故郵票面值最多一組其總值不少於100元分成A，B，D及C兩種來討論：參考解法將所有郵票分成四組：

令A組為1元的郵票

B組133參考解法(I)假設總值最多的一組發生在A組，或B組或D組之中的一組，則由於1，2，5都是100元的因數，因此利用這組的郵票必可湊出100元，那麼剩下的郵票便是面值為300元參考解法(I)假設總值最多的一組發生在A組，或B組或D134參考解法(II)如果總值最多的一組發生在C組，則C組的郵票總值不少於100元，那麼從C組取出90元或96元或99元的郵票，然後再湊上5元兩張，或2元2張或1元1張，即可湊得100元，也就是可得到300元的郵票面值

假設没有2張5元，2張2元，即B組和D組不會多於1張，又没有1元的郵票，那麼應該有不少於(400-5-2)÷3=131張的3元郵票，

於是可以取出100張3元的郵票，即可獲得300元的面值

參考解法(II)如果總值最多的一組發生在C組，則C組的135計算證明題二、如果選取四個正整數和，其中並使得試問有多少種選取方法，並寫出的可能的值分別是多少。計算證明題二、如果選取四個正整數和，136參考解法利用不等式及，得有6種選取方法(a,b,c,d)=(2,3,9,18)，(2,3,8,24)，(2,3,10,15)，(2,3,7,42)，(2,4,6,12)，(2,4,5,10)、(只宣佈6種給5分；每列出一組正確答案給3分，每列出一組錯誤答案倒扣3分，直到0分為止，全對給20分)參考解法利用不等式及，得137本提條件改變如果將條件改變為:本提條件改變如果將條件138計算證明題三、已知正整數a為四位數，將a的四個數字重新排列組成另一個四位數b使得b=3a，試求滿足這樣條件之最小的b值。(首位數字不能為零）計算證明題三、已知正整數a為四位數，將a的四個數字重新排列組139參考解法∵

，∴

的數字和可被3整除，

的數字和亦可被3整除，

，因此

的數字和可被9整除，

的數字和亦可被9整除，

，（因此

）∵四位數中9的倍數最小為1008，所以

。參考解法∵，140練習題能否求出最大的b値?練習題能否求出最大的b値?141隊際賽隊際賽142題一若的整數部分是a，小數部分是b，

已知m為自然數且ma+的整數部分是2007,請問m

的值為何？題一若的整數部分是a，小數部分是b，143參考解法由3>>2，的整數部分是a=2，小數部分是b=-2，(給10分)

其整數部分是11。

(給10分)ma+11=2007，可得m=998。(給10分)參考解法由3>>2，的整數部分是a=2，小數部144題二政府打算開放13個大城市的長途巴士路權，每家巴士公司限定在4個城市之間相互對開班車。政府希望全部13個城市之間都至少有一直達的巴士營運，請問政府至少要批准幾家公司的路權？請說明分配的方法。(任兩個城市之間允許超過兩家巴士公司對開班車)。題二政府打算開放13個大城市的長途巴士路權，每家巴士公司限定145參考解法因